Übungsblatt 03: Rechnen im dualen Zahlensystem - Lehrstuhl für ...

Einführung in die Wirtschaftsinformatik
WS2008/2009
Andreas Gäbler/ Juliane Arnold
Universität Potsdam
Lehrstuhl für Wirtschaftsinformatik und Electronic Government
Übungsblatt 03: Rechnen im dualen Zahlensystem
Das Bit
- kleinste Informationseinheit, kann zwei Zustände annehmen (engl.: binary digit)
- binäre Zahlen können sehr lang werden, für den „normalen“ Menschen schwer zu merken
je 4 bit werden deshalb zu einem neuen System mit der Basis 16 zusammengefasst
Die Tetrade (Nibble, Halbbyte)
- Umfasst dezimalen Werteumfang von 0 bis 15 (16 Werte)
- verwendet die Werte 0 – 9 sowie die ersten sechs Buchstaben im Alphabet A – F (sedezimale
Darstellung)
- Grundlage für das Hexadezimale Zahlensystem
Das Byte
-------------- Rechenbeispiel -------------
Basis 4096 256 16 1 Stellenwert zur Basis 16
Hex-Wert 7 C 3 E
Dez-Wert 7 12 3 14 = 7 * 4096 + 12 * 256 + 3 * 16 + 14 * 1
= 31.806 10
- ein Byte (engl.: by eight) wird durch 8 bit dargestellt
- 1 Byte kann 256 Zustände darstellen damit ist es möglich, alle häufig gebrauchten Zeichen
(alphabetische, numerische und Sonderzeichen) zu codieren
- größte darstellbare Zahl ist die die dezimale 255, in Dualschreibweise 11111111
Rechnen mit Binärwerten
- bei der Codierung von Zeichen ist die Zuordnung zu Binärwerten beliebig, wird dann aber in
einem Codemodell erfasst
- Umrechnung von Zahlen erfolgt nach streng mathematischen Vorschriften.
Umrechnung von binären in dezimale Zahlen
Umrechnung und Darstellung über Potenzschreibweise
Beispiel:
1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0
= 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 11 10
Umrechnung von dezimalen in binäre Zahlen
Umrechnung der Dezimalzahlen über die "Division mit Rest" teilen der Zahl durch 2 bis als
Ergebnis 0 herauskommt dabei wird der Rest jeweils notiert.
Beispiel:
19 / 2 = 9 Rest 1
9 / 2 = 4 Rest 1
4 / 2 = 2 Rest 0
2 / 2 = 1 Rest 0
1 / 2 = 0 Rest 1
Rest = 10011 2
20 / 2 = 10 Rest 0
10 / 2 = 5 Rest 0
5 / 2 = 2 Rest 1
2 / 2 = 1 Rest 0
1 / 2 = 0 Rest 1
Rest: 10100 2
Kilobyte, Megabyte, Gigabyte
- Ein Kilobyte ca. tausend Byte 2 10 Byte = 1.024 Byte
- Ein Megabyte ca. eine Million Byte 2 20 Byte = 1.048.576 Byte
- Ein Gigabyte ca. eine Milliarde Byte 2 30 Byte = 1.073.741.824 Byte
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Einführung in die Wirtschaftsinformatik
WS2008/2009
Addition von Dualzahlen
- Addition funktioniert wie bei der Addition von Dezimalzahlen:
0101 2
+1001 2
====
1110 2
Grundsätzliche Rechenregeln:
Binärsystem 0+0=0, 1+0=1, 1+1=0 Übertrag 1 10 2 .
Dezimalsystem 0+0=0, 1+0=1, … 9+0=9 9+1=0 Übertrag 1 10 10
Analogie zum Dezimalsystem Übertrag
Übertrag wird bei beiden Systemen jeweils voran gestellt.
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Das Problem - Überlauf
Bei der Addition gibt es einen Haken: Die Addition kann nur innerhalb eines bestimmten
Wertebereiches problemlos realisiert werden.
In der Realität kann jede beliebig große Zahl dargestellt werden. In der Informatik wird der
Werteumfang durch die Verarbeitungsbreite der Computertechnik bzw. der Betriebssysteme
eingeschränkt. Zur Anschaulichkeit wird in den Beispielen der Wertebereich auf ein Byte begrenzt:
- Die größte darstellbare Zahl: 1111 1111 2 = 255 dezimal
- Vorgehensweise bei der Addition 1111 1111 2 + 0000 0001 2 = 255 + 1 dezimal
Ergebnis: 0000 0000 2 (also 0) = 256 (???)
Übertrag in der höchsten Stelle (Bit 2 7 ) auf die Stelle 2 8
Übertrag kann allerdings nicht gespeichert werden wird deshalb einfach gestrichen
- Damit gibt es durch den beschränkten Wertebereich eine obere Grenze.
Bei der Addition von 1 fängt dieser Wertebereich wieder von vorne an Damit existiert eine
unendliche Zählreihe von 0 bis 255 0 bis 255 usw.
