Optik I

Prof. Dr. Axel Goerlitz, WS 2010/11, HHU Duesseldorf 

Vorlesung: Optik I, inoffizielle Mitschrift 

by: Christian Franzen, Matr. 1956616 

Inhaltsverzeichnis 


1 Geometrische Optik (Strahlenoptik) 7 

1.1 Zwei Arten von Bildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2 Abbildung durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2.1 Abbildung mit ebenen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.2 Abbildung mit Hohl- und Wölbspiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.3 Vergleich: Parabolspiegel und spährischer Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3.1 Das Snellius’sche Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3.2 Brechungsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.3.3 Brechung an planparalleler Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.3.4 Brechung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.3.5 Minimalablenkung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.3.6 Propagation von Lichtstrahlen in einem Medium mit variierendem Brechungsindex 14 

1.3.7 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.3.8 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.3.9 Messung der Dispersion mit Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.3.10 Winkeländerung als Funktion der Brechungsindexsänderung (um Minimalablenkung) 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.3.11 Minimalauflösbarer Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.3.12 Einschub - Totalablenkung am Prisma mit Kleinwinkelnäherung . . . . . . . . 19 

1.4 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.4.1 Brechung an gekrümmten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.4.2 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.4.3 Bildkonstruktion mittels Hauptstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.4.4 Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.4.5 Linsenfehler / Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2 Optische Instrumente 27 

2.1 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

2.2 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.3 Fernrohr / Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.3.1 Kepler’sches /Astronomisches Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.3.2 Galilei oder Holländisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.3.3 Spiegelteleskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

2.4 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3 Schwingungen und Wellen 36 

3.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.1.1 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2 Kraftgesetz der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.3 Energie einer harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.4 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3.5 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.6 Gedämpfte harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.7 Erzwungene Schwingungen und Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.8 Harmonischer Oszillator [Einheiten] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.9 Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.9.1 Orthogonale Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

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3.9.2 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3.10 Gekoppelte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

4 Wellen 48 

4.1 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.2 Geschwindigkeit einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.3 Geschwindigkeit einer Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.4 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.5 Energie und Leistung einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.6 Superposition von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.6.1 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.6.2 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.7 Wellen in 1,2 und 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.8 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.9 Das Huygens’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

5 Elektromagnetische Welle 60 

5.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

5.2 Energietransport und Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

5.3 Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5.4 Überblick über das elektromagnetische Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

5.5 Licht als Teilchen - der Fotoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

5.6 Strahlungsdruck / Strahlungsdruckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

5.7 Interferenz elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

5.7.1 Der Young’sche Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

5.7.2 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5.7.3 Newton’sche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

5.7.4 Versuch: Reflexion und Transmission von Weißlicht an Seifenblasenhaut . . . . 69 

5.7.5 Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

5.8 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5.8.1 Beugung am Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.8.2 Beugung an Kreisförmiger Öffnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.8.3 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.8.4 Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

5.9 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

5.9.1 Lineare und zirkulare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

5.9.2 Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

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Abbildungsverzeichnis 


1 Funktion der elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2 Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3 Reflexion und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

4 Konvexe und konkave Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

5 Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

6 Brechungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

7 Phärischer und Parabolspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

8 Brechung an planparalleler Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

9 Brechung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

10 Propagation in Medium mit variierendem Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

11 Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

12 optische Faser (Glasfaser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

13 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

14 Minimalauflösbarer Winkel am Prisma - Versuch mit Blende und Quecksilberlampe . . 18 

15 Totalablenkung am Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

16 Linsenbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

17 Sammellinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

18 Zerstreulinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

19 Meniskuslinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

20 Brennweitenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

21 Luftlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

22 Beselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

23 Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

24 Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

25 Kombination 2 dünner Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

26 Brennpunkt und Brechungsindices am Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

27 minimaler Sehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

28 Ziliarmuskel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

29 Zweilinsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

30 Kepler’sches Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

31 Maximal beobachtbarer Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

32 Funktion einer Feldlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

33 Auflösungsvermögen des Telekopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

34 Bildumkehr mit Zwischenlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

35 Galilei oder Holländisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

36 Spiegelteleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

37 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

38 Auflösungsvermögen Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

39 Dreiecksschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

40 Kreisförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

41 Schwingfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

42 aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

43 Kriechfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

44 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

45 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

46 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

47 Orthogonale Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

48 gekoppelte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

49 Normalschwingung in Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

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50 gegenphasige Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

51 gegenphasige Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

52 Mikrofonversuch: Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

53 Reflexion einer Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 



56 Stehwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

57 Wellenausbreitung in 2 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

58 Wellenausbreitung in 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

59 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

60 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

61 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

62 Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

63 Lenard Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

64 vollständig absorbierende Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

65 Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

66 Young’sche Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

67 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

68 Newton’sche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

69 Interferenz an Seifenblasenhaut: Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

70 Interferenz an Seifenblasenhaut: Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

71 optische Vergütung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

72 Multilayer-Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

73 Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

74 Strahlteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

75 Fresnel-Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

76 Fraunhofer-Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

77 Beugung am Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

78 Intensitätsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

79 Auflösungsvermögen Beugungsminimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

80 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

81 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

82 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

83 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

84 Endliche Spalte am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

85 Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

86 Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

87 Polarisationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

88 Polarisierung-ändernder Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

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Optik I - Kurzübersicht 

• Grundlegende Informationen in der zur Verfügung gestellten Informationsbroschüre zur 

Vorlesung Optik unter Ilias 

• Ilias Zugang: https://ilias.uni-duesseldorf.de/ilias/repository.php?ref id=67548 

• Kennwort: optik 

• Abgabe der Übungszettel Donnerstags bis 9:00 Uhr in das Computergehäuse vor Raum 

25.42.01.24 

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Optik 

=“Lehre vom Licht“ 

beschreibt: 

• Ausbreitung von Licht 

• Wechselwirkung von Licht mit Materie (insbesondere optische Abbildungen) 

Was ist Licht? 

• elektromagnetische Strahlung (im engeren Sinne sichtbares Licht mit Wellenlänge 

λ = 380 − 780nm 

• Wechselwirkung von Licht mit Materie (insbesondere optische Abbildungen) 

Waie beschreibt der Physiker Licht? 

• Strahlen → Geometrische Optik 

• Elektromagnetische Welle 

( ( )) 

⃗E(x, t) = E ⃗ 0 sin(kx − ωt) = E ⃗ 1 

0 sin 2π 

λ x − νt 

(wobei λ die Wellenlänge und ν die Frequenz darstellt) 

Abbildung 1: Funktion der elektromagnetischen Welle 

→ Wellenoptik, Elektrodynamik 

• Teilchen (Quant) → Photonen 

E = hν 

, wobei E=Energie, h= Planck’sches Wirkungsquantum, ν = Frequenz 

→ Quantenmechanik, Quantenoptik 

Seite 6



by: Christian Franzen, Matr. 1956616 1 GEOMETRISCHE OPTIK (STRAHLENOPTIK) 

1 Geometrische Optik (Strahlenoptik) 

(wenn Spaltbreite ≫ Lichtwellenlänge λ) 

• Näherung, da Vernachlässigung der Welleneigenschaften 

• gültig für D ≫ λ (D = Ausdehnung eines mit Licht wechselwirkenden Objektes) 

• Licht als Lichtstrahlen 

• beschreibt Reflexion und Brechung 

• Beugung und Interferenz werden von der geometrischen Optik nicht beschrieben! 

1.1 Zwei Arten von Bildern 

Sehen: 

• Auge fängt “Lichtstrahlen“ eines Objektes ein 

• visuelles System erstellt ein aus Lichtstrahlen abgeleitete Reproduktion (̂=Bild auf der 

Netzhaut) 

• Reproduktion ist auch möglich, wenn es nur so scheint, dass die Lichtstrahlen von einem 

Objekt kommen 

virtuelles Bild: 

• kann nicht auf Schirm abgebildet werden (einfangen) 

• z.B. Spiegelbild (Objekt scheint hinter dem Spiegel zu sein) 

• Lichtstrahlen “scheinen“ vom virtuellen Bild zu kommen 

reelles Bild: 

• kann auf einem Schirm aufgefangen werden 

• z.B. Beamerprojektion, Fernsehbild 

• Lichtstrahlen direkt vom reellen Bild 

1.2 Abbildung durch Reflexion 

• (spiegelnde) Reflexion 

Seite 7




Abbildung 2: Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel 

ebene Spiegel: sin θ = sin θ ′ 

Bedingung: Oberflächenrauigkeit d < λ 

• diffuse Reflexion 

d > λ 

⇒ Reflexionsgesetz gilt lokal 

Abbildung 3: Reflexion und Streuung 

1.2.1 Abbildung mit ebenen Spiegeln 

Abbildungsgleichung für den ebenen Spiegel: 

b = -g mit b= Bildweite und g= Gegenstandsweite 

g > 0 bei einfachen abbildenden Systemen 

b < 0 bei virtuellen Bildern 

1.2.2 Abbildung mit Hohl- und Wölbspiegeln 

zunächst Kugelspiegel = sphärische Spiegel 

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Abbildung 4: Konvexe und konkave Spiegel 

gemäß Definition (Halliday) 

• konkav: r > 0 

• konvex: r < 0 

Brennpunkte von Kugelspiegeln: f = + r 2 

, wobei f die Brennweite ist. 

konkave Spiegel: reell 

konvexe Spiegel: virtuell 

Abbildungsgleichung für Hohlspiegel: 

1 

g + 1 b = 1 f 

oder auch b = 

gf 

g − f 

(Lateral)vergrößerung: m = − b g = 

Bildgröße 

Gegenstandsgröße 

konkaver Spiegel (Hohlspiegel) gilt für virtuelle Bilder (g < r/2 = f) 

• Bild wird größer (im Vergleich zu ebenen Spiegel) 

• Bildfeld wird kleiner (Bereich, den man im Spiegel sehen kann) 

• Bildweite b wird größer 

• Krümmungsmittelpunkt rückt näher an Spiegel (da der Krümmungsmittelpunkt beim 

Planspiegel im Unendlichen liegt) 

Konvexer Spiegel (Wölbspiegel): 

• Bild wird kleiner 

• Bildfeld wird größer 

Seite 9




• Bildweite b wird kleiner 

• Krümmungsmittelpunkt rückt näher an Spiegel 

f = r ̂=Brennweite = Abstand zwischen Spiegel und Brennpunkt. 

2 

f > 0 für konkave Spiegel (Hohlspiegel) 

f < 0 für konvexe Spiegel (Wölbspiegel) 

Versuch: Abbildung mit Hohlspiegel (g > f) 

g 1 = 50cm, b 1 = 50cm ⇒ f 1 = 25, 0cm 

g 2 = 34, 5cm, b 1 = 93, 5cm ⇒ f 2 = 25, 2cm 

Im Rahmen der Messungenauigkeit herrscht Übereinstimmung. 

Für reelle Bilder b > 0. Für virtuelle Bilder b < 0. 

