Gemischte Strategien (1)

(zu 4.1 Reine/gemischte Strategien)
Gemischte Strategien (1)
• Zurück zu „Schnick-Schnack-Schnuck“:
Bart
Stein Papier Schere
Stein 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Papier 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Schere -1 , 1 1 , -1 0 , 0
• Gut wäre eine unvorhersehbare Strategie,
z. B. eine Strategie, die zufällig eine der reinen
Strategien (Stein, Papier, Schere) auswählt,
also eine „gemischte Strategie“:
Lisa

Gemischte Strategien (2)
• Definition: Eine gemischte Strategie ist eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung über die
reinen Strategien
• Der Spieler wählt hier nicht die zu spielende
Strategie selbst, sondern nur die
Wahrscheinlichkeiten für die reinen
Strategien
• Das tatsächliche Ergebnis überlässt er einem
Zufallsmechanismus, der die tatsächlich
gespielte Strategie bestimmt
(Quelle: Rieck S. 79)

Polizistin und Drogenhändler (1)
• Ein Drogenhändler betreibt sein Geschäft entweder an
einer Straßenecke oder im Park.
• Jeden Tag entscheidet er, ob Straße oder Park;
unter den Kunden spricht sich das herum;
die Polizistin bekommt davon nichts mit
• Die Polizistin muss jeden Tag entscheiden, ob sie auf den
Straßen oder im Park patrouilliert
• Ohne Eingreifen der Polizei werden täglich 100 Drogen-
Geschäfte abgewickelt
• Die Auszahlung für den Drogenhändler ist die Anzahl a der
Drogengeschäfte, die er abwickelt
• Die Auszahlung für die Polizistin ist die Anzahl der Drogen-
Geschäfte, die sie verhindert (100 – a)

Polizistin und Drogenhändler (2)
Händler
Polizistin
Straßen Park
Straßen 80 , 20 0 , 100
Park 10 , 90 60 , 40
-Wenn beide im Park sind, verhindert die Polizistin 60 Geschäfte; der Park ist zu groß,
um alle Geschäfte zu verhindern (40)
-Wenn der Händler im Park logiert und die Polizistin nur auf den Straßen
patrouilliert, laufen alle Geschäfte (100); keines wird verhindert (0)
-Wenn die Polizistin die Straßen abgeht und der Händler an einer der Straßenecken
ist, verhindert sie 80 Geschäfte; nur 20 laufen noch
-Wenn die Polizistin im Park Streife geht und der Händler an einer der Straßenecken
anbietet, laufen fast alle Geschäfte (90); 10 werden durch vorbeifahrende
Streifenwägen verhindert

Polizistin und Drogenhändler (3)
• In diesem Spiel gibt es kein Nash-Gleichgewicht:
• Wenn der Händler sich für den Park entscheidet,
dann zieht‘s die Polizistin auch dahin; schlecht für
den Händler, der sich dann an eine Straßenecke
absetzt, …
• Wenn die Polizistin im Park erwartet wird, verzieht
sich der Händler am besten an eine der
Straßenecken; schlecht für die Polizistin, die dann
raus auf die Straßen geht, …
• Es gibt keine „stabile“ Situation, in der keiner
einen Anreiz hätte, abzuweichen!

Polizistin und Drogenhändler (4)
• Beide sind sozusagen „auf der Flucht“
• Jeder der beiden täte besser daran, eine „location“ zu
wählen, mit welcher der/die andere nicht sicher
rechnen kann
• Z. B. könnte der Händler öfter seinen Platz wechseln.
Aber nach welchem Schema?
• Und wie könnte die Polizistin darauf reagieren?
• Solche Fragen versucht man, mit „gemischten
Strategien“ zu beantworten
• Wir wissen bereits, dass dort Wahrscheinlichkeiten
eine Rolle spielen, und dass die Auszahlungen als
Erwartungswerte anzusetzen sind

