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Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume Korrektheit von Prim’s Algorithmus – Beweis Minimale Spannbäume Korrektheit Minimale Spannbäume Beweis. (Forts.) Induktionsschritt: 2. (x, y) ∈ {(u 2 , v), . . . , (u m , v)} mit m > 2. Betrachte den Pfad von v nach u i (1 W (u i , v). Sei (w p−1 , w p ) die letzte Kante auf dem Pfad mit W (w p−1 , w p ) > W (u i , v). (Möglicherweise gilt p = j+1.) Wir zeigen, dass w j und w p nicht in T k−1 existieren können. (Siehe Vorlesung.) Damit hat keine Kante auf dem Pfad w 1 . . . w l ein größeres Gewicht als W (u i , v), und damit auch nicht größer als W (u 1 , v). Also, hat T k die MST-Eigenschaft. Korrektheit Der Algorithmus von Prim bestimmt einen minimalen Spannbaum. Beweis. Sei G = (V , E) und |V | = n Anzahl der Knoten. ◮ Sei T n der durch Prim berechnete Baum. Dann ist G n = G, und es folgt – siehe letztes Theorem – dass T n die MST-Eigenschaft hat. ◮ Da T n die MST-Eigenschaft hat gdw. es ein MST ist, folgt: T n ist ein MST. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/21 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/21 Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume ADT zum Vorhalten der Randknoten (I) Die benötigten Operationen für den Algorithmus von Prim sind: ◮ Wähle eine billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat). ◮ Reklassifiziere einen Randknoten als Baumknoten (füge den Kantenkandidat zum Baum hinzu). ◮ Ändere die Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn ein günstigerer Kantenkandidat gefunden wird. Idee: Ordne die Randknoten nach ihrer Priorität (= Randgewicht). Prioritätswarteschlange (priority queue) ◮ PriorityQueue pq; ◮ pq.insert(int e, int k), int pq.getMin(), pq.delMin() ◮ void pq.decrKey(int e, int k) setzt den Schlüssel von Element e auf k; k muss kleiner als der bisherige Schlüssel von e sein. ⇒ Wir entscheiden uns für die Prioritätswarteschlange als Datenstruktur für die Randknoten. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/21 Minimale Spannbäume Vorläufige Komplexitätsanalyse Im Worst-Case: Minimale Spannbäume ◮ Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. ◮ Auf jeden Knoten muss auch wieder zugegriffen werden und er muss gelöscht werden. ◮ Die Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden. Bei einem Graph mit n Knoten und m Kanten ergibt sich: T (n, m) ∈ O (n·T (insert)+n·T (getMin)+n·T (delMin)+m·T (decrKey)) ◮ Welche Implementierung der Prioritätswarteschlange ist dafür gut geeignet? Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 24/21
Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume Drei Prioritätswarteschlangenimplementierungen T (n, m) ∈ O (n·T (insert)+n·T (getMin)+n·T (delMin)+m·T (decrKey)) Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array Heap isEmpty(pq) Θ(1) Θ(1) Θ(1) insert(pq,e,k) Θ(1) Θ(n) Θ(log n) getMin(pq) Θ(n) Θ(1) Θ(1) delMin(pq) Θ(n) Θ(1) Θ(log n) getElt(pq,k) Θ(n) Θ(log n) Θ(n) decrKey(pq,e,k) Θ(n) Θ(1) Θ(log n) Θ(log n) Prim O(n 2 + m·n) O(n 2 + m) O(n 2 + m log n) O(n log n + m log n) ◮ Leider kann m ∈ Θ(n 2 ) sein, wodurch Prim schlechter als O(n 2 ) wird. ◮ Können wir vielleicht decrKey schneller machen? – Ja. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 25/21 Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume Prioritätswarteschlange, die Vierte (I) Wie erhalten wir Θ(1) für decrKey? ⇒ Indem wir die Priorität direkt bei den Knoten speichern. ◮ Wir kennen das bereits von color bei DFS und BFS. ◮ Gleichzeitig können wir so direkt die verwendete Kante (→ Ergebnis) speichern (als Vorgängerbaum, vgl. Kritische-Pfad-Analyse): 1 struct VertexState { 2 int color; 3 int parent; 4 float curWeight; 5 } 7 VertexState state[n]; // enthält color[n] ◮ Das entspricht der Prioritätswarteschlangenimplementierung auf unsortierten Arrays, allerdings mit „Löchern“. ◮ Nur die Einträge mit color == GRAY (Randknoten) sind in der Warteschlange gesetzt und zwar mit Priorität curWeight. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 26/21 Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume Prioritätswarteschlange, die Vierte (II) ◮ Die Implementierung operiert direkt auf state. 1 // man könnte das etwa so schreiben: 2 VertexState state[n]; 3 PriorityQueue pq = VS_PriorityQueue(&state); ◮ In pq.decrKey(int elem, VertexState &newkey) muss nur state[elem] mit newkey überschrieben werden (außer color). ⇒ Θ(1) ◮ Zum Einfügen (pq.insert(int elem, VertexState &key)) wird color = GRAY gesetzt und der Rest von key übernommen. ◮ Löschen (pq.delMin()) setzt einen Knoten auf color = BLACK. ◮ Als Elemente halten wir also die Nummer des entsprechenden Randknotens (int); als Schlüssel sozusagen VertexState, wobei curWeight daraus als Priorität verwendet wird. ◮ Wir ergänzen außerdem noch zwei Operationen: Θ(1) Minimale Spannbäume Minimale Spannbäume Prioritätswarteschlange, die Vierte (III) Prioritätswarteschlange ◮ bool pq.isEmpty() ◮ void pq.insert(int elem, VertexState &key) ◮ float pq.getMin() ◮ void pq.delMin() Θ(n) Θ(1) Θ(n) Θ(n) ◮ void pq.decrKey(int elem, VertexState &newkey) setzt den Schlüssel von elem auf newkey; newkey.curWeight muss kleiner als beim bisherigen Schlüssel von elem sein. Θ(1) ◮ int pq.getColor(int elem) gibt color von elem zurück. elem muss dazu nicht in der Warteschlange sein. Θ(1) ◮ float pq.getWeight(int elem) gibt curWeight von elem zurück. elem muss dazu nicht in der Warteschlange sein. Θ(1) Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 27/21 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 28/21
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