Lateralvergrößerung: 

Definition: m = h′ 

h , wobei h′ die Bildhöhe und h die Gegenstandshöhe ist. 

m > 0 gleiche Orientierung Bild und Gegenstand 

m < 0 entgegengesetzte Orientierung Bild und Gegenstand 

−b 

für Kugelspiegel: 

g 

gilt für konvexe und konkave Spiegel (folgt aus dem Strahlensatz) 

Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen 

Abbildung 5: Bildkonstruktion mit Hilfe von Hauptstrahlen 

Seite 10




a) Parallelstrahl: fällt parallel zur optischen Achse ein ⇒ Reflextion durch Brennpunkt 

b) Krümmungsmittelpunktstrahl: geht durch Krümmungsmittelpunkt und wird in sich selbst 

reflektiert 

a’) Brennpunktstrahl: Umkehrung des Parallelstrahles 

b’) Scheitelpunktstrahl: trifft im Schnittpunkt der optischen Achse mit dem Spiegel auf. ⇒ 

symmetrische Reflexion (Winkel zur optischen Achse für einfallenden und ausfallenden ist gleich) 

1.2.3 Vergleich: Parabolspiegel und spährischer Spiegel 

Abbildung 6: Brechungswinkel 

spärischer Spiegel: ⇒nur Achsennahe Strahlen gehen durch F (̂=y ≪ R) 

y 2 + (x − R) 2 = R 2 , wobei R=Radius 

⇒ x ≈ y2 

2R 

Parabolspiegel: ⇒alle parallel einfallenden Strahlen gehen durch F 

⇒ x = y2 

2R 

1.3 Brechung 

1.3.1 Das Snellius’sche Brechungsgesetz 

Brechung (Richtungsänderung von Lichtstrahlen) findet beim Übergang zwischen unterschiedlichen 

Medien statt (unterschiedlicher Brechungsindex bzw. optische Dichte). 

Seite 11




n 2 · sin θ 2 = n 1 · sin θ 1 

Abbildung 7: Phärischer und Parabolspiegel 

Kleinwinkelnäherung: θ 1,2 ist klein (kleiner als 5 ◦ ), dann gilt n 2 · Θ 2 = n 1 · Θ 1 

1.3.2 Brechungsindizes 

Vakuum = 1 

Luft = 1,000293 ≈ 1 

Wasser = 1,33 

Quarzglas=1,46 

Flintglas=1,5 - 2,0 (abhängig vom Bleigehalt) 

Diamant=2,42 

Bleisulfid=3,90 

1.3.3 Brechung an planparalleler Platte 

Abbildung 8: Brechung an planparalleler Platte 

Seite 12




d = a · cos α 1 

a = D · tan α 1 − D · tan α 2 

( 

sin α1 

⇒ d = D · sin α 1 − D · cos α 1 √ 

n 

2 

2 − sin 2 α1 = D · sin α 1 1 − 

2 

) 

cos α 

√ 1 

n 

2 

2 − sin 2 α 1 

2 

tan α 2 = sin α 2 

cos α 2 

= sin α 2 

1 − sin 2 α 2 

= 

1 

n · sin α 1 

= 

√1 − 1 sin 

n 2 α 2 1 

2 

sin α 1 

2√ 

n 2 − sin 2 α 1 

(es gilt: sin 2 α + cos 2 α = 1) 

Winkel in Radiant: 

α rad = αGrad 

180 ◦ · π 

1.3.4 Brechung am Prisma 

Abbildung 9: Brechung am Prisma 

1.3.5 Minimalablenkung am Prisma 

sin α 1 = n · sin α 2 

n · sin α 3 = sin α 4 

( π 

) ( π 

) 

Φ + 

2 − α 2 + 

2 − α 3 = π 

Φ = α 2 + α 3 

Seite 13




δ + Φ = α 1 + α 4 

Minimalablenkung erhält man für symmetrischen Durchgang 

α 1 = α 4 ⇒ δ = δ min ⇒ α 2 = α 3 

⇒ α 1 = 1 2 (δ min + Φ) 

α 2 = 1 2 Φ 

eingesetzt in sin α 1 = n · sin α 2 

⇒ n = sin( 1 2 (δ min + Φ)) 

sin( 1 2 Φ) , wobei Φ = Prismenwinkel 

1.3.6 Propagation von Lichtstrahlen in einem Medium mit variierendem Brechungsindex 

Abbildung 10: Propagation in Medium mit variierendem Brechungsindex 

Versuch: gebogener Lichtstrahl (in Zuckerlösung) 

Beobachtung: Propagation entlang x-Richtung ⇒ Strahl wird in y-Richtung abgelenkt 

Erklärung: 

• Brechungsindex ist abhängig von der Zuckerkonzentration n̂=n(ρ Zucker ) 

• Konzentrationsgradient (ρ Zucker ↓ für y ↑) ρ Zucker ̂=ρ Z (y) 

⇒ Brechungsindex ist auch eine Funktion von y : n̂=n(y) 

• Strahl wird zum größeren Brechungsindex hin “gebogen“ (gebrochen) 

• n ρ Zucker=30% : 1, 38 

n ρ Zucker=0% : 1, 33 

n ρ Zucker=80% : 1, 49 

Seite 14




1.3.7 Totalreflexion 

Brechungsgesetz: n 1 sin α = n 2 sin β 

Abbildung 11: Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium 

Es gilt: Max(sin β) = 1 für β = π 2 für n 1 > n 2 ⇒ sin(α crit ) = n 2 

n 1 

⇒ 

( ) 

n2 

Grenzwinkel für Totalreflexion: α crit = arcsin 

n 1 

Totalreflexion tritt nur auf bei Übergang von optisch dickem zu optisch dünnem Medium! 

optische Faser 

Abbildung 12: optische Faser (Glasfaser) 

1.3.8 Dispersion 

Dispersion = Abhängigkeit der Brechung (Brechungsindex) von der Lichtwellenlänge: ⇒ n̂=n(λ) 

Versuch: Aufspaltung des Lichtes einer Glühlampe durch ein Prisma 

Seite 15




Beobachtung: Blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes Licht. ⇒ n blau > n rot 

normale Dispersion: n(λ 1 ) > n(λ 2 ) für λ 1 < λ 2 

Vergleich 

Glühbirne 

Hg-Lampe (Quecksilberdampflampe) 

Farbeneindruck kontinuierlich (alle Farben) diskret (atomare Spektrallienien) 

thermisches Licht 

“atomares“ Licht (Rekombinationslicht) 

anomale Dispersion: n(λ 1 ) < n(λ 2 ) für λ 1 < λ 2 (in der Nähe atomarer Resonanzen) 

Exkurs: Wellenlänge und Frequenz: 

Es gilt: c = λ · ν = λ ω 2π 

mit: 

c= Lichtgeschwindigkeit 

λ=Wellenlänge 

ν=Frequenz 

ω=Kreisfrequenz 

Charakterisierung der Dispersion 

Angabe von n{λ} für Fraunhofer’sche Linien 

C=656,3 nm rot Wasserstoff 

F=486,1 nm blau Wasserstoff 

H=396,8 nm ultraviolett Calcium 

d=589,6 nm gelb/orange Natrium (Natriumdampflampen-Gelb) 

Begriffe: 

n H − n C ̂= spezifische Dispersion 

dn ̂= partielle Dispersion 

dλ 

n d − 1 

n F − n C 

= Abbe Zahl 

Seite 16




1.3.9 Messung der Dispersion mit Prisma 

Abbildung 13: Prisma 

Messung bei symmetrischem Durchgang (Minimalablenkung) 

n = sin( 1 2 (δ min + Φ)) 

sin( 1 2 Φ) 

Kleinwinkelnäherung: ⇒ n ≈ 

⇒ nΦ ≈ δ min + Φ ⇒ δ min (n − 1)Φ 

z.B.: 

δ H = (n H − 1)Φ 

δ C = (n C − 1)Φ 

1 

2 (δ min + Φ) 

1 

2 Φ 

⇒ totale Dispersion θ = δ H − δ C = Φ(n H − n C ) 

Auslösung eines Prismas 

Spektrales Auflösungsvermögen: Trennbarkeit von λ und λ + ∆λ 

R = 

λ 

∣∆λ∣ 

1.3.10 Winkeländerung als Funktion der Brechungsindexsänderung (um Minimalablenkung) 

⇒ dn 

dδ = 1 

sin ( 1 ( ) δ + Φ 

1 

2 Φ) 2 cos 2 

( ) δ + Φ 

mit α = 

2 

( ) Φ 

und sin = b 

2 2s 

Seite 17




dn 

dδ = s b cos α 

⇒ ∆δ = 

b 

s · cos α ∆n 

1.3.11 Minimalauflösbarer Winkel 

Abbildung 14: Minimalauflösbarer Winkel am Prisma - Versuch mit Blende und Quecksilberlampe 

(Das b eff ist der Teil des Prismas, der Licht durchschienen wird) 

Beugungslimitierung: ∆δ = λ h = λ 

(später in der Vorlesung) 

s · cos α 

⇒ 

b∆n 

s · cos α = λ 

s · cos α ∣ · s · cos α 

∆λ 

⇒ 

λ 

∆λ = b∆n ∆λ 

∣ ∣ ⇒ R = 

λ 

∣∣∣ ∣∆λ∣ = b ∆n 

∣∣∣ ∆λ∣ ≈ b dn 

dλ∣ 

Versuch: Spektrale Auflösung von Linien der Hg-Lampe 

λ 1 = 546 nm (grün) 

λ 2 = 578 nm (orange) 

∆λ= 32 nm 

⇒ 

λ 

∆λ = 562 

dn 

≈ 17, 6, für Flintglas: ≈ 96, 4nm−1 

32 dλ 

∣ ∣ b 

dn 

∣∣∣ ∣dλ∣ = λ 

∣∣∣ ∆λ∣ ⇒ b = λ 

∆λ∣ · 

dn 

∣dλ∣ 

⇒ b = 0, 18mm 

−1 

Seite 18




1.3.12 Einschub - Totalablenkung am Prisma mit Kleinwinkelnäherung 

Abbildung 15: Totalablenkung am Prisma 

θ 1 = nθ 2 

θ 3 = Φ − θ 2 

nθ 3 = θ 4 

⇒ θ 4 = nΦ − θ 1 

Ablenkung: 

δ = θ 1 + θ 4 − Φ = (n − 1)Φ 

gesucht: δ tot,H = δ tot,C 

⇒ δ tot = δ 1 − δ 2 = (n 1 − 1)Φ 1 − (n 2 − 1)Φ 2 

⇒ (n 1H − 1)Φ 1 − (n 2H − 1)Φ 2 = (n 1C − 1)Φ 1 − (n 2C − 1)Φ 2 

⇒ (n 1H )Φ 1 − (n 2H )Φ 2 = (n 1C )Φ 1 − (n 2C )Φ 2 

1.4 Abbildung mit Linsen 

1.4.1 Brechung an gekrümmten Flächen 

Abbildung 16: Linsenbrechung 

Brechungsgesetz n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 

Seite 19




reeller Fokus für n 2 > n 1 : d.h. Strahlen werden zur opt. Achse hin gebrochen und schneiden sich in F 

virtueller Fokus: für konvexe Fläche falls n 2 < n 1 

⇒ Strahlen werden von der opt. Achse weggebrochen und rückwärtige Verlängerungen schneiden 

sich in F 

Herleitung für Abbildungsgleichung an gekrümmten Flächen 

n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (siehe Folie) (1) 

Kleinwinkelnäherung (d.h. nur achsennahe Strahlen) 

⇒ n 1 θ 1 ≈ n 2 θ 2 

Es gilt: 

θ 1 = α + β (2) 

β = θ 2 + γ (3) 

(2) und (3) in (1) ⇒ n 1 α + n 2 γ = (n 2 − n 1 ) = β (4) 

Im Bogenmaß gilt: 

β = âc 

r (exakt) 

näherungsweise: 

α ≈ âc 

g , γ ≈ âc 

b 

⇒ n 1 

g + n 2 

b = n 2 − n 1 

r 

Abbildungsgleichung an gekrümmter Fläche 

r > 0 für Gegenstand vor konvexer Fläche 

r < 0 für Gegenstand vor konkaver Fläche (umgekehrt zum Kugelspiegel) 

