1. Fehlerbetrachtung

1. Fehlerbetrachtung
1.1. Einteilung der Fehler nach Ursachen und Wirkung
Alle durch Messung ermittelten physikalischen Messwerte (Temperatur, Volumen,
Masse, pH-Wert, Stromstärke, Spannung etc.) sind nur bedingt genau, sie
unterscheiden sich von dem gesuchten wahren Wert durch Fehler.
1.1.1. Einteilung der Fehler nach Ursachen
Die Fehler können nach ihren Ursachen unterschieden werden.
Durchführungsfehler
Diese ergeben sich durch Fehler bei der Handhabung von Geräten (wie z. B.
Ausblasen von Pipetten, falsche oder unterlassene Nullpunktseinstellung, Ablesen
der Skalen aus einem Winkel ≠ 90°) oder durch andere methodische Fehler
(wie z.B. Wägen im heißen Zustand, durch Wahl der falschen Waschflüssigkeit).
Fehler durch Schwankungen äußerer Bedingungen
Hierzu gehören Änderungen des Luftdruckes, der Temperatur, der Feuchtigkeit
usw.
Fehler an den Messinstrumenten
Dieses sind neben herstellungsbedingten Fehlern (wie beispielsweise Ungenauigkeiten
der Gewichtsstücke und Skaleneinteilung, eine nicht vollkommen
reibungsfreie Lagerung der Waagebalken auf den Schneiden, das begrenzte
Auflösungsvermögen der Geräte) auch Fehler, die im Laufe der Zeit entstehen
(z.B. durch Abnutzung der Schneiden einer Waage).
Fehler, die durch das begrenzte Unterscheidungsvermögen der Sinnesorgane
des Beobachters bedingt sind. (Der Mensch ist z. B. nur begrenzt in der Lage,
die letzten Stellen eines Messergebnisses am Nonius abzulesen.)
1.1.2. Einteilung der Fehler nach ihrer Wirkung auf den Messwert
Andererseits könne die Fehler einer Messung aber auch nach der verfälschenden
Wirkung auf den wahren Messwert eingeteilt werden in systematische und
zufällige Fehler.
Systematische Fehler
Sie haben einen bestimmten Betrag und ein bestimmtes Vorzeichen (entweder +
oder -) und bewirken daher eine einseitige Verschiebung des Messwertes, d. h.
sie ergeben entweder ein zu großes oder ein zu kleines Messergebnis. So erhält
man z.B. immer ein zuviel an Flüssigkeit, wenn man die Pipette ausbläst oder
man wägt immer zu wenig ab, wenn der Abstand der Skaleneinteilung zu gering,
oder die Masse eines Wägestücks zu klein ist. Systematische Fehler entstehen
also nicht nur durch falsche Handhabung von Geräten und durch den Einfluss
äußerer Bedingungen, sondern auch, wenn ein Messgerät einen konstanten
Fehler aufweist, da sie alle das Messergebnis einseitig verschieben.
Statistische Fehler
Sie schwanken nach Betrag und Vorzeichen, sind also ±-Fehler. Statistische
Fehler sind bedingt durch nicht beeinflussbare Veränderungen bei der Messung,
am Messgerät, beim Messgut und dem Beobachter. Wird z. B. eine Messung am
selben Gerät unter gleichen Bedingungen von ein und demselben Beobachter
durchgeführt, so streuen die Messwerte. Diese geringen Schwankungen sind
hauptsächlich auf das begrenzte Auflösungsvermögen unserer Sinnesorgane
und die nicht mehr zu beeinflussenden Änderungen der äußeren Bedingungen
zurückzuführen. Außerdem weisen die Messgeräte bei noch so genauer Herstellung
und Qualitätskontrollen geringe Schwankungen auf.
1.1.3. Zusammenhang zwischen Ursachen und Wirkungen der Fehler
Die bei den systematischen und statistischen Fehlern aufgeführten Beispiele
zeigen, dass eine Beziehung zwischen den Ursachen der Fehler und der Wirkung
auf den Messwert besteht. So wirken die bei der Einteilung nach den Ursachen
ersten zwei Fehlerarten als systematische Fehler und erzeugen eine ein-

seitige Verschiebung des Messwertes, während der an vierter Stelle aufgeführte
Fehler zu einer symmetrischen Streuung der Messwerte führt und somit als
statistischer Fehler zu betrachten ist.
1.2. Fehlervermeidung
Systematische Fehler lassen sich weitgehend vermeiden. Es ist deshalb äußerst
wichtig, sich vor jeder Messung Gedanken darüber zu machen, wo systematische
Fehler auftreten und wie sie ausgeschaltet werden können und dies bei der
Durchführung zu berücksichtigen. Auf Geräte zurückzuführende systematische
Fehler lassen sich manchmal auch durch Relativmessungen umgehen, da sich
bei Messung an ein und demselben Gerät diese Fehler aufheben.
