Algorithmen und Datenstrukturen

Was bisher geschah
rekursive Datenstrukturen:
◮ lineare Datenstrukturen: Liste, Stack, Queue
◮ hierarchische Datenstrukturen: Bäume
◮ allgemeine Bäume
◮ Binäre Bäume
◮ Unäre Bäume = Listen
Tiefe eines Knotens in t: Abstand (Kantenzahl) zur Wurzel
Tiefe tiefe(t) des Baumes t: maximale Knotentiefe in t
Größe size(t) des Baumes t: Anzahl aller Knoten in t
◮ Binäre Suchbäume: Binäre Bäume mit aufsteigend
sortierter Inorder-Folge aller Schlüssel
(Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge)
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(tiefe(t))
◮ AVL-Bäume (eingeschränkte Balanceeigenschaft):
Binäre Bäume mit aufsteigend sortierter Inorder-Folge aller
Schlüssel
(Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge)
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(log n)
153

Mehrweg-Suchbäume
Suchbäume mit inneren Knoten verschiedener Knotengrade.
◮ Knoten können mehrere Schlüssel enthalten
◮ Knoten mit n ≥ 2 Schlüsseln (k 1 , . . . , k n ) hat n + 1 Kinder
(t 0 , . . . , t n ).
◮ Suchbaumeigenschaft (für Mehrweg-Bäume): Jeder
Schlüssel ist Separator zwischen Schlüsseln in den
Kindern, d.h. für jeden Knoten u = Node(n, k, t) im Baum t
gilt:
◮ Für alle im Teilbaum t0 vorkommenden Schlüssel v gilt
v < k 1 .
◮ Für alle i ∈ {1, . . . , n − 1} gilt:
für alle im Teilbaum t i vorkommenden Schlüssel v gilt
k i < v < k i+1 .
◮ Für alle im Teilbaum tn vorkommenden Schlüssel v gilt
k n < v.
154

Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum
rekursive Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum (MST):
◮ leerer Mehrweg-Suchbaum ⊥ (Blatt),
◮ innerer Knoten: Node (n, k, t) mit
◮ Anzahl n ≥ 2 der Schlüssel
◮ Folge (k1 , . . . , k n ) der Schlüssel
◮ Folge (t 0 , . . . , t n ) der Kinder (MST)
155

Inorder-Durchquerung von Mehrweg-Suchbäumen
inorder(t) für MST t:
◮ falls t = ⊥: inorder(⊥) ← []
◮ falls t = Node(n, k, t):
◮ l ← inorder(t 0 )
◮ für alle i ← 1, . . . , n:
l ← l ◦ [k i ] ◦ inorder(t i )
◮ Ausgabe inorder(Node(n, k, t)) = l
In jedem Mehrweg-Suchbaum bilden die Schlüssel in
inorder-Reihenfolge eine aufsteigend sortierte Folge.
156

Suche in Mehrweg-Suchbäumen
contains(t, e) für MST t und Wert e:
◮ falls t = ⊥: contains(t, e) ← f
◮ falls t = Node(n, k, t):
finde Schlüssel oder Teilbaum-Index m:
◮ m ← 0
◮ solange km ≤ e: m ← m + 1
◮ falls km = e: Ende mit contains(t, e) = t
sonst contains(t m , e) (rekursiv)
Laufzeit: O(tiefe(t))
157

Beispiel B-Bäume
zur Verwaltung großer Datenmengen
Anwendungen bei Datenbanken
Mehrweg-Suchbäume mit
◮ Kinderzahl jedes Knotens zwischen m und 2m
(für zuvor festgelegtes m)
Ausnahme: Wurzel (darf weniger Kinder haben)
◮ Alle Blätter haben denselben Abstand zur Wurzel.
praktisch meist:
◮ Knotengrad m sehr groß
◮ Tiefe des Baumes sehr klein
Optimierung:
binäre Suche zum Finden der Schlüssel oder Teilbaum-Indizes
m innerhalb eines Knotens
158

Spezialfall (2,4)-Bäume
(2,4)-Baum:
Mehrweg-Suchbaum mit Knoten mit 2, 3 oder 4 Kindern
(B-Baum für m = 2)
rekursive Datenstruktur ST24〈Element〉 =
◮ ⊥
◮ Node2 (ST24〈Element〉, Element, ST24〈Element〉)
◮ Node3 (ST24〈Element〉, Element ST24〈Element〉,
Element, ST24〈Element〉)
◮ Node4 (ST24〈Element〉, Element ST24〈Element〉,
Element, ST24〈Element〉, Element, ST24〈Element〉)
159

Einfügen in (2,4)-Bäume
Suche der Einfüge-Position (Blatt)
Fälle:
1. Einfügen in einen Knoten mit 2 oder 3 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen nicht verletzt
2. Einfügen in einen Knoten mit 4 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen evtl. verletzt,
Verschiebung von Schlüsseln oder Teilung von Knoten
notwendig
3. Einfügen als neuen Schlüssel im erreichten Knoten
Idee: Beim Suchen der Einfüge-Position (Richtung: Wurzel →
Blatt) vorsorglich alle 4-Knoten auf dem Pfad teilen.
Einfügen des Elementes ist dann ohne zusätzliche Korrektur
möglich.
160

Teilung von 4-Knoten
4-Knoten: Node4(t 0 , x, t 1 , y, t 2 , z, t 3 )
◮ in der Wurzel:
Node4(t 0 , x, t 1 , y, t 2 , z, t 3 ) ↦→
Node2(Node2(t 0 , x, t 1 ), y, Node2(t 2 , z, t 3 ))
◮ als Kind eines 2-Knotens:
Node2(Node4(t 0 , x, t 1 , y, t 2 , z, t 3 ), v, t 4 ) ↦→
Node3(Node2(t 0 , x, t 1 ), y, Node2(t 2 , z, t 3 ), v, t 4 )
◮ als Kind eines 3-Knotens:
Node3(Node4(t 0 , x, t 1 , y, t 2 , z, t 3 ), v, t 4 , w, t 5 ) ↦→
Node4(Node2(t 0 , x, t 1 ), y, Node2(t 2 , z, t 3 ), v, t 4 , w, t 5 )
161

Löschen aus (2,4)-Bäumen
Löschen aus inneren Knoten:
Ersetzen durch Inorder-Nachfolger (ggf. rekursiv))
Löschen aus Blättern:
◮ Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 3 oder 4
Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen nicht verletzt
◮ Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 2 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen verletzt,
Zusammenfügen notwendig
Idee: Beim Suchen der Löschposition (Richtung: Wurzel →
Blatt) vorsorglich geeignete Schlüsselverschiebungen (von
Nachbarknoten) und Verschmelzungen.
162

Rot-Schwarz-Bäume
Idee: Darstellung von (2, 4)-Bäumen als binäre Bäume
Darstellung aller Schlüssel eines Knotens als Binärbaum (rote
Kanten)
Eigenschaften:
◮ nie zwei rote Kanten nacheinander
◮ Schwarz-Tiefe: log n
◮ Tiefe: ≤ 2 log n
◮ Suche wie in binären Bäumen
◮ Einfügen und Löschen von 2-4-Bäumen „übersetzt“
◮ evtl. Rotationen (roter Kanten) notwendig
Node(x, Node(y, t 1 , t 2 ), t 3 ) ↦→ Node(y, t 1 , Node(x, t 2 , t 3 ))
163