1.4.2 Abbildung mit Linsen 

Linsentypen 

(sphärische Linsen) 

d.h. Oberflächen ̂= Segmente von Kugeloberflächen 

Seite 20




Sammellinsen 

Abbildung 17: Sammellinsen 

Zerstreulinsen 

Abbildung 18: Zerstreulinsen 

Meniskuslinsen 

Abbildung 19: Meniskuslinsen 

r2 > r1 ⇒ positiv (f > 0) 

r1 > r2 ⇒ negativ (f < 0) 

Brennpunkt / Brennweite 

Brennweite f > 0̂= reeller Brennpunkt 

Brennweite f < 0̂= virtueller Brennpunkt 

Seite 21




Brennweite “dünner“ Linsen: (Linsendicke ≪ als Krümmungsradius |r 1 |, |r 2 |) 

( 

1 

1 

f = (n − 1) − 1 ) 

r 1 r 2 

Abbildung 20: Brennweitenbestimmung 

Abbildungsgleichung: (Gauß) 

1 

f = 1 g + 1 b 

b > 0 reelles Bild 

b < 0 virtuelles Bild 

• Reelles Bild entsteht auf der vom Gegenstand abgewandten Seite der Linse 

• Virtuelles Bild entsteht auf der gleichen Seite wie der Gegenstand 

für Sammellinse (f > 0): 

g < 2f reelles Bild, verkleinert 

g = 2f reelles Bild, Maßstab 1:1 

2f > g > f reelles Bild, vergrößert 

f > g virtuelles Bild, vergrößert 

Lateralvergrößerung 

m = − b g 

wie Hohlspiegel 

m > 0̂= virtuelles Bild 

m < 0̂= reelles Bild 

Versuch: Luftlinse 

Seite 22




Abbildung 21: Luftlinse 

⇒ Verhält sich wie Zerstreulinse, obwohl die Form einer “normalen“ Sammellinse entspricht. 

Zerstreulinse erzeugt immer ein virtuelles Bild 

1.4.3 Bildkonstruktion mittels Hauptstrahlen 

1. Parallelstrahl: paralleler Einfall ⇒ Strahl nur durch Brennpunkt auf der 

gegenstandsabgewandten Seite gebrochen 

2. Brennpunktstrahl: einfallender Strahl schneidet optische Achse im gegenstandsseitigen 

Brennpunkt ⇒ Strahl wird parallel zur optischen Achse auslaufen 

3. Mittelpunktstrahl: verläuft durch den Schnittpunkt der Linse mit der optischen Achse 

(gilt für Sammellinsen) 

für Zerstreulinsen: in 1) und 2): ersetze “gegenstandabgewandt“ durch “gegenstandsseitig“ 

1.4.4 Besselverfahren 

Bestimmung der Brennweite einer Linse (Sammellinse) 

Abbildung 22: Beselverfahren 

für a > 4f ⇒ genau zwei Linsenpositionen für scharfes Bild (reelles Bild) 

Seite 23




Abbildung 23: Besselverfahren 

im Versuch: 

a = 0, 9m 

p 1 = 0, 643m 

p 2 = 0, 353m 

⇒ f = 0, 201m 

mit f = a2 − e 2 

4a 

Dicke Linsen 

Abbildung 24: Besselverfahren 

Es gilt: 1 f = 1 b + 1 [ 1 

g und f −1 = (n − 1) − 1 ] 

(n − 1)d 

+ 

r 1 r 2 nr 1 r 2 

f(n − 1)d 

h 1 = − 

r 2 n 

f(n − 1)d 

h 2 = − 

r 1 n 

h > 0 falls Hauptebene rechts vom Scheitepunkt liegt: (Konvention: Gegenstand links von der Linse) 

Kombination mehrerer Linsen 

2 Dünne Linsen 

Seite 24




Abbildung 25: Kombination 2 dünner Linsen 

1 

f ges 

= 1 f 1 

+ 1 f 2 

− 

d 

f 1 f 2 

Hauptebenenabstände 

h 1 = fd 

f 2 

gemessen von Linse 1 

h 2 = fd 

f 1 

gemessen von Linse 2 

für d ≪ f 1 · f 2 gilt 

oder für n Linsen: 

1 

f ges 

= 1 f 1 

+ 1 f 2 

1 

f ges 

= 

N∑ 

1 

f 

n=1 n 

1.4.5 Linsenfehler / Aberration 

Ideelle Linse ⇒ exakte Abbildung eines Gegenstandes existiert nicht (Linsenfehler), hinsichtlich 

• Form 

• Größenverhältnis 

• Farbe 

a)Monochromatische Aberration (treten für einfarbiges Licht auf) 

Spährische Aberration (Öffnungsfehler) 

• sphärische (kugelförmige) brechende (spiegelnde) Fläche ⇒ achsenferne Strahlen schneiden die 

optische Achse an einem anderen Punkt als achsennahe Strahlen 

• sphärische Aberration ist umso größer, je größer der ausgeleuchtete Bereich der Linse ist 

• sphärische Aberration hängt von Brennweite und Linsengeometrie ab (beste Abbildung: 

Verteilung der Strahlablenkung auf mehrere Oberflächen) 

Seite 25




Koma 

• seitlich von der Linsenachse befindliche, punktförmige Lichtquelle wird ellipsenförmig 

abgebildet: Ursache “Hauptebenen“ nicht eben, sondern gekrümmt. 

• umso kleiner je kleiner der ausgeleuchtete Bereich 

Astigmatismus (Punktlosigkeit) 

• punktförmige Quelle: seitlich von der optischen Achse ⇒ unterschiedliche Brennweiten in 

Meridionalebene und Sagitalebene 

• unabhängig von Größe des ausgeleuchteten Bereiches 

Bildfeldwölbung 

• Bild eines ebenen, ausgedehnten Gegenstandes liegt auf einer Kugelschale ⇒ aber jeder 

Bildpunkt wird scharf abgebildet (in verschiedenen Abständen von der Linse) 

Verzeichnung 

• Vergrößerung ändert sich mit Abstand von der optischen Achse 

• tonnenförmig: reelles Bild mit Sammellinse 

• kissenförmig: virtuelles Bild mit Sammellinse 

b)Chromatische Aberration 

Ursache: Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge n = n(λ) 

f(λ) = 

[ ( 1 

(n(λ) − 1) − 1 )] −1 

r 1 r 2 

n blau > n rot ⇒ f blau < f rot (für Sammellinse) 

Seite 26



by: Christian Franzen, Matr. 1956616 2 OPTISCHE INSTRUMENTE 

2 Optische Instrumente 

2.1 Das Auge 

Brechende Elemente 

• nach vorne gekrümmte Hornhaut (n c = 1, 37) 

• Linse (n c = 1, 4) 

• Kammerwasser umgibt Linse (n K = 1, 33) 

⇒ stärkste Brechung an der Grenzfläche Hornhaut / Luft 

Abbildung 26: Brennpunkt und Brechungsindices am Auge 

⇒ allg: f g ≠ f B , da verschiedene Brechungsindices auf beiden Seiten 

Nahfeld: 

kürzeste Distanz, auf die das Auge scharf stellen kann. Scharfstellung erfolgt durch Änderung der 

Brennweite der Linse. 

Hauptebenen beim Doppellinsensystem 

h 1 = f ges · d 

f 2 

h 2 = −f ges · d 

f 1 

räumliches Auflösungsvermögen 

Seite 27




Abbildung 27: minimaler Sehwinkel 

ϕ ≈ a d ≈ 2 · 10−6 m 

2 · 10 −2 m ≈ 10−4 ≈ 0, 1mrad ≈ (6 · 10 −3 ) ◦ 

Lichtstärkeregelung: 

• Iris (Regenbogenhaut): Öffnung variiert zwischen ∅ = 2 und 8mm ⇒ Änderung der Fläche (̂= 

Lichtmenge) um 16x 

• chemische Adaption: insgesamt dynamischer Bereich von 15 Größenordnungen 

Akkomodation 

• Bildweite ist konstant 

• Brechkraft bzw. Brennweite des Auges wird an Gegenstandsweite angepasst 

• Linsenkrümmung wird geändert 

• entspanntes Auge (Ziliarmuskel) ⇒ Ferneinstellung 

Abbildung 28: Ziliarmuskel 

• Ziliarmuskel entspannt: radialer Zug an Linse ⇒ Linse flach 

Seite 28




• Ziliarmuskel angespannt: Zugentlastung ⇒ Linse kugelförmig 

Fernpunkt: idealerweise gilt g fern = ∞ 

Nahpunkt: Kürzeste Distanz, auf die scharf gestellt werden kann (stärkste Krümmung der Linse) g N : 

• Jugendliche: 7cm 

• Erwachsene: 25 cm 

• Alte: 100 cm 

Fehlsichtigkeiten 

Kurzsichtigkeit: 

• zu große Brechkraft (für Abstand Linse Netzhaut) ⇒ Fernpunkt < ∞ 

• entfernte Gegenstände sind immer unscharf 

• Brille mit Zerstreulinse (liefert virtuelles Bild) 

Beispiel: Fernpunkt = 2m 

g = ∞ nach b = −2m (virtuelles Bild) 

⇒ 1 

f Brille 

= 1 g + 1 b = 1 ∞ + 1 

−2m 

⇒ f Brille = −2m ⇒ Dioptriezahl: D = − 1 2 

Erklärung: Wir versuchen das Bild im unendlichen dort (virtuell) abzubilden, wo das Auge gerade 

noch scharf sehen kann: Bei 2 Meter vor dem Auge. 

Weitsichtigkeit: 

• zu kleine Brechkraft 

• ⇒ Nahpunkt zu weit entfernt 

• Brille mit Sammellinse (liefert virtuelles Bild) 

Bin ich weitsichtig? Wenn sie ein Blatt Papier mit ihrer Brille anzünden können, dann ja (Brille hat 

Sammellinse) 

2.2 Die Lupe 

Prinzip: Vergrößerung des Bildes auf der Netzhaut 

Seite 29




ohne Lupe: (scharfe) Bildgröße maximal für g = g N ≈ 25cm ⇒ f Auge = f min 

mit Lupe: 

1 

= 1 + 1 

f ges f Lupe f min 

Wirkungsweise: 

maximaler Sehwinkel 

• ohne Lupe: für Gegenstand im Nahpunkt Θ = h 

g N 

• mit Lupe: Gegenstand kann näher an das Auge gebracht werden ⇒ Vergrößertes virtuelles Bild 

maximaler effektiver Sehwinkel: für Gegenstandsweite g so dass Bildweite: −g N 

Definition der Vergrößerung: Bild im Unendlichen 

• Gegenstand im Abstand f Lupe vom Auge (Lupe) 

• effektiver Sehwinkel Θ = h f L 

• Winkelvergrößerung: m Θ = Θ′ 

Θ ≈ g N 

f L 

= 25cm 

f L 

• kleine Brennweite ̂= große Vergrößerung 

typisch für Lupe: m g < 10 − 20 

2.3 Fernrohr / Teleskop 

• Prinzip: Vergrößerung weit entfernter Objekte 

• Einfacher Aufbau: Objektiv + Okular: 1 Brennpunkt des Okulars fällt mit 2. Brennpunkt des 

Objektives zusammen 

Seite 30




2.3.1 Kepler’sches /Astronomisches Teleskop 

Abbildung 29: Zweilinsensystem 

(Linsenfernrohr = Refraktor) 