1.3.3. Relativer und prozentualer Fehler
Für viele Messungen ist es wichtig, den relativen oder prozentualen Fehler zu
ermitteln. Entscheidend dabei ist, ob sich ein Fehler von z. B. 0.02 g auf 1 g oder
auf 1000 g Gesamtmasse bezieht. Der relative Fehler berechnet sich folgendermaßen:
(Istwert – Sollwert)
relativer Fehler = Sollwert
Für den prozentualen Fehler gilt
1.3. Berechnung des Messergebnisses
1.3.1. Mittelwertbildung
Da trotz sorgfältiger Fehlervermeidung bei einer Messung immer einige systematische
und statistische Fehler eingehen, sollten wenigstens drei Messungen
durchgeführt werden, damit auch durch Mittelung die Fehler minimiert werden
können. Vor der Mittelwertsbildung sind allerdings solche Werte von vorneherein
auszuschalten, die relativ weit abweichen. Der Mittelwert berechnet sich dann
nach der Formel:
Σ
x = Mittelwert
x =
x
i
x i = Einzelmessung
n
n = Anzahl der Einzelmessung
Der so ermittelte Wert stellt das Endergebnis dar.
prozentualer Fehler = relativer Fehler x 100.
1.4. Die Genauigkeit und Präzision einer Messung
Unter der Genauigkeit einer Messung versteht man die Abweichung des gemessenen
Wertes (Istwert) vom wahren Wert (Sollwert). Ob eine Messung „genau
oder ungenau“ ist, kann also nur beurteilt werden, wenn der wahre Wert bekannt
ist. Der absolute (oder auch relative) Fehler ist ein Maß (Zahlenwert) für die
Genauigkeit. Wird ein zu messender Wert mehrmals gemessen, so können die
Einzelwerte nahe am Mittelwert liegen. Die Präzision dieser Messreihe ist gut.
Präzision ist definiert als die Annäherung einer Anzahl von Messungen (gleiche
Methode, gleiches Objekt) an einen bestimmten Wert (meist Mittelwert). Selbst
bei guter Präzision kann der Mittelwert jedoch stark vom wahren Wert abweichen,
d.h. die Genauigkeit gering sein.
1.3.2. Der absolute Fehler
Der absolute Fehler kann nur ermittelt werden, wenn der wahre Wert bekannt
ist. Der absolute Fehler ergibt sich aus der Differenz des experimentellen Wertes
(Istwert) zum wahren Wert (Sollwert).
Veranschaulichung der Begriffe Genauigkeit und Präzision
Das nachfolgende Modell der Zielscheibe soll die Bergriffe Genauigkeit und
Präzision noch näher veranschaulichen. Der Mittelpunkt einer Zielscheibe entspreche
dem wahren Wert. Für die Einschüsse ergeben sich im Wesentlichen
folgende drei mögliche statistische Verteilungen.
absoluter Fehler = Istwert - Sollwert

− Die in Abb. 1.a dargestellte Verteilung zeigt den optimalen
Fall, bei dem sowohl die Genauigkeit (geringe
Abweichung der einzelnen Messwerte und auch des
Mittelwertes vom wahren Wert), als auch die Präzision
(geringe Abweichung von einem bestimmten Wert,
dem Mittelwert) sehr gut ist. In diesem Fall sind sowohl
systematische als auch statistische Fehler sehr
klein.
− Abb. 1.b zeigt eine Verteilung, bei der die Präzision
zwar sehr gut, die Genauigkeit allerdings schlecht ist.
Die hohe Präzision ist durch niedrige statistische
Fehler bedingt und kann zu der Annahme führen, dass
das Ergebnis optimal sei. Ein in die Messung eingegangener
konstanter systematischer Fehler führt jedoch
zu einer geringen Genauigkeit.
− Abb. 1.c zeigt ein Beispiel geringer Präzision, d.h. die
Einzelmesswerte weichen stark vom Mittelwert ab. Die
Genauigkeit vieler Einzelwerte ist ebenfalls gering,
während die Genauigkeit des Mittelwertes recht gut
ist. Die geringe Präzision kann sowohl durch statistische
als auch durch systematische Fehler, wenn diese
innerhalb einer Messreihe nicht konstant sind, hervorgerufen
werden
Abb. 1.a.
Abb. 1.b.
Abb. 1.c.
x 4 = 15.28
so ist zunächst zu überprüfen, ob die einzelnen Messwerte auch repräsentativ
sind. Repräsentativ heißt in diesem Zusammenhang ein Messwert, wenn er
nicht zu weit vom wahren Wert abweicht. Da bei einer Messung im Gegensatz
zum Scheibenmodell der wahre Wert aber meist unbekannt ist, erhebt sich die
Frage, wie man den Wert bestimmt, der mit größter Wahrscheinlichkeit dem
wahren Wert entspricht. Der Mathematiker GAUSS fand, dass der Mittelwert
( x ) der Einzelmessung (x i) den wahrscheinlichsten wahren Wert darstellt.