Polizistin und Drogenhändler (5)
• Um eine Lösung abzuleiten, wenn beide Spieler gemischte
Strategien verwenden, müssen wir das Spiel neu
definieren:
• Polizistin und Händler haben je 2 reine Strategien (Straßen,
Park)
• Beide haben die Option, ihre reinen Strategien zu mischen
• In diesem Spiel sei eine gemischte Strategie eine Zahl
zwischen 0 und 1, wobei diese Zahl die Wahrscheinlichkeit
der Strategie „Straßen“ ist
• Für die Polizistin sei p die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf
den Straßen patrouilliert, (1 – p) dass sie im Park ist
• Für den Händler sei d die Wahrscheinlichkeit, dass er
„Straßen“ wählt, (1 – d), dass er im Park ist

Polizistin und Drogenhändler (6)
Angenommen, der Händler entscheidet sich mit der Wahrscheinlichkeit d für „Straßen“.
Wenn die Polizistin mit der Wahrscheinlichkeit p auf den Straßen patrouilliert, ergibt sich
die erwartete Auszahlung V für die Polizistin mit:
VPO(p,d) = p*d*80 + p*(1-d)*0 + (1-p)*d*10 + (1-p)+(1-d)*60 = 60 – 60 p – 50 d + 130 pd
Für den Händler (Drug Dealer) ergibt sich:
VDD(p,d) = p*d*20 + p*(1-d)*100 + (1-p)*d*90 + (1-p)+(1-d)*40 = 40 + 60 p + 50 d – 130 pd

Polizistin und Drogenhändler (7)
• Was haben wir von dieser komplizierten Transformation?
• Wir können immer ein Nash-Gleichgewicht ableiten, auch
wenn das Originalspiel mit reinen Strategien keines hat!
• Dazu bilden wir die erwartete Auszahlung für die Polizistin
aus ihren beiden reinen Strategien ab, in Abhängigkeit von
d (der gemischten Strategie des Händlers)
• Zu beachten: Eine reine Strategie ist nur ein Spezialfall
einer gemischten Strategie; die reine Strategie „Straßen“
entspricht der Bedingung p=1, die reine Strategie „Park“
der Bedingung p=0
• In diesem Fall sind:
VPO(1,d) = 60 – 60 – 50 d + 130 d = 80 d (bei „Straßen“)
VPO (0,d) = 60 – 50 d
(bei „Park“)

Polizistin und Drogenhändler (8)
Erwartete Auszahlungen VPO an die Polizistin
„Straßen“
„Park“

Polizistin und Drogenhändler (9)
Beste Antwort (Best Reply) der Polizistin

Polizistin und Drogenhändler (10)
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Polizistin und Drogenhändler (11)
• VPO(p,d) = p*d*80 + p*(1-d)*0 + (1-p)*d*10 + (1-p)*(1-d)*60
• VDD(p,d) = p*d*20 + p*(1-d)*100 + (1-p)*d*90 + (1-p)*(1-d)*40
• Wenn wir p = 5/13 und d = 6/13 setzen, ergibt sich
für die Auszahlung VPO an die Polizistin:
5/13*6/13*80 + 5/13*7/13*0 + 8/13*6/13*10 + 8/13*7/13*60 =
30/169*80 + 35/169*0 + 48/169*10 + 56/169*60 =
14,2 + 2,8 + 19,9 =
36,9
für die Auszahlung VDD an den Händler:
30/169*20 + 35/169*100 + 48/169*90 + 56/169*40 =
3,6 + 20,7 + 25,6 + 13,3 =
63,2

Ermittlung des Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
Wie sind wir gerade eben beim Bi-Matrix-Spiel vorgegangen?
1. Auf die reinen Strategien des Originalspiels Wahrscheinlichkeiten
aufsetzen:
Polizistin
Straßen (d)
Händler
Park (1-d)
Straßen (p) 80 , 20 0 , 100
Park (1-p) 10 , 90 60 , 40
2. Erwartete Auszahlung an die Polizistin in Abhängigkeit von d für
ihre reine Strategie „Straßen“ (p=1) bilden
3. Erwartete Auszahlung an die Polizistin in Abhängigkeit von d für
ihre reine Strategie „Park“ (p=0) bilden
4. Durch Gleichsetzen der Auszahlungen in 2. und 3. die
Gleichgewichts-Wahrscheinlichkeit d* für den Händler ermitteln
5. Analog: Gleichgewichts-Wahrscheinlichkeit p* für die Polizistin
6. Auf Basis von p* und d*: Erwartete Auszahlungen errechnen