Abbildung 30: Kepler’sches Teleskop 

Zwei Sammellinsen, Winkelvergrößerung: m = − β α = − f ob 

f ok 

Gesichtsfeld: maximal beobachtbare Winkel 

Abbildung 31: Maximal beobachtbarer Winkel 

⇒ Θ s = D f ob 

Seite 31




• Feldlinse: zwischen Objektiv und Okular: vergrößert Seh-/Gesichtsfeld 

Abbildung 32: Funktion einer Feldlinse 

Auflösungsvermögen: 

∆Θ gibt an, welchen Winkelabstand man gerade noch beobachten kann: 

Abbildung 33: Auflösungsvermögen des Telekopes 

∆Θ = 1, 22 λ D (Beugungslimitiert) 

• Größere Linsen führen zu höherer Auflösung und hellerem Bild (mehr Lichteinfall) 

• Mit der Größe der Linse steigt die sphärische Aberration 

• Lichtstärke hängt ab von: ∝ D 2 

Bildumkehr im Kepler-Teleskop 

• zwei Dachprismen 

• Zwischenlinse 

• vergütete (entspiegelte) Optik: Verringerung der Reflexion 

Seite 32




Abbildung 34: Bildumkehr mit Zwischenlinse 

2.3.2 Galilei oder Holländisches Fernrohr 

• Sammellinse + Zerstreulinse 

Abbildung 35: Galilei oder Holländisches Fernrohr 

• d = |f ob | − |f ok | 

• m Θ = |f ob| 

|f ok | = − f ob 

f ok 

• aufrechtes Bild 

• kleines Gesichtsfeld 

Seite 33




2.3.3 Spiegelteleskope 

Abbildung 36: Spiegelteleskop 

• Spiegel statt Linsen 

• größere Spiegel sind leichter herstellbar als größere Linsen 

• Spiegel lassen sich für einen größeren Wellenlängenbereich herstellen (Radioastronomie, 

Röntgenastronomie, Extrem-UV Lithographie zur Herstellung von Mikroprozessoren) 

• keine chromatische Aberration 

2.4 Mikroskop 

Prinzip: Vergrößerung kleiner Objekte besteht aus Objektiv (f ob ≈ 1 − 5mm) und Okular 

(f ok ≈ 10mm) 

Seite 34




Abbildung 37: Mikroskop 

Lateralvergrößerung des Objektives: 

m ob = − b g ≈ − s 

f ob 

Winkelvergrößerung des Okulars 

m ok = g N 

f ok 

⇒ M ges = m ob · m ok = − s 

f ob 

· gN 

f ok 

⇒ M max ≥ 1000 

Anmerkung: 

≈ ̂= ungefähr 

∝ ̂= proportional 

g N = Gegenstandsweite des Normalsichtigen ̂=25cm 

Räumliches Auflösungsvermögen 

λ 

∆x min = 0, 61 

n sin(Θ) 

mit sin θ = 

D 

2 · f ob 

Abbildung 38: Auflösungsvermögen Mikroskop 

Seite 35



by: Christian Franzen, Matr. 1956616 3 SCHWINGUNGEN UND WELLEN 

3 Schwingungen und Wellen 

3.1 Schwingungen 

Schwingung ̂= periodische Änderung einer Zustandsgröße. Z.B.: Schwingung eines Gegenstandes in 

x-Richtung. 

Abbildung 39: Dreiecksschwingung 

Schwingungsperiode: T [s] 

Frequenz: Zahl der Schwingungen pro Zeiteinheit (typisch: pro Sekunde): f[s −1 , Hz] = 1 T 

3.1.1 Harmonische Schwingungen 

x(t) = x m cos(ωt + Φ) 

wobei x(t)=Auslenkung, x m =Amplitude, ωt=Kreisfrequenz/Winkelgeschwindigkeit und Φ=Phase 

Anmerkung: “Schwingende“ Zustandsgröße: 

Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ort, Strom, Spannung, Druck, elektrisches/magnetisches Feld 

mechanische Schwingung: 

• Amplitude ̂= maximale (Orts-)Auslenkung 

• Kreisfrequenz ̂= ω = 2πf[(rad)s −1 ], ω = 2π 

T 

• Phase: Φ[rad]: Verschiebung einer Schwingung im Zeitraum , −Φ ⇒ Φ Abstand des 1 

Maximums vom Ursprung t = 0 

Geschwindigkeit einer harmonischen Schwingung 

Seite 36




v(t) = dx(t) 

dt 

= d dt (x mcos(ωt+Φ)) = −x m ω sin(ωt+Φ) = x m ω 

cos(ωt+Φ+ π }{{} 

2 ) 

v m=Maximalgeschwindigkeit 

Beschleunigung einer harmonischen Schwingung 

a(t) = dv(t) 

dt 

= d dt (−x mω sin(ωt + Φ)) = −x m ω 

} {{ } 

2 cos(ωt + Φ) = −ω 2 x(t) 

v m=Maximalbeschleunigung 

a(t) = d2 x 

dt 2 = −ω2 x(t) ist charakteristisch für harmonische Schwingung 

3.2 Kraftgesetz der harmonischen Schwingung 

Newton: F = m · a = −ω 2 mx(t) ⇒rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung 

F = −Kx mit k = mω 2 

Definition: Ein Teilchen führt eine harmonische Schwingung aus, wenn es eine Kraft erfährt, die 

betragsmäßig proportional zur Auslenkung ist, und entgegengesetzt gerichtet ist. 

⇒ ω = 

√ 

k 

m = 2πf 

√ m 

T = 2π 

k 

Versuch: Feder mit verschiedenen Massen 

m T 

50g 1,16s 

100g 1,60s




potentielle Energie: F = −Kx ⇒ U = 1 2 Kx2 

⇒ U(t) = 1 2 Kx2 mcos 2 (ωt + Φ) 

Gesamtenergie: E T OT (t) = U(t) + K(t) = 1 2 Kx2 m(cos 2 (ωt + Φ) + sin 2 (ωt + Φ)) 

= 1 2 Kx2 m nicht zeitabhängig 

3.4 Pendel 

(hier nur mathematisches Pendel) 

• punktförmige Masse m 

• masseloser Faden 

• Rückstellkraft durch Gravitation 

• kleine Ausdehnung 

• reibungsfreie Schwingung 

F R = −m · g · sin θ 

≈ −m · g · θ 

≈ −m · g · x 

L 

̂= Kraft ist linear in x 

̂= − K · x 

= K = m · g 

L 

nicht zeitabhängig 

vgl. Federpendel: ω = 

√ 

k 

m ⇒ }{{} 

P endel 

ω = 

√ m · g 

m · L = √ g 

L 

⇒ T = √ 

L 

g · 2π 

⇒ Messung der Pendelperiode ermöglicht Bestimmung von g 

Versuch: 

Pendel 1: T=1,80 s, 81,5 cm 

Pendel 2: T=0,90 s, 20,3 cm 

⇒ g = L(2π)2 

T 2 = 9, 9 m s 2 Seite 38




3.5 Gleichförmige Kreisbewegung 

Abbildung 40: Kreisförmige Bewegung 

Projektion der Kreisbewegung auf x,y-Achse erscheint als harmonische Schwingung 

x(t) = R · cos(ωt + Φ) 

y(t) = R · sin(ωt + Φ) 

⇒ R 2 = x 2 + y 2 

V x (t) = ẋ(t) = −R ω sin(ωt + Φ) 

V y (t) = ẏ(t) = R ω cos(ωt + Φ) 

3.6 Gedämpfte harmonische Schwingung 

Federkraft: F F = −K · x 

Reibungskraft: F R = −b · v 

⇒ (2. Newton’sches Gesetz) Bewegungsgleichung 

∑ ⃗F = 0 , m · a = −bv − Kx 

⇒ Differentialgleichung: m · a + b · v + K · x = 0 

Wir wissen: v = dx 

dt , a = d2 x 

, somit gilt: 

dt2 m d2 x 

dt 2 + bdx dt + Kx = 0 | · 1 

m 

d 2 x 

dt 2 + 

b m 

}{{} 

γ=2δ 

dx 

dt + K m 

}{{} 

ω 2 0 

·x = 0 

ω 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 

γ, 2δ = Dämpfungskonstanten 

( 

δ = 

k 

2m = Reibungskraft ) 

2 · Masse 

Seite 39




Lösung für kleine Dämpfung (ω 0 > δ) 

x(t) = x m e −δt cos(ω ′ t + Φ) 

√ 

√ √ 

mit ω ′ = ω0 2 − δ2 = ω0 2 − γ2 K 

4 = m − b2 

Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung 

4m2 Allg. Lösung: 

Diskriminante: D = ω 2 0 − δ 2 

a) D > 0 Schwingfall 

Abbildung 41: Schwingfall 

x(t) = x m e −δt cos(ω ′ t + Φ) 

Güte: Q = ω 0 

γ = ω 0 

2δ 

gibt an, wieviel Schwingungen ausgeführt werden, bis die Auslenkung am Umkehrpunkt auf 

Anfangswertes abgefallen ist 

b) D = 0: aperiodischer Grenzfall 

1 

√ e 

des 

Seite 40




Abbildung 42: aperiodischer Grenzfall 

x(t) = x m (1 + δt)e −δt 

(schnellste Annäherung an 0) 

c) D < 0: Kriechfall 

Abbildung 43: Kriechfall 

√ 

gleiche Lösung wie beim Schwingfall, aber w ′ = i δ 2 − ω0 

2 

x(t) = x m e −δt cos(ω ′ t) = x m e −δt eiω′t + e −iω′ t 

= x ( m 

2 e−δt e −√ √ 

δ 2 −ω0 2t + e δ 2 −ω0 2t) 

≈ x [ √ ] 

m 

2 e− δ− δ 2 −ω0 

2 t 

2 

Seite 41




3.7 Erzwungene Schwingungen und Resonanz 

Abbildung 44: Erzwungene Schwingung 

γ = 2δ = b m 

F = F m · cos(ω e · t) 

ω R = Resonanzfrequenz 

ω e = Erregerfrequenz 

ω 0 = Eigenfrequenz 

ω ′ = Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung 

Differentialgleichung für erzwungene Schwingung: 

d 2 x 

dt 2 + γ dx 

dt + ω2 0x = F m · cos(ω e · t) 

m 

⇒Lösung 

x(t) = x m e −δt cos(ω ′ t + Φ) + X m cos(ω e t + ϕ) 

ω ′ = 

√ 

ω 2 0 − δ2 , X m ≡ Amplitudenresonanzfunktion 

X m (ω e ) = F m 

m · 1 

√ 

(ω 

2 

0 − ωe) 2 2 + 4δ 2 ωe 

2 

tanϕ = − 

2δω e 

ω0 2 − ω2 e 

Seite 42




Lösung für lange Zeiten: t ≫ 1 δ 

⇒ x(t) = X · cos(ω e t + ϕ) 

Diskussion der Amplitudenresonanzfunktion und Phase 

lim X m(ω e ) = F m 

ω e→0 mω0 

2 

= X m,0 , ϕ = 0 

lim X m(ω e ) = 0 , ϕ = −π = −180 ◦ 

ω e→0 

Maximum: (= Minimum von Nenner = Minimum von Argument der Wurzel, da diese monotone 

Funktion ⇒ Wird das Argument minimal, so wird auch die Wurzel minimal) 

⇒ h(ω e ) = [(ω 2 0 − ω 2 e) 2 + 4δ 2 ω 2 e] minimal 

⇒ ω 2 R = ω 2 0 − 2δ 2 Resonanzfrequenz 

kleine Dämpfung: 

ω R ≈ ω 0 

X m,max = F m 

mω 0 

· 

Q = ω 0 

2δ = ω 0 

γ Güte 

1 

2δ = ω 0 

2δ 

}{{} 

Güte 

X m,0 

3.8 Harmonischer Oszillator [Einheiten] 

Zeit t [s] 

Auslenkung x, y, z [m] 

Frequenz f, ν [s −1 ] 

Kreisfrequenz ω [(rad)s −1 ] oder [2π · Hz] 

Kraft F [N] 

Masse m [kg] 

Federkonstante K, D [Nm −1 ] 

Reibungskoeffizient b [Nm −1 s] oder [kgs −1 ] 

Energie U, V, K [J] oder [Nm] 

3.9 Überlagerung von Schwingungen 

3.9.1 Orthogonale Schwingungen 

x = x m sin(ω x t + ϕ x ) 

Seite 43




y = y m cos(ω y t + ϕ y ) 

a) 

ω x = ω y = ω 

ϕ x = ϕ y = 0 

x m = y m ⇒ Kreisbewegung 

Abbildung 45: Kreisbewegung 

b) 

ω x = ω y = ω ; ϕ x = ϕ y = 0 ; x m > y m 

⇒ Ellipse 

Seite 44




Abbildung 46: Ellipse 

c) 

ω x = ω y ; ϕ x ≠ ϕ y = 0 

⇒ gekippte Ellipse 

d) allgemeine Lissajous-Figuren 

Abbildung 47: Orthogonale Schwingungen 

3.9.2 Schwebung 

2 Schwingungen der gleichen Zustandsgröße mit unterschiedlicher Frequenz 

x 1 = x m sin(ω 1 t + ϕ 1 ) 

x 2 = x m sin(ω 1 t + ϕ 2 ) 

⇒ ϕ 1 = ϕ 2 = 0 durch Wahl von t=0 

zunächst: x m1 = x m2 = x m 

( 

ω1 − ω 2 

⇒ x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = x m [sin(ω 1 t) + sin(ω 2 t)] = 2x m cos 

2 

) 

t 

} {{ } 

Niederfrequent 

( 

ω1 + ω 2 

· sin 

2 

) 

t 

} {{ } 

Hochfrequent 

Seite 45




( ) 

ω1 + ω 2 

x(t) = A(t) sin t 

2 

( ) 

ω1 − ω 2 

A(t) = 2x m cos t Amplitudenfunktion 

2 

• A(t) im Fall der Schwebung sinusförmige Modulation 

• Schwebung mit doppelter Frequenz des cos-Argumentes 

• Schwebungsperiode: T s = 

2π 

ω 1 − ω 2 

• Schwebungsfrequenz: ω s = ω 1 · ω 2 

• x m1 ≠ x m2 ⇒ unreine Schwebung (nur Störung, 2. Amplitude wird nicht komplett aufgehoben) 

3.10 Gekoppelte Schwingung 

2 oder mehr schwingungsfähige Systeme, die sich gegenseitig beeinflussen. 

Abbildung 48: gekoppelte Schwingung 

Schwache Kopplung (kleines K) ⇒ langsame Energieübertragung zwischen den Pendeln 

Starke Kopplung: schnelle Energieübertrag 

Normalschwingungen: 

Seite 46




Abbildung 49: Normalschwingung in Phase 

in Phase: ω = 

√ g 

L = ω 0 

Abbildung 50: gegenphasige Normalschwingung 

gegenphasig: ω = 

√ ( 

ω 2 0 + 2 k m) 

allgemein: Bei N gekoppelten schwingenden Systemen gibt es N Normalmoden (mit ggf. 

unterschiedlicher Schwingungsfrequenz) 

Seite 47



by: Christian Franzen, Matr. 1956616 4 WELLEN 

4 Wellen 

Eigenschaften 

• sich ausbreitende Änderung einer physikalischen Größe 

• Ausbreitung in 1,2 oder 3 Dimensionen 

• Transport von Energie (in der Regel nicht von Materie) 

• Wellengeschwindigkeit ≠ Teilchengeschwindigkeit 

Wellenarten 

• mechanische Wellen (an Materie gebunden) z.B. Wasserwellen, Schallwellen, seismische Wellen, 

“Federwellen“ 

• elektromagnetische Wellen (nicht an Materie gebunden) 

• Materiewellen quantenmechanische Beschreibung von Teilchen (z.B. Elektronen, Protonen, 

Atome, Moleküle) 

• Transversalwellen physikalische Größe schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung 

(elektromagnetische Wellen) 

• Longitudinalwellen physikalische Größe schwingt entlang der Ausbreitungsrichtung 

(Schallwelle) 

4.1 Mathematische Beschreibung 

Transversalwelle, harmonische Welle: 

y(x, t) = y m sin(kx − ωt) 

wobei: 

y(x, t) = Auslenkung 

y m = Amplitude 

k = Wellenzahl 

ω = Kreisfrequenz 

Seite 48




Abbildung 51: gegenphasige Normalschwingung 

Amplitude: Maximalwert 

Phase: (kx − ωt) bestimmt den aktuellen Wert am Ort x zur Zeit t. 

y(x, t) = y m sin(kx − ωt) (Bestimmt Auslenkung an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten 

Zeit) 

mit y = Auslenkung, y m = Amplitude, sin(kx − ωt) =Phase(nlage), k = Wellenzahl, ω = 

Winkelgeschwindigkeit 

Periode (zeitlich) 

(( ) ) 

2π 

x = 0 ⇒ y(0, t) = y m sin(−ωt) = y m sin(2π − ωt) = y m sin 

ω − t · ω ⇒ T = 2π ω 

Frequenz: f = 1 T 

Wellenlänge: (λ) 

Abstand zweier Punkte gleicher Phasenlage zu einem bestimmten Zeitpunkt 

( ( 

z.B.: T = 0 ⇒ y(x, 0) = y m sin(kx) = y m sin(kx + 2π) = y m sin k x + 2π k 

)) 

⇒ λ = 2π k 

⇔ k = 2π λ 

k : Wellenzahl (Wellenvektor) 

Seite 49




4.2 Geschwindigkeit einer Welle 

Wellengeschwindigkeit = Geschwindigkeit, mit der sich( 

eine bestimmte Auslenkung (Phasenlage) 

fortbewegt. Bei fester Auslenkung gilt: kx − ωt = csc Kosekans = 1 ) 

sin(x) 

⇒ x = 1 k (const + ωt) ⇒ V c = dx 

dt = ω k = 2πf 

2π λ = λf 

V c > 0 ⇒ nach rechts laufende Welle y(x, t) = y m sin(kx − ωt) 

V c < 0 ⇒ nach links laufende Welle y(x, t) = y m sin(kx + ωt) 

Versuch zur Schallgeschwindigkeit: 

f = 6, 57khz (Sinuswelle, Frequenzgenerator) 

λ = 0, 0493m (Wellenlänge, gemessen) 

V C = 324m/s 

4.3 Geschwindigkeit einer Seilwelle 

• nähere ausgelenktes Seil durch Kreisbogen (Radius R und Spannkraft τ im Seil) 

• betrachte Kraft auf ein kleines (infinitesimales) Seilelement der Länge ∆l und der Masse 

∆m = µ ∆l (mit µ = lineare Dichte [kg · m −1 ]) 

• ⇒ F s = 2τ sin θ ≈ τ2θ ≈ τ ∆l 

R 

• Wellenausbreitung mit Geschwindigkeit v ⇒ Zentripetalbeschleunigung auf Kreisbogen 

a = v2 

R ⇒ F z = µ∆l v2 

R 

• ⇒ F s = F z , τ ∆l 

R 

= µ∆l 

v2 

R ⇒ v = √ τ 

µ = V c 

4.4 Wellengleichung 

Alle Wellen werden durch eine Differentialgleichung folgender Form beschrieben (im 

1-Dimensionalen): 

für y(x, t) ∂2 y 

∂t 2 = ∂ 2 y 

v2 c 

∂x 2 

harmonische Welle 

y(x, t) = y m sin(kx − ωt) 

Seite 50




∂y 

∂t = −ωy mcos(kx − ωt) 

∂ 2 y 

∂t 2 = −ω2 y m sin(kx − ωt) 

∂y 

∂x = ky mcos(kx − ωt) 

∂ 2 y 

∂x 2 = −k2 y m sin(kx − ωt) 

⇒ in Wellengleichung: −ω 2 y m sin(kx − ωt) = v 2 c (−k 2 )y m sin(kx − ωt) 

̂=ω 2 = v 2 c (k 2 ) 

v c = ω k 

Allgemeine Lösung für Wellengleichung y(x, t) = f(x ± v c t) 

( 

z.B.: y m sin(kx − ωt) = y m sin k 

(x − ω )) 

k t 

Beispiele: 

a) y(x, t) = √ √ 

ax + bt = a 

(x + b ) 

a t ̌ 

( ( 

b) y(x, t) = sin(ax 2 − bt) = sin ax x − b )) 

ax t 

c) y(x, t) = y m e −i(kx−ωt) ̌ 

× 

4.5 Energie und Leistung einer Welle 

(am Beispiel einer transversalen Seilwelle) 

Kinetische Energie: Bewegungsenergie eines Seilstückes mit Masse dm aufgrund der transversalen 

Bewegung (maximal bei y = 0) 

potentielle Energie: elastische Dehnungsenergie des Seils (maximal bei v = 0) 

Betrachte mittlere Energie (über eine Periode gemittelt) 

⇒ E kin = E pot ⇒ E tot = 2E kin 

Berechne E kin : 

Seite 51




dE kin = 1 ( ) ∂y 2 

2 dm = 1 ∂t 2 dm(−ωy mcos(kx − ωt)) 2 (harmonische Welle) 

mit ∂t = Transversalgeschwindigkeit 

= 1 2 µ dx ω2 y 2 m cos 2 (kx − ωt) (dm = µ dx) 

⇒ 

dE kin 

dt } {{ } 

Energietransportrate 

= 1 2 µ dx 

dt 

}{{} 

V c 

⇒ Leistung über Periode gemittelt 

( 

dEkin 

dt 

) 

= 1 2 µ v c ω 2 ym 2 cos 2 (k − ωt) 

ω 2 y 2 m cos 2 (kx − ωt) 

∫ T 

cos 2 (kx − ωt) = 1 T 

cos 2 (kx − ωt)dt = 1 2 T 1 T = 1 2 

⇒ 

( 

dEkin 

dt 

0 

) 

= 1 4 µ v c ω 2 ym 

2 

⇒ gemittelte Leistung P gem = 2 

( 

dEkin 

dt 

) 

= 1 2 µ v c ω 2 ym 

2 

4.6 Superposition von Wellen 

Superpositionsprinzip: Bei Überlagerung zweier (gleichartiger) Wellen addiert sich die Auslenkung 

und es entsteht wieder eine Welle: y tot (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) 

Falsch: y tot (x, t) = (y m1 + y m2 )sin(kx − ωt) 

Richtig: y tot (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = y m1 sin(k 1 x − ω 1 t) + y m2 sin(k 2 x − ω 2 t + Φ) (die Phase Φ ist 

wichtig!) 

