Teilchen im Kasten

6. Das Teilchen im Potentialkasten
6.1 Der eindimensionale Kasten
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m im eindimensionalen Potentialkasten
mit unendlich hohen Wänden und der Breite a .
Die potentielle Energie in den verschiedenen Bereichen ist:
V = ∞
für x ≤ 0
V = 0
für 0 < x < a
V = ∞
für x ≥ a
−
h 2
2
2
2
d Ψ
⋅
m d x
+ V ⋅ Ψ = E⋅Ψ
2
2
d Ψ
− h ⋅
2 m
2
d x
+
∞ ⋅ Ψ =
E⋅Ψ
für
x
≤
0, x
≥
a
2
2
d Ψ
− h ⋅ + 0 ⋅ Ψ = E ⋅ Ψ für 0 < x < a .
2 m
2
d x
Da endliche Größen gegenüber ∞ vernachlässigt werden können, folgt:
∞ ⋅ Ψ = 0
→ Ψ = 0 für x ≤ 0, x ≥ a .

Die zweite Gleichung ergibt mit
α 2 = 2mE / h
2
d
2
Ψ = − α
2
2
d x
Ψ
.
Eine Lösung ist z.B. Ψ = A ⋅ sin α x mit den Randbedingungen:
Ψ
Ψ
( 0 ) = A ⋅ sin α ⋅ 0 = 0
( a ) = A ⋅ sinα
⋅ a = 0
⇒
[ n = 0, ± 1, 2, ...] "Quantenzahl".
αa = nπ
±
Negative n können nicht zugelassen werden, da α ⋅ a positiv ist. n = 0 muß
ausgeschlossen sein, da dann Ψ überall Null wäre.
E
n π
= h
2
2ma
α ⋅ a = n π n = 1,2,3...
2 2 2
2
2 h
n = n
n =
2
8ma
Die zugehörigen normierten Eigenfunktionen sind:
1,2,3...
Ψ
n
=
2
a
n π
⋅ sin
a
x
mit
2 als Normierungsfaktor.
a
http://www.chemgapedia.de/vsengine/supplement/Vlu/vsc/de/ch/13/vlu/praktik
um1/farbe.vlu/Page/vsc/de/ch/13/pc/praktikum1/farbe/grundlagen_1_2.vscml/F
ragment/459acdee659d2c35e1e7dbb8de57bee3-169.html

Wellenfunktionen
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
(pro Volumenelement)
Hinweis: Knotensatz für das Teilchen im eindimensionalen Kasten.
Die Zahl der ″Knoten″ (Nulldurchgänge) einer Wellenfunktion ist um eins kleiner
als die Quantenzahl des zugehörigen Energieeigenwertes.
6.2 Der dreidimensionale Kasten
∂
2
∂ x
Ψ
2
+
∂
2
∂ y
Ψ
2
+
∂
2
∂ z
Ψ
2
2mE
= −
2
h
Ψ
Variablenseparation:
Ψ
( x,
y,z) = X( x) ⋅ Y( y) ⋅ Z( z)
→
einsetzen und durch X⋅Y⋅Z teilen:
2
2
1 ∂ X 1 ∂ Y 1 ∂ Z 2mE
⋅ + ⋅ + ⋅ = − .
X
2
Y
2
Z
2 2
∂ x ∂ y ∂ z h
2

