Optik I

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Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11, HHU Duesseldorf Vorlesung: <strong>Optik</strong> I, inoffizielle Mitschrift by: Christian Franzen, Matr. 1956616 3 SCHWINGUNGEN UND WELLEN 3.7 Erzwungene Schwingungen und Resonanz Abbildung 44: Erzwungene Schwingung γ = 2δ = b m F = F m · cos(ω e · t) ω R = Resonanzfrequenz ω e = Erregerfrequenz ω 0 = Eigenfrequenz ω ′ = Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung Differentialgleichung für erzwungene Schwingung: d 2 x dt 2 + γ dx dt + ω2 0x = F m · cos(ω e · t) m ⇒Lösung x(t) = x m e −δt cos(ω ′ t + Φ) + X m cos(ω e t + ϕ) ω ′ = √ ω 2 0 − δ2 , X m ≡ Amplitudenresonanzfunktion X m (ω e ) = F m m · 1 √ (ω 2 0 − ωe) 2 2 + 4δ 2 ωe 2 tanϕ = − 2δω e ω0 2 − ω2 e Seite 42
Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11, HHU Duesseldorf Vorlesung: <strong>Optik</strong> I, inoffizielle Mitschrift by: Christian Franzen, Matr. 1956616 3 SCHWINGUNGEN UND WELLEN Lösung für lange Zeiten: t ≫ 1 δ ⇒ x(t) = X · cos(ω e t + ϕ) Diskussion der Amplitudenresonanzfunktion und Phase lim X m(ω e ) = F m ω e→0 mω0 2 = X m,0 , ϕ = 0 lim X m(ω e ) = 0 , ϕ = −π = −180 ◦ ω e→0 Maximum: (= Minimum von Nenner = Minimum von Argument der Wurzel, da diese monotone Funktion ⇒ Wird das Argument minimal, so wird auch die Wurzel minimal) ⇒ h(ω e ) = [(ω 2 0 − ω 2 e) 2 + 4δ 2 ω 2 e] minimal ⇒ ω 2 R = ω 2 0 − 2δ 2 Resonanzfrequenz kleine Dämpfung: ω R ≈ ω 0 X m,max = F m mω 0 · Q = ω 0 2δ = ω 0 γ Güte 1 2δ = ω 0 2δ }{{} Güte X m,0 3.8 Harmonischer Oszillator [Einheiten] Zeit t [s] Auslenkung x, y, z [m] Frequenz f, ν [s −1 ] Kreisfrequenz ω [(rad)s −1 ] oder [2π · Hz] Kraft F [N] Masse m [kg] Federkonstante K, D [Nm −1 ] Reibungskoeffizient b [Nm −1 s] oder [kgs −1 ] Energie U, V, K [J] oder [Nm] 3.9 Überlagerung von Schwingungen 3.9.1 Orthogonale Schwingungen x = x m sin(ω x t + ϕ x ) Seite 43
Seite 1 und 2: Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11
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Seite 81: Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11

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