4.6.1 Interferenz 

Überlagerung von (sinusförmigen) Wellen gleicher Wellenlänge und Amplitude aber unterschiedlicher 

Phase und gleicher Ausbreitungsrichtung. 

y 1 (x, t) = y m · sin(kx − ωt) 

y 2 (x, t) = y m · sin(kx − ωt + φ) 

Seite 52




y tot (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = 

( ) ( ) 

α + β α − β 

mit sin α + sin β = 2 sin cos 

2 

2 

( ) 

( 

φ 

2y m cos 

sin kx − ωt + φ ) 

2 2 

} {{ } 

A(φ)̂=Amplitudenfunktion der Gesamtwelle 

Hinweis: f(x) = √ ( ( b 

a 2 + b 2 · sin x + arctan (mit arccos als Phase des Sinus) 

a)) 

A(φ) = Amplitudenfunktion der Gesamtwelle 

⇒ φ = 0 Konstruktive Interferenz: A(φ = 0) = 2y m 

⇒ φ = π Destruktive Interferenz: A(φ = π) = 0 

Allgemein: 

• konstruktive Interferenz für φ = 2nπ 

• destruktive Interferenz für φ = (2n + 1)π 

• gemischte Interferenz für φ ≠ nπ 

zum Versuch: Interferenz von akustischen Wellen 

Abbildung 52: Mikrofonversuch: Interferenz 

y 1 (∆x 1 , t) = y m · sin(k∆x 1 − ωt) 

y 2 (∆x 2 , t) = y m · sin(k∆x 1 − ωt) 

Am Ort des Mikrofon: Überlagerung der beiden Schallwellen 

( ) ( ) 

k(∆x1 − ∆x 2 ) k(∆x1 + ∆x 2 ) 

⇒ y tot = 2y m cos 

sin 

− ωt 

2 

2 

Seite 53




konstruktive Interferenz: k(∆x 1 − ∆x 2 ) = 2nπ 

destruktive Interferenz: k(∆x 1 − ∆x 2 ) = (2n + 1)π 

4.6.2 Stehende Wellen 

Überlagerung gegenläufiger Wellen gleicher Wellenlänge (und Amplitude) 

y 1 (x, t) = y m · sin(kx − ωt) 

y 2 (x, t) = y m · sin(kx + ωt) 

y tot (x, t) = 

2y m sin(kx) cos(ωt) 

} {{ } } {{ } 

A(φ)̂=Amplitudenfunktion Schwingterm 

A(x) = 0 für kx = n · π ⇒ x = n λ ̂= Knoten der Stehwelle 

2 

A(x) = A max = 2y m für kx = (2n + 1) π 2 

⇒ x = 

(2n + 1) 

2 

λ ̂= Bäuche der Stehwelle 

2 

Erzeugen von Stehwellen 

z.B. durch Reflexion einer Seilwelle: 

a) fest eingespanntes Ende 

Abbildung 53: Reflexion einer Seilwelle 

Seite 54





y 1 = y m sin(kx − ωt) 

y 2 = y m sin(−kx − ωt + π) (Mit π als Phasensprung und −k als Richtungsänderung) 

( 

⇒ y tot (x) = −2y m sin ωt − π ) ( 

cos kx − π ) 

2 

2 

y tot (x = 0) = 0 für alle t. (folgt aus sin(−ky − ωt + π) = −sin(kx + ωt − π)) 

b) lose festgemachtes Ende 


⇒ kein Phasensprung 

y 2 = y m sin(−kx − ωt) 

⇒ y tot (x = 0) = −2y m sin(ωt) 

Seilwelle als Stehwelle 

Seite 55




Abbildung 56: Stehwelle 

√ τ 

⇒ größte Wellenlänge für stabile Stehwelle λ = 2l mit v c = 

µ 

⇒ f 1 = v √ 

c τ 

λ = µ4l 2 (Grund-)Resonanzfrequenz der eingespannten Saite 

Oberwellen (mehr Knoten): 

3 Knoten: λ = l ⇒ f 2 = 2f 1 

4 Knoten: λ = 2 3 l ⇒ f 3 = 3f 1 

allgemein: f n = nf 1 , λ n = 2l 

n 

4.7 Wellen in 1,2 und 3 Dimensionen 

allgemeine Wellengleichung in 3D (für isotrope Medien (Richtungsunabhängige 

Ausbreitungsgeschwindigkeit)) 

Seite 56




∂ 2 

∂t ⃗ 2 A(x, y, z, t) = vc 2 ∆A(x, ⃗ y, z, t) mit ∆ als Laplace-Operator 

∂ 2 

( ) 

∂t ⃗ ∂ 2 A(x, y, z, t) = vc 

2 2 

∂x ⃗ 2 A(x, y, z, t) + ∂2 

∂y ⃗ 2 A(x, y, z, t) + ∂2 

∂z ⃗ 2 A(x, y, z, t) 

Anm: ⃗ A ist im allgemeinen vektoriell: 

⎛ ⎞ 

A x 

⃗A = ⎝A y 

⎠ ⇒ Wellen gleichung gilt für jede Komponente 

A z 

für anisotrope Ausbreitungsmedien kann v c von der Richtung abhängen 

1-Dimensionale Welle (harmonisch) 

ebene Welle: ⃗ A(x, t) = ⃗ A 0 sin(kx − ωt) 

allgemein: ⃗ A(⃗r, t) = ⃗ A 0 sin( ⃗ k · ⃗r − ωt) 

⎛ ⎞ 

k x 

⃗ k = ⎝k y 

⎠ = Wellenvektor 

k z 

| ⃗ k| = k ̂= Wellenzahl 

Intensität= Leistung =konstant (unabhängig vom Ort) 

Fläche 

Erinnerung: Leistung ∝ | ⃗ A| 2 


Kreiswelle: ⃗ A(x, y, t) = ⃗ A(⃗r, t) = ⃗ A 0 

√ r 

sin( ⃗ k · ⃗r − ωt) mit ⃗ k = |k| · ⃗e r 

Abbildung 57: Wellenausbreitung in 2 Dimensionen 

Intensität=∝ | ⃗ A| 2 ∝ 1 r 

(Erinnere: ∝ = Proportionalitätszeichen) 


Seite 57




Kugelwelle: ⃗ A(x, y, z, t) = ⃗ A(⃗r, t) = ⃗ A 0 

r sin(⃗ k · ⃗r − ωt) mit ⃗ k = |k| · ⃗e r 

Intensität= Leistung 

Fläche =∝ 1 r 2 

Abbildung 58: Wellenausbreitung in 3 Dimensionen 

Zylinderkoordinaten als 3D-Erweiterung vom Polarkoordinaten 

3D-Welle: Kugelkoordinaten ⃗e r , ⃗e θ , ⃗e ϕ 

4.8 Doppler-Effekt 

Sender und Empfänger bewegen sich relativ zueinander ⇒ f send ≠ f Empfang 

a) Empfänger bewegt sich 

Abbildung 59: Doppler-Effekt 

Sendefrequenz: f s = v c 

λ = 1 T 

⎛ 

v c 

Empfangsfrequenz: f e = ⎜ 

⎝ λ − v e 

⎟ 

}{{} λ ⎠ = f v c − v e 

s 

v c 

1 

∆T 

⎞ 

⇒ f e > f s für v e < 0 (Empfänger bewegt sich entgegengesetzt zur Ausbreitungsrichtung der Welle 

auf den Sender zu) 

⇒ f e < f s für v e > 0 (Empfänger bewegt sich vom Sender weg) 

Seite 58




b) Empfänger in Ruhe, Sender bewegt sich 

Abbildung 60: Doppler-Effekt 

Sendefrequenz im Ruhesystem des Senders f s = v c 

λ 

v c T 

Empfangsfrequenz = f s = f e 

v c T − v s T = f s 

v c − v s 

⇒ f e > f s für v s > 0 (Sender bewegt sich in die gleiche Richtung wie die Welle) 

⇒ f e < f s für v s < 0 (Sender bewegt sich entgegengesetzt zur Welle) 

c) allgemein: Doppler-Effekt 

v c 

f e = f s 

v c − v e 

v c − v s 

d) Überschall 

V s → V c ; f e → ∞ 

• Schockwellen (Zusammentreffen der Wellenfronten) 

• beim Überschreiten von v c entsteht “Überschallknall“ 

Mach’scher Kegel: 

sin θ = v ct 

v s t = v c 

v s 

mit v s = Geschwindigkeit des Senders 

4.9 Das Huygens’sche Prinzip 

Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger Elementarwellen. Der 

Ort der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangenten an allen diesen 

sekundären Elementarwellen. 

Seite 59



by: Christian Franzen, Matr. 1956616 5 ELEKTROMAGNETISCHE WELLE 

5 Elektromagnetische Welle 

5.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen 

c 2 ∆ ⃗ E = ∂2 ⃗ E 

∂t 2 

und c2 ∆ ⃗ B = ∂2 ⃗ B 

∂t 2 

• c 0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugssystem 

• ⇒ c = c 0 ̂= Lichtgeschwindigkeit im Medium mit Brechungsindex n 

n 

• c 0 = 1 √ 

µ0 ε 0 

= 2, 9979 · 10 8 m s 

−12 As 

• ε 0 ̂= Influenzkonstante = 8, 85 · 10 

V m 

• µ 0 ̂= Induktionskonstante = 4π · 10 −7 V m 

As 

∣ ∣ • ⇒ 

⃗Em 

∣∣∣ E 

∣ ∣ ⃗Bm 

= c = ⃗ ∣∣∣ 

B ⃗ 

• ⃗ E = ⃗ Em sin( ⃗ K · ⃗r − ωt) 

• ⃗ B = ⃗ Bm sin( ⃗ K · ⃗r − ωt) 

Es gilt: 

⃗Em ⊥ ⃗ Bm̂= ⃗ Em · ⃗Bm = 0 

⃗Em ⊥ ⃗ K und ⃗ Bm ⊥ ⃗ K ⇒ elektromagnetische Wellen sind transversal (gilt für isotrope Medien) 

⇒ Die Richtung von ⃗ E heißt Polarisationsrichtung 

5.2 Energietransport und Poynting-Vektor 

⃗S = 1 µ 0 

⃗ E × ⃗ B Poynting-Vektor: 

gibt momentane lokale Richtung des Energieflusses an. 