Da diese Gleichung für alle Werte von X, Y, Z gilt, müssen die drei Summanden
auf der linken Seite jeweils konstant sein:
1
X
⋅
∂
2
∂ x
X
2
=
−
α
2
x
1
Y
⋅
∂
2
∂ y
Y
2
=
−
α
2
y
1
Z
⋅
∂
2
∂ z
Z
2
=
−
α
2
z
mit
2 2 2 2 2m E
= α + α + α =
x y z 2
α .
h
Analog zum eindimensionalen Potentialkasten erhält man:
α
x
=
1 π
a
n 2 π
b
n π
c
n 3
α y =
αz
=
n π
a
1
( x) = A sin x n 1,2,3...
X x 1 =
n π
b
2
( y) = A sin y n 1,2,3...
Y y 2 =
n π
c
3
( z) = A sin y n 1,2,3...
Z z 3 =
n1
πx
n 2 π y n3
πz
Ψ n1
n 2 n3
( x, y,z)
= Asin ⋅ sin ⋅ sin
a b c
Normierungskonstante
A =
8
a bc
E n1
n
2
n
3
=
h2
α
2m
2
=
2
8 h m
⎛
⎜
⎝
n
a
2
1
2
+
n
b
2
2
2
+
n
c
2
3
2
⎞
⎟
⎠
.

Zustandsdichte in einem Kasten mit a = b = c = L:
E n1 n2n3
=
2 2 2
( n + n + n )
1
1
8mL
Stellt man sich vor, dass die Quantenzahlen n einen Raum aufspannen, und dass
ein Satz von n-Werten einen Punkt in diesem Raum darstellt, so kann man argumentieren,
dass die mögliche Anzahl von Zuständen proportional zum "Volumen"
des "n-Raums" ist.
Hierzu wird der Radius R im „n-Raum“ definiert:
2
1
h
2
R =
2 2 2
1 + n1
n1
n +
Nun kann die Energie E durch R ausgedrückt werden:
2 2mE
R =
h
2
2
h R
E =
8mL
2
L
Beim Teilchen im Kasten können im n-Raum nur positive Werte für n auftreten,
daher muss das Volumen durch 8 geteilt werden. Da aber zwei verschiedene
Spinwerte für das Elektron möglich sind, muss mit 2 multipliziert werden. Die
Anzahl der Werte lautet dann:
N =
⎛ 1 ⎞ 4
⎝ 8 ⎠ 3
⎛ 8π
⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
3
2
( 2) ⎜ ⎟ πR
= ⎜ ( 2mE) 3 /
3
und die Anzahl der Zustände pro Volumen:
3
L
h
n
z
=
N
3
L
⎛ 8π
⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
( 2mE)
h
3
3/ 2
Die Zustandsdichte als Funktion der Energie ist die Ableitung von n z nach der
Energie:
dn z
ρ E) =
dE
4π
=
( 2m)
(
3
h
3 / 2
E

Ein Beispiel für den eindimensionalen Potentialkasten: Hexatrien
Es wird angenommen, daß die sechs π-Elektronen entlang des Moleküls frei
beweglich sind (1-dimensionales Potential):
E
=
n
2
⋅ 8,02 ⋅ 10
−18
J
n
= 1,2,3...
Jedes Energieniveau wird mit zwei Elektronen besetzt (Pauli-Prinzip).
λ exp = 268nm

6.3 Der Tunneleffekt
Eindimensionaler Potentialkasten mit endlich hohen Wänden:
In der klassischen Mechanik ist für E < V 0 dem Teilchen nur der Aufenthalt
zwischen x = 0 und x = a erlaubt. In der Quantenmechanik existiert eine gewisse
Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Bereiches [x, a] (″Tunneleffekt″),
wenn die Potentialwände eine endliche Höhe haben.
Hat eine Potentialbarriere eine endliche Breite, so kann die Materiewelle die
Barriere durchdringen, auch wenn ihre Energie E n kleiner als V 0 ist.

Die Schrödingergleichung im Bereich der Barriere ist:
2
−h
2m
e
⋅
∂
2
∂ x
Ψ
2
+
V
0
Ψ
=
E Ψ
∂
2
∂ x
Ψ
2
=
2m
h
e
2
( V − E) Ψ
0
2 m
−
e
( V0
− E) ⋅ x
2
Ψ(x)
= A ⋅ e
h
.
Die Wellenfunktion fällt also innerhalb der Barriere für E