Zu einigen Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (1)
• Dass der Händler seine Strategie unvorhersehbar
macht, indem er mischt (6/13
„Straßen“, 7/13 „Park“), erscheint rational
• Dass er dazu irgendeinen Zufallsgenerator
einschaltet, der festlegt, was er an einem Tag
macht, leuchtet weniger ein
• Wie kann z. B. ein Münz-Wurf das optimale
Verhalten aufzeigen?

Einige Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (2)
• Allgemein ist ein Zufallsgenerator nicht die beste
Lösung, eine Entscheidung zu treffen
• Aber ihn nutzen, um Strategie-Optionen auszuwählen,
zwischen denen man indifferent ist, das ist perfekt
rational
• Wenn z. B. „Straßen“ und „Park“ für den Händler die
gleiche Auszahlung erbringen, dann kann er locker den
Zufall entscheiden lassen
• Das ist genau die Situation im Nash-Gleichgewicht mit
gemischten Strategien; das haben wir auch bei der
grafischen Ableitung des Gleichgewichts ausgenutzt

Einige Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (3)
• Angenommen, die Polizistin patrouilliert zu p=5/13 auf den
Straßen,
H
P
5/13
8/13
Straßen (d)
Park (1-d)
Straßen 80 , 20 0 , 100
Park 10 , 90 60 , 40
dann hat der Händler bei seinen beiden reinen Strategien diese
Auszahlungen:
„Straßen“: 5/13*20 + 8/13*90 = 820/13
„Park“: 5/13*100 + 8/13*40 = 820/13
• So ist es für den Händler auch optimal, sich mit d=6/13 (oder
irgendeinem anderen d) an einer der Straßenecken einzufinden

Einige Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (4)
• Wenn es optimal ist, zwischen einer Menge von reinen
Strategien zu mischen, dann muss ein Spieler die gleiche
erwartete Auszahlung aus den reinen Strategien
bekommen
• Wenn z. B. der Händler mischt, dann muss die Polizistin
so mischen, dass der Händler indifferent bzgl. seiner
Optionen wird
• Die Gleichgewichts-Strategie für die Polizistin ist daher der
Wert von p, bei dem die erwarteten Auszahlungen des
Händlers aus seinen reinen Strategien gleich sind:
p*20 + (1-p)*90 = p*100 + (1-p)*40 p = 5/13
• Damit haben wir ein elegantes Verfahren zur Ermittlung
des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien

Einige Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (5)
• Bemerkenswert:
Wir nutzen die erwarteten Auszahlungen
an die Polizistin, um die Gleichgewichts-
Strategie des Händlers zu bestimmen
(und umgekehrt)

Einige Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts
in gemischten Strategien (6)
• Ein „Trick“ zur Entrümpelung des Spiels:
Bevor man in die aufwendige Berechnung des
Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien
einsteigt, erst mal mit IDSDS alle strikt
dominierten reinen Strategien eliminieren
• Strikt dominierten Strategien würde bei der
Ableitung des Nash-Gleichgewichts eine
Wahrscheinlichkeit von 0 zugeordnet werden;
sie würden damit keine Rolle spielen

Nachsatz zum Nash-Gleichgewicht
(Quelle: Harrington S. 191)
• „Jedes endliche Spiel hat ein Nash-
Gleichgewicht in gemischten Strategien“
(John Nash)
• „In fast allen endlichen Spielen gibt es eine
endliche ungerade Anzahl von Nash-
Gleichgewichten in gemischten Strategien“
(Robert Wilson)

Übung (1)
Finden Sie ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
und berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen
(Quelle: Harrington S. 191)
Spaltenspieler
Zeilenspieler
Links Rechts
Oben 8 , 2 1 , 6
Unten 3 , 5 4 , 1