S = | ⃗ S| = Energie/Zeit 

Fläche 

= Leistung 

Fläche = Intensität[W m−2 ] 

S = 1 µ 0 

| ⃗ E| · | ⃗ B| = 1 

cµ 0 

| ⃗ E| 2 Seite 60




zeitlich gemittelte Intensität: 

I = S = 1 | E| 

cµ ⃗ 2 = 1 | Em| 

0 cµ ⃗ 2 sin 2 ( K ⃗ · ⃗r − ωt) 

0 } {{ } 

1 

2 

⇒ I = 1 1 

| Em| 

2 cµ ⃗ 2 = cε 0 Erms 2 mit E rms = | Em| ⃗ √ 

0 2 

= Root Mean Square 

Beispiel: Sonneneinstrahlung 

S = 1, 4kw/m 2 (Solarkonstante) ⇒ | ⃗ Em| ≈ 10 3 V/m ; | ⃗ Bm| ≈ 3, 3 · 10 −6 T 

5.3 Erzeugung elektromagnetischer Wellen 

Allg: e.m. Wellen entstehen durch Abstrahlung bei der Beschleunigung elektrischer Ladungen 

• Hertz’scher Dipol: oszillierender Dipol mit Kreisfrequenz ω ⇒ 

– abgestrahltes elektrisches Feld mit Kreisfrequenz ω 

– Feldlinien lösen sich nach jeder halben Periode ab 

– Ausbreitung der Feldlinien mit Lichtgeschwindigkeit 

• atomares Licht: “Elektronen“ (-) “kreisen“ um Kern (+) ̂= beschleunigte Bewegung ⇒ 

Abstrahlung von Licht (Achtung: Quantenmechanik) 

• Moleküle 

Abbildung 61: Ladung 

– Schwingung 

– ̂= periodische Abstandsänderung 

– Rotation um Schwerpunkt 

⇒ führt zu Abstrahlung von e.m. Wellen 

Seite 61




5.4 Überblick über das elektromagnetische Spektrum 

Abbildung 62: Elektromagnetisches Spektrum 

Radiowellen: 

λ ∼ 0, 3m − x km 

ν ∼ Hz − 10 9 Hz 

Radio, MRT (Magnetresonanztomographie) 

Mikrowellen: 

λ ∼ 10 −3 m − 0, 3m 

ν ∼ 10 9 Hz − 3 · 10 11 Hz 

Radar, Handy, Untersuchung molekularer Strukturen 

Infrarotes Spektrum: 

λ ∼ 7, 8 · 10 −7 m − 10 −3 m 

ν ∼ 4 · 10 11 Hz − 4 · 10 14 Hz 

Industrie, Medizin, Astronomie, neue Anwendungsfälle: Terahertz-Strahlung 

sichtbares Spektrum: 

λ ∼ 3, 8 · 10 −7 m − 7, 8 −7 m 

ν ∼ 4 · 10 14 Hz − 8 · 10 14 Hz 

Photovoltaik, Laser, Photosynthese 

Ultraviolette Strahlung: 

Seite 62




λ ∼ 6 · 10 −10 m − 3, 8 · 10 −7 m 

ν ∼ 4 · 8 14 Hz − 3 · 10 17 Hz 

medizinische Anwendungen, Sterilisation 

Röntgenstrahlung: 

λ ∼ 6 · 10 −12 m − 6 · 10 −10 m 

ν ∼ 3 · 10 17 Hz − 3 · 10 19 Hz 

medizinische Diagnose, Krebstherapie, Industrie, Astronomie 

γ-Strahlung: 

λ ∼ 10 −14 m − 6 · 10 −12 m 

ν ∼ 3 · 10 19 Hz − 3 · 10 2 Hz 

produziert in Kernreaktionen 

5.5 Licht als Teilchen - der Fotoeffekt 

• 1888 Versuch von Hallwachs: UV-Licht löst Elektron aus negativ geladener Platte 

• 1902 Lenard: Messung der kinetischen Energie der emittierten Elektronen durch 

Gegenfeldmethode 

Abbildung 63: Lenard Experiment 

U < 0 ⇒ Elektronen werden abgebremst 

U > 0 ⇒ Elektronen werden beschleunigt 

E kin < −U · e ⇒ Elektronen gelangen nicht zur Anode 

Beobachtungen: 

1. U, ν konstant ⇒ I ∝ P (Lichtleistung) 

2. ν, P konstant ⇒ I sättigt für große U 

3. ν konstant ⇒ für U 

4. ν < ν Grenz ⇒ I = 0 unabhängig von P und U 

Seite 63




Interpretation: 

• Licht besteht aus Quanten (Photonen), die einzeln Elektronen aus der Fotokathode auslösen. 

• Für die Photonenenergie gilt E P hoton = h · ν mit h = 6, 62 · 10 −34 Js = 2π 

• Je höher die Lichtleistung, desto größer ist die Photonenzahl 

• Mindestenergie für Freisetzung von Elektronen: Austrittsarbeit W A = e · U A = h · ν Grenz (mit 

W = Materialkonstante) 

• kinetische Energie der Elektronen (direkt nach Ausritt aus der Fotokathode): 

E kin = −e · U max ⇒ 

−e · U max = h · ν − e · U A 

−U max = h · ν 

e 

− U A 

(⇒ E kin = E photon − Austrittsarbeit) 

Einstein-Gleichung (E = mc 2 ) ⇒ Präzisionsmessung von h e 

aus Geradensteigung 

5.6 Strahlungsdruck / Strahlungsdruckkraft 

...mit 

P 0 = Leistung 

P s = Druck 

P = Impuls 

a) 

Abbildung 64: vollständig absorbierende Fläche 

P 0 = I · A 

mit P 0 = Leistung, I = Intensität, A = Fläche 

⇒ Impulsveränderung im Zeitinvervall ∆t 

P Licht = 

}{{} ∆P = P 0 · ∆t 

= 

c 

Impulsübertrag 

deponierte Energie 

Lichtgeschwindigkeit 

Seite 64




( 

folgt aus: P 0 = E t ⇒ E = P 0 · t ; E = mc 2 ⇒ m = E c 2 = P 0 · t 

c 2 

( 

) 

bei kleinen Geschwindigkeiten:∆P = 2 · Ekin 

v 

b) 

; P = m · v = m · c = P 0 · t 

c 2 

· c = P ) 

0 · t 

c 

Abbildung 65: Strahlungsdruck 

⇒ ∆P = P vorherLicht − P nachherLicht = 2|P vorherLicht | = 2 · P 0∆t 

c 

Strahlungsdruckkraft 

F = m · a = ∆P 

∆t ⇒ F = 2P 0 

c 

z.B. HeNe-Laser mit 1 mW: 

⇒ F = 2 · 10−3 W 

3 · 10 8 m/s = 0, ¯6 · 10 −11 N 

Strahlungsdruck 

Druck 

{}}{ 

P s = F A = 2P 0 

cA 

(für vollständige Reflexion) 

(für vollständige Reflexion) 

z.B. Strahlungsdruck durch die Sonne 

I = 1, 4kw/m 2 ⇒ P s = 

Impuls eines Photons 

2 · 1, 4kw/m2 

3 · 10 8 m/s 

≈ 10 −5 P a ≈ 10 −10 bar 

Impulsübertragung 

{}}{ 

∆P 

= P 0 · ∆t 

c 

(bei vollständiger Absorption) 

Seite 65




⇒ P P hoton = 

P 0 = Nhc 

λ∆t 

=1 

{}}{ 

N hc∆t 

= h ∆tλc λ = K 

(siehe Übungsblatt) 

5.7 Interferenz elektromagnetischer Wellen 

allg: Interferenz = Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip 

Beispiel: Fresnelspiegel 

• Erzeugung zweier virtueller Lichtquellen durch Reflexion an zwei leicht gegeneinander 

verkippten Spiegeln 

• Beobachtung: Interferenzstreifen 

Maxima ̂= konstruktive Interferenz 

Minima ̂= destruktive Interferenz 

5.7.1 Der Young’sche Doppelspalt 

Abbildung 66: Young’sche Doppelspalt 

⇒ ∆l = d · sin θ 

Konstruktive Interferenz: ∆l = ( mλ mit m= ganze Zahl 

Destruktive Interferenz: ∆l = m + 1 ) 

λ mit m= ganze Zahl 

2 

Intensität: Auf dem Schirm: (Nähere Wellen als ebene Wellen) 

Seite 66




Welle von Spalt 2: E 2 = E 0 sin(ωt) 

Welle von Spalt 1: E 1 = E 0 sin(ωt + Φ) (Phase Φ beinhaltet Gangunterschied) 

Schirmauftreffpunkt am Ort ⃗r = 0 

Intensität = 1 

cµ 0 

(E 1 + E 2 ) 2 = E2 0 

cµ 0 

(sin(ωt) + sin(ωt + Φ)) 2 

( ( ) ( 

= E2 0 Φ 

2cos + sin ωt + Φ )) 2 

= E2 0 

4 cos 2 Φ ( ( 

sin ωt + Φ )) 2 

cµ 0 2 2 cµ 0 2 

2 

} {{ } 

1 

2 

E 2 0 

= 1 4 cos 2 Φ 2 cµ 0 2 (I 0 ̂= Intensität einer Welle) 

⇒ Intensität in den Maxima ist doppelt so groß wie die Summe der Einzelintensitäten 

Falls Φ ausschließlich aufgrund von Gangunterschied ⇒ Φ = ∆l 

λ 

· 2π = 

2π · d · sin θ 

λ 

5.7.2 Interferenz an dünnen Schichten 

Abbildung 67: Interferenz an dünnen Schichten 

Wann verstärken sich die reflektierten Wellen (1) und (2)? (bzw. löschen sich aus) 

E 1 = E 01 sin(kx − ωt + π) (Phasensprung wegen Reflexion optisch dünn nach optisch dick) 

E 2 = E 02 sin(kx − ωt + 0 + ϕ) (keinen Phasensprung wg. optischer Dichte, aber Gangunterschied wg. 

längerem Weg) 

Seite 67




n 1 < n 2 ⇒ Phasensprung um π 

n 2 > n 3 ⇒ kein Phasensprung 

senkrechter Einfall: (θ = 0) ⇒ 2π · 2d 

λ n 

= 4π d · n 

λ 0 

mit λ n = Wellenlänge im Glasplättchen und λ 0 = Wellenlänge im Vakuum 

gesamter Phasenunterschied: ∆ϕ = 4π · d · n 

λ 0 

Gangunterschied 

ϕ = 2π 2d = 4πdn 2 

, λ n = λ 0 

λ n λ 0 n 

− π 

⇒ ∆ϕ = 4πdn 2 

λ 0 

− π (für Reflexion) 

konstruktive Interferenz für : ∆ϕ = 2πm ⇒ m2π = 4π dn 2 

λ 0 

⇒ 

( 

m + 1 ) 

π = 2πdn 2 

⇒ m + 1 2 λ 0 2 = 2dn 2 

λ 0 

⇒ d = 1 2 

( 

m + 1 ) 

λ0 

2 n 

(m ist ganze Zahl) 

− π 

destruktive Interferenz: (2m + 1)π = ∆ϕ ⇒ d = 1 2 mλ 0 

n 

Allgemein: konstruktive Interferenz für ∆ϕ = 4π ( √ ) 

d n 2 2 

λ − sin2 θ 

0 

− π 

5.7.3 Newton’sche Ringe 

Linse (bzw. gekrümmte Oberfläche) auf planer Oberfläche ⇒ Interferenz an Schicht variabler Dicke 

⇒ Interferenzringe 

Seite 68




Abbildung 68: Newton’sche Ringe 

r 2 = R 2 − (R − d) 2 = 2Rd − d 2 

für R ≫ d ⇒ r ≈ √ 2Rd 

Konstruktive Interferenz (Reflexion): 

2d = 

x + m = 

( 

m + 1 ) 

λ ⇒ Radius des m-ten Kreises 

2 

√ 

R 

( 

m + 1 ) 

λ 

2 

destruktive Interferenz: 

X − m = √ mRλ 

5.7.4 Versuch: Reflexion und Transmission von Weißlicht an Seifenblasenhaut 

Prinzip: Interferenz an dünner Schicht variabler Dicke 

Abbildung 69: Interferenz an Seifenblasenhaut: Transmission 

Seite 69




Transmission: Interferenzmaxima für 2d(x) = m λ n 

Abbildung 70: Interferenz an Seifenblasenhaut: Reflexion 

Reflexion: Interferenzmaxima für 2d(x) = 

( 

m + 1 ) λ 

2 n 

bei Weißlichtbeleuchtung tritt Interferenz für unterschiedliche Wellenlängen an Orten 

unterschiedlicher Dicke auf ⇒ “Regenbogen“-effekt durch Interferenz 

optische Vergütung ⇒ Verminderung der Reflexion durch destruktive Interferenz 

Abbildung 71: optische Vergütung 

⇒ Reflexion an (1) und (2) sollen destruktiv interferieren ⇒= λ 1 

(an beiden Grenzflächen 

4 n 2 

Phasensprung von π) 