1.5.2. Verwerfen von Messwerten
Da mit dem Mittelwert der wahrscheinlichste wahre Wert erreicht werden soll,
müssen nicht repräsentative Messwerte schon vor der Mittelwertsbildung eliminiert
werden. Bei vier Messwerten z. B. kann ein abweichender Wert mit
99.3%iger Sicherheit verworfen werden, wenn die Differenz vom Mittelwert der
anderen drei Werte viermal größer ist als die mittlere Abweichung dieser drei
Werte. Überprüft wird dies für den Wert x 2.
Messwerte: Mittelwert: Abweichungen:
x 1 = 15.23 x =
45.87
3
0.06
x 2 = 15.36 = 15.29 0.07
x 3 = 15.28 0.01
0.14
Mittel = ± 0.045
1.5. die statistische Behandlung einer Messreihe
1.5.1. Der Mittelwert, die wahrscheinlichste Annäherung an den wahren
Wert
Liegt nach der Durchführung der Messung eine Messreihe mit z. B. den folgenden
Messwerten vor, x 1 = 15.23
x 2 = 15.52
x 3 = 15.36
Die Abweichung des zweifelhaften Wertes x 2 = 15.52 vom Mittelwert x = 15.29
beträgt 0.23. Das 0.23 größer ist als 4 x 0.045, ist der Wert x 2 zu verwerfen. Für
die weitere Fehlerbetrachtung werden nur noch die restlichen drei Werte verwendet.

1.5.3. Die Standardabweichung, ein Maß für die Präzision
Wird der Mittelwert als der wahrscheinlichste wahre Wert angenommen, so
interessiert außerdem die Streubreite der Einzelmessungen von diesem Wert,
gesucht ist also die Präzision. Ein Maß (Zahlenwert) für die Präzision ist die
Standardabweichung des Mittelwertes. Die Standardabweichung, auch mittlerer
Fehler des Mittelwertes genannt, berechnet sich nach folgender Formel:
S x = ±
∑
(x − x1)
n(n −1)
Für das obige Beispiel ergibt sich S x
zu:
2
S x
= Standardabweichung vom Mittelwert
x 1 = Einzelmessungen
x = Mittelwert der x 1
n = Anzahl der x i
x i x - x i ( x - x 1) 2
______________________________________________
15.23 -0.06 0.0036
15.36 0.07 0.0049
15.28 -0.01 0.0001
x = 15.29 0.0086
S x
= ±
0,0086
3x2
= ± 3.786 x 10 -2
1.6. Die Fehlergrenze (Genauigkeit) und Reproduzierbarkeit (Präzision)
von Messgeräten
Fehlergrenze und Reproduzierbarkeit von Geräten
In Analogie zu den Begriffen Genauigkeit und Präzision einer Messung bzw.
Messreihe sind für Geräte die Begriffe Fehlergrenze und Reproduzierbarkeit
definiert.
− Die Fehlergrenze gibt die erlaubte, maximale Abweichung einer Einzelmessung
vom wahren Wert unter Vermeidung aller vermeidlichen systematischen
Fehler an. Sie ist eine von Eichwesen festgelegte zulässige Größe,
die von keinem Gerät überschritten werden darf. Der charakteristische
Fehler des einzelnen Gerätes kann jedoch beliebig kleiner sein. Die Fehlergrenze
liefert ein Maß für die Genauigkeit der Einzelmessung und damit
natürlich auch für die der Geräte.
− Unter der Reproduzierbarkeit (Standardabweichung) eines Gerätes ist die
Annäherung einer Messreihe an einen bestimmten Wert zu verstehen (sie
wird bei einer Waage nach ca. 100maligen Wägen eines beliebigen Stückes
mit Hilfe der Formel für die Standardabweichung ermittelt). Die Reproduzierbarkeit
liefert ein Maß für die Präzision einer Messreihe und damit auch
für die der Geräte.
Wichtig: im Zusammenhang mit den Fehler- und Reproduzierbarkeitsangaben
ist, dass diese Werte nur die herstellungstechnischen Fehler an den Geräten
erfassen. Zusätzliche systematische und statistische Fehler, die während der
Messung vom Benutzer dieser Geräte gemacht werden, werden von diesen
Werten nicht erfasst. Weiterhin sei darauf hingewiesen, dass diese Angaben nur
dann auf die Geräte zutreffen, wenn sie fabrikneu sind. Besonders dann, wenn
die Geräte nicht sachgemäß gehandhabt und gewartet werden, weicht die Genauigkeit
und Präzision bald von den angegebenen Werten ab.
Wie eingangs schon erwähnt, sind selbst die Messgeräte nicht ganz fehlerfrei,
auch sie weisen sowohl systematische als auch statistische Fehler auf.