⇓ ⇓

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SCHWINGUNGEN, WELLEN, OPTIK
1 SCHWINGUNGEN
Einführung
Handversuch: Federpendel auslenken und loslassen.
(Dynamische) Charakterisierung des Federpendels:
• stabile Ruhelage
• rücktreibende Kraft bei Auslenkung aus der Ruhelage
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 1/13
• Trägheit der Masse führt bei der Rückkehr in die Ruhelage zu
einem Überschwingen.
D
m
(Energetische) Charakterisierung des Federpendels
Im schwingenden Zustand wiederholen sich die Bewegungszustände.
Bei der maximalen Auslenkung besitzt das Pendel nur die pot. Energie der
Federspannung. Beim Nulldurchgang besitzt das Pendel nur die kin. Energie
der bewegten Masse.
Damit haben wir die kennzeichnenden Eigenschaften eines
schwingungsfähigen Systems gefunden:
Definition: Schwingungsfähiges System
Jeder bewegliche "Körper" (Masse, Ladung, etc.), der durch rücktreibende Kräfte an
eine stabile Gleichgewichtslage gebunden ist, stellt ein schwingungsfähiges System dar.
Eine Schwingung ist eine periodische Zustandsänderung, bei der Energie zwischen zwei
Energiereservoiren ausgetauscht wird.
(Hier: potentielle Energie der Feder ⇔ kinetische Energie der Masse)
Periodische Zustandsänderung
(Energieaustausch)
Ein schwingungsfähiges
Element (Oszillator)
⇓
Schwingung
Viele gekoppelte schwingungsfähige
Elemente
⇓
Welle
D
m
D
m
K
Kennzeichen: Energie der Schwingung
breitet sich entlang der Federkette aus.

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1.1 Der Harmonische Oszillator (freie, ungedämpfte Schwingung)
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 2/13
Periodische Bewegung
Nach einem Zeitintervall T (Periodendauer) wiederholt sich ein bestimmter Bewegungszustand
in gleicher (ungedämpfte Schwingung) oder ähnlicher (gedämpfte Schwingung) Form.
Beispiel für eine periodische Beregung:
Ψ(t): physikalische Größe
Ψ(t)
T
(Auslenkung, Ladung, Spannung etc. )
t
Ψ() t = Ψ( t+ T) = Ψ( t+ 2 T) = ...
T: Periodendauer
Wichtigster Spezialfall einer periodischen Bewegung:
Harmonische Schwingung - der Schwingungsvorgang läßt sich mit einer einfachen Sinus- bzw.
Kosinusfunktion beschreiben. (Wir werden sehen, dass sich eine harmonische Schwingung immer
dann ergibt, wenn die rücktreibende Kraft einem linearen Kraftgesetz gehorcht).
Kinematik der harmonischen Schwingung
Nach obiger Definition ist eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T = const
eine Schwingung mit der Periode T (→ zirkulare Schwingung).
Eine lineare Schwingung, d.h. eine Bewegung auf einer geraden Bahn ergibt sich durch Projektion auf
die x- oder y-Achse.
y
y
r
r
ϕ
x
0
T/2 T
(π) (2π)
t
(ϕ)
π
r
x
Projektion auf y-Achse:
y( ϕ) = rsinϕ
yt () = rsinω
t
ϕ
2π
Projektion auf x-Achse:
x ( ϕ)
= r cosϕ
x( t)
= r cosωt

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Weg- Zeitgesetz der harmonischen Schwingung
st () = s$ sinω
t
mit: s = Amplitude
ωt = ϕ = Phase (entspricht dem Dreh winkel,
bzw. dem Bogen auf dem Einheitskreis)
ω = Kreisfrequenz, [ω] = rad/s
f = Frequenz
t = Zeit
2π
Wegen: ω = = 2πf
äquivalente Schreibweise
T
st () = 2π
s$ sin(
T t ) = s $ sin( 2π
ft )
Geschwindigkeit
ds
vt ()=
dt
vt () = s$ ω cosω
t
mit vmax = s$ ω = v$
r
0
0
s(t)
v(t)
T/2 T
T/2 T
t
t
Beschleunigung
2
dv d s
a ( t)
= =
dt
2
dt
2 2
at () =− s$ ω sin ωt=−ω
st ( )
a(t)
t
mit amax = s$ ω 2 = a$
T/2 T
Allgemeine Form einer harm. Schwingung
st () = s$ sin( ωt+
ϕ 0 )
ϕ 0 = Phase für t = 0
(Nullphasenwinkel)
s(t)
t

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1.1.1 Das Federpendel (Dynamik des harmonischen Oszillators)
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Bewegung einer trägen Masse um eine stabile Ruhelage, wobei die rücktreibende Kraft dem
linearen Kraftgesetz gehorcht.
stabile Ruhelage
D
m
Bei Auslenkung aus der Ruhelage tritt
eine rücktreibende Kraft auf, die bei
kleinen Auslenkungen dem
Hookschen Gesetz folgt:
F Rück
F Rück = −Dx
D = Federkonstante
x
Annahme: Reibungsfreie Unterlage und masselose Feder
Die Anwendung des Newtonschen Aktionsprinzips (2. Newton Gesetz) führt auf die
Bewegungsgleichung der freien, ungedämpften Schwingung.