Multilayer-Schichten 

Abbildung 72: Multilayer-Schichten 

Interferenz an vielen Schichten ⇒ R = I in 

I R 

kann zwischen 10 −6 und 0, 99999 eingestellt werden (für mehrere Wellenlängen möglich) 

Seite 70




5.7.5 Interferometer 

z.B. Michelson-Interferometer 

Abbildung 73: Michelson-Interferometer 

Gangunterschied (im Vakuum) ∆ = 2d 2 − 2d 1 , Phasensprung um π bei einer Reflexion 

konstruktive Interferenz für ∆ = mλ + λ 2 

Abbildung 74: Strahlteiler 

n 2 > n 1 ⇒ (1) ⇒ kein Phasensprung 

n 2 > n 1 ⇒ (2) ⇒ Phasensprung um π 

⇒ Michelson-Interferometer kann Gang-Unterschied bzw. Phasendifferenz messen: 

Beeinflussung der Phasendifferenz: 

Seite 71




• Änderung der Weglänge ⇒ interferometrische Längenbestimmung 

• Änderung des Brechungsintex (z.B. Temperaturänderung) 

5.8 Beugung 

• Abweichung von der geradlinigen Wellenausbreitung 

• Wichtig: Bei Wechselwirkung eines Lichtfelds mit kleinen “Hindernissen“ bzw. an Kanten, die 

das Lichtfeld beschneiden 

Fresnel-Regime 

Abbildung 75: Fresnel-Regime 

• D ̸≫ a 

• “Nahfeld“ 

• berücksichtigt “Nicht“-Parallelität 

Fraunhofer-Regime 

Abbildung 76: Fraunhofer-Regime 

• D ≫ a 

• “Fernfeld“ 

Seite 72




• berücksichtigt “Nicht“-Parallelität 

5.8.1 Beugung am Einfachspalt 

Abbildung 77: Beugung am Einfachspalt 

a 

2 sin θ = λ 2 

⇒ Bedingung für 1. Minimum sin θ = λ a 

höhere Minima: sin θ = mλ 

a 

Intensitätsverteilung 

Abbildung 78: Intensitätsverteilung 

( sin 2 ) 

α 

I(θ) = I 0 

α 2 mit α = 

( πa 

) 

sin θ 

λ 

5.8.2 Beugung an Kreisförmiger Öffnung 

sin θ m = 

1, 22λ 

d 

(1. Beugungsminimum) 

Seite 73




Auflösungsvermögen 

Abbildung 79: Auflösungsvermögen Beugungsminimum 

• Für Wahrnehmung zweier Sterne: Beugungsbilder dürfen nicht überlappen 

• Kriterium: 1. Beugungsminimum eines Beugungsscheibchens fällt mit Hauptmaximum des 

anderen Beugungsscheibchens zusammen. 

( ) 1, 22λ 

⇒ θ R = arcsin ≈ 1, 22 λ d 

d Rayleigh-Kriterium 

Addendum: Kohärenz 

Bedingung für Interferenz: feste Phasenbeziehung zwischen überlagerten Wellen 

Abbildung 80: Kohärenz 

E 1 = E 01 (sin(ω 1 + φ 1 )) 

E 2 = E 02 (sin(ω 2 + φ 2 )) 

∆φ = φ 1 − φ 2 

Interferenz bedingt ∆φ varriiert während Beobachtungszeit nur wenig. ⇒ 

Wellen (1) und (2) sind kohärent. 

Gründe für Variation von ∆φ: 

Seite 74




1. ω 1 ≠ ω 2 bzw. ω 1 und ω 2 sind zeitlich nicht konstant oder nicht genau bestimmt. 

2. Lichtquelle sendet endliche, unabhängige Wellenzüge aus. 

3. Brechungsindex fluktuiert 

Kohärenzzeit: ∆tc ist die Zeit, in der sich ∆φ um höchstens 2π ändert. 

Abbildung 81: Kohärenz 

s 1 , s 2 } zurückgelegte Strecke 

t 1 = s 1 

c , t 2 = s 2 

c 

⇒ Interferenzbeobachtung für t 2 − t 1 < ∆tc 

für Laser typisch: ∆t c ∼ 1µs 

für Weißlicht typisch: ∆t c ∼ einige fs 

5.8.3 Beugung am Doppelspalt 

sehr schmale Spalte 

Abbildung 82: Beugung am Doppelspalt 

Maxima für: sin θ = m λ a 

Seite 75




Minima für: sin θ = 

( 

m + 1 ) λ 

2 a 

⇒ Abstand 2er Minima: ∆θ D ≈ λ a 

Einzelspalt: 

Abbildung 83: Beugung am Einzelspalt 

Minima für sin θ E = λ a 

Abstand 2er Minima (auf der gleichen Seite des o. Hauptmaximums): ∆θ E ≈ λ a 

endliche Spalte beim Doppelspaltexperiment: 

Abbildung 84: Endliche Spalte am Doppelspalt 

( ) sin α 2 

I(θ) = I max cos 2 (β) 

mit β = πd 

πa 

sin θ , α = 

α 

λ λ sin θ 

bei N Spalten treten zusätzlich N − 2 Nebenmaxima auf. 

Der Cosinus gibt hier die einzelnen Interferenzmaxima an (wenn cos = 1 ist Maximum gegeben), der 

Sinus Cardinalis die “Hüllkurve“. 

5.8.4 Beugungsgitter 

mit 

a = Spaltbreite 

d = Abstand zwischen den Spalten 

N = Anzahl der Spalten 

m = Maximum / Minimum der Ordnung m (m = 1 ist Hauptmaximum) 

Seite 76




Zusammenhang: a = d m 

ohne Kenntnis des sin θ. 

Abbildung 85: Beugungsgitter 

(Haupt)Maximum für: d sin θ = mλ 

1. Minimum für Gangunterschied zwischen 1. und N’ten Spalt: λ (für N → ∞) 

⇒ N d sin(∆θ 1 ) = λ 

2 

⇒ Linienbreite: ∆θ = 2λ 

Nd 

Abbildung 86: Linienbreite 

Dispersion und Auflösungsvermögen 

Auflösungsvermögen: R = 

λ 

∆λ 

Winkeldispersion - Definition 

∆θ 

∆λ = D 

mit ∆θ = Winkelabstand zweier benachbarter Wellenlängen mit Unterschied ∆λ 

⇒ Winkeldispersion eines Gitters: 

d sin θ = mλ ⇒ d cos θ dθ = m dλ (Ableitung) 

Seite 77




( 

λ = d dλ 

sin θ ⇒ 

m dθ = d ) 

m cos θ 

⇒ 

dθ 

dλ = 

m 

d cos θ 

Auflösungsvermögen eines Gitters: 

Linienbreite: 

(0. Ordnung): ∆θ = 2λ 

Nd 

2λ 

höhere Ordnung: ∆θ = 

Nd cos θ 

⇒ minimaler Auflösungswinkel (Minimum für 1. Wellenlänge fällt auf Maximum für 2. Wellenlänge): 

∆θ 1 

2 

= 

⇒ R = 

λ 

Nd cos θ ⇒ ∆λ = 

λ = Nm für Gitterbeugung 

∆λ 

λ d cos θ 

ND cos θ m = λ 

Nm 

5.9 Polarisation 

5.9.1 Lineare und zirkulare Polarisation 

a) Lineare Polarisation: 

⃗ k = k⃗ez (Ausbreitungsrichtung) 

⇒ ⃗ E(z, t) = ⃗e x E 0x sin(kz − ωt) = ⃗e x E x (z, t) oder 

⃗E(z, t) = ⃗e y E 0,y sin(kz − ωt) = ⃗e y E y (z, t) 

Allgemein: E(z, ⃗ t) = (⃗e x E 0,x + ⃗e y E 0y ) sin(kz − ωt) 

} {{ } 

⃗E 0 

| ⃗ E| = 

√ 

E0x 2 + E2 0y |sin(kz − ωt)| 

• E x und E y schwingen in Phase 

• E 0 steht fest im Raum 

• Betrag oszilliert 

b) zirkulare Polarisation: 

• ⃗ E x und ⃗ E y schwingen π 2 außer Phase Seite 78




• E 0x und E 0y sind gleich 

• E(z, ⃗ ( 

t) = ⃗e x E 0,x sin kz − ωt + π ) 

± ⃗e y E 0,y sin (kz − ωt) 

2 

• mit “+“ für rechts zirkular und “-“ für links zirkular 

⇒ ⃗ E- Feld-Vektor rotiert in der x-y-Ebene 

| ⃗ E| = E 0 (cos 2 (kz − ωt) + sin 2 (kz − ωt)) 1 2 = E0 = E 0x = E 0y 

c) elliptische Polarisation: 

allgemeiner Fall 

⃗E = E 0x ⃗e x sin(kz − ωt + ϕ) + ⃗ E = E 0y ⃗e y sin(kz − ωt + ϕ) mit ϕ ≠ 0 oder π 2 

d) natürliches Licht: 

• Glühlampe, Neonröhre, Kerze, Sonne: unpolarisiert (zufällig polarisiert) 

• Laser: in der Regel polarisierend 

5.9.2 Erzeugung von polarisiertem Licht 

a) Dichroismus 

Polarisation durch Absorption 

Beispiel: Drahtgitterpolarisation, Polarisationfolie 

Dichroitische Kristalle: 

• anisotrop, besitzen Vorzugsrichtung (=optische Achse) 

• Licht, das senkrecht zur optischen Achse polarisiert ist wird stark absorbiert 

• Dichroitisches Verhalten ist im allgemeinen wellenlängenabhängig 

Malus’sche Gesetz 

Seite 79




Abbildung 87: Polarisationsfilter 

I(θ) = I in cos 2 (θ) 

b) Polarisation durch Reflexion 

Definition: 

• p-Polarisation (parallel) ̂= Polarisationsvektor liegt in der Ebene die von einfallendem und 

reflektiertem Strahl aufgespannt wird. 

• s-Polarisation (senkrecht) ̂= senktrecht zur p-Polarisation 

Es gilt: falls K ⃗ r ⊥ K ⃗ ( 

T θ 1 + θ 2 = π ) 

2 

⇒ p-Polarisation wird nicht reflektiert ̂=tan θ 1 = n 2 

n 1 

Gesetz von Brewster 

z.B. Übergang Luft/Glas: n 1 = 1 , n 2 = 1, 5 ⇒ θ 1 ≈ 57 ◦ 

⇒ Allgemein: Reflexion hängt vom Einfallswinkel ab. (Fresnel’sche Gleichungen) 

c) Polarisation durch Streuung 

Versuch: Streuung eines Laserstrahls in Wasser 

Polarisierender Kristall 

Seite 80




Abbildung 88: Polarisierung-ändernder Kristall 

Eingang: 

E 0 ⃗e y sin(kz − ωt) 

E a0 ⃗e x sin(kz − ωt) 

Ausgang: ( 

) 

2 

E 0 ⃗e y sin 2π · − ωt 

( λ 0 ) 2 

E a0 ⃗e x sin − ωt 

λ a0 

( l 

⇒ ∆ϕ = 2π · − 

l ) 

λ 0 λ a0 

⇒ ∆ϕ = π 2 

⇒ zirkular polarisiertes Licht 

⇒ ∆ϕ = π ⇒ lineare Polarisation, aber gedreht 

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Optik I

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