Das Einerkomplement
Bevor eine Subtraktion realisiert werden kann, muss das Komplement der Dualzahl gebildet werden
Einerkomplement
Dabei wird jede Zahl durch ihr Gegenteil (Komplement) ersetzt Formale Vorgehensweise
Beispiel:
Wert 0101 0101 2 1111 0000 2
Gegenteil
(Einerkomplement)
1010 1010 2 0000 1111 2
Das Zweierkomplement
entspricht dem Einerkomplement zusätzlich erfolgt eine Addition von 1 2 in der niedrigsten Stelle
Beispiel:
Einerkomplement 1010 1010 2 0000 1111 2
Addition +1 1 2 1 2
Zweierkomplement 1010 1011 2 0001 0000 2
Subtraktion von Dualzahlen
Subtraktion zweier Zahlen erfolgt durch Addition des Zweierkomplementes
Beispiel:
Dezimal 12 10 – 7 10 = 5 10
- 7 0000 0111 2 Einerkomplement 1111 1000 2 Zweierkomplement 1111 1001 2
- Addition 0000 1100 + 1111 1001 = 0000 0101 2 Übertrag 1
Ergebnis: 0000 0101 2 = 5 10 Der Übertrag wird nicht gespeichert
Multiplikation von Dualzahlen
entspricht einem Verschieben der Ziffern nach links (Links-Shift)
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Beispiel:
15 10 * 2 10 = 30 10 0000 1111 * 0000 0010 = 0001 1110 2
15 10 * 4 10 = 60 10 0000 1111 * 0000 0100 = 0011 1100 2
15 10 * 8 10 = 120 10 0000 1111 * 0000 1000 = 0111 1000 2
15 10 * 16 10 = 240 10 0000 1111 * 0001 0000 = 1111 0000 2
Vorgehen bei der Multiplikation einer beliebigen Zahl Für jede 1 im zweiten Operand muss eine
Multiplikation ausgeführt werden. Die Ergebnisse werden anschließend miteinander addiert.
Beispiel:
0000 1111 * 0000 0101 0000 1111 * 0000 0100 0011 1100
+ 0000 1111 * 0000 0001 + 0000 1111
= 0100 1011
Ergebnis: 0100 1011 2 (dezimal 15 * 5 = 75)
Achten Sie auf den Wertebereich Gefahr des Überlaufs führt zu verfälschtem Ergebnis
Division von Dualzahlen
entspricht einem Verschieben der Zahlen nach rechts (Rechts-Shift)
Vorbemerkung:
Ergebnis kann eine Zahl mit Stellen (evtl. unendlich) hinter dem Komma sein
Beispiel 1:
9 / 2 = 4,5 - endliche Zahl mit einer Nachkommastelle
Beispiel 2:
10 / 3 = 3,33333... - Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen
Wesentliches Problem der ungenauen Darstellung von Nachkommazahlen
Beispiel:
8 / 2 = 4 00001000 / 00000010 = 00000100 Division durch 2 - Rechts-Shift von einer Stelle
8 / 4 = 2 00001000 / 00000100 = 00000010 Division durch 4 - Rechts-Shift von zwei Stellen
Nachkommastellen
Beispiel:
3 / 2 = 1,5 00000011 / 00000010 = 00000001 Rechts-Shift bewirkt, dass die letzte 1 rechts aus
dem Zahlenbereich "herausfällt". alle Nachkommastellen werden abgeschnitten
Achtung: keine Rundung sondern Abbruch der Berechnung 3 / 2 = 1!!!
Diese Art der Division funktioniert jedoch nur, wenn man durch 2 oder eine Potenz von 2 dividiert.
Beispiel: – Division im Dezimalsystem:
1307 / 11 = 118 Rest 9
-11
==
20
-11
==
97
-88 Rest 9
Analogie der Division nach dem gleichen Schema bei binären Zahlen:
Rechnet man Dezimalzahlen wiederum in Binärzahlen um, so kommt man wieder auf 1307/11=18
Rest 9 (siehe oben). Auch hier gilt: Rest wird gnadenlos abgeschnitten, nicht gerundet d.h. er entfällt.
Beispiel:
10100011011 / 1011 = 1110110 Rest 1001
- 01011
===== 1
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010010
- 01011
====== 2
001111
- 1011
====== 34
010010
- 01011
====== 5
001111
- 1011
==== 6
01001
- 1011
==== 7
1001 - Rest
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Positive Ganzzahlen
In den bisherigen Überlegungen war nur die Darstellung von positiven Ganzzahlen möglich
kleinste Zahl 0,
größte Zahl abhängig vom Speicherplatz
Bisherige Betrachtung auf 1 Byte beschränkt Typische Verarbeitungsbreite sind aber mindestens
zwei Byte
Beispiel:
Verarbeitungsbreite 2 Byte 4 Byte 8 Byte
größte darstellbare Dezimalzahl 65535 4.294.967.295 18,4467*10 18
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Aufgabe 07: Addition mit binären Zahlen
Andreas Gäbler/ Juliane Arnold
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Wert 1 Wert 2 Ergebnis
0110 0100
1010 0010
0000 1111 0110 1011
1001 1101 0101 0001
1100 1001 0011 0111
1101 0011 0001 0101
0010 0101 0110 1000
1000 1011 0100 1111
Aufgabe 08: Subtraktion mit binären Zahlen
Wert 1 Wert 2 Ergebnis
0110 0100
0111 0011
0100 0000 0011 1001
1010 1110 1001 1010
1100 1001 0110 0101
1111 0010 1011 1010
1000 0010 0011 1100
1001 1001 1101 0011
Aufgabe 09: Multiplikation mit binären Zahlen
Wert 1 Wert 2 Ergebnis-binär Probe-dezimal
0110 0100
0011 0010
1100 0101
0010 1100 0011
0001 1001 1011
1101 0110 0010 0010
Aufgabe 10: Division mit binären Zahlen – mit Angaben des Restes
Wert 1 Wert 2 Ergebnis-binär Probe-dezimal
0110 0010
1001 0100
1110 0110
1000 0011
1100 1001 1001
1011 0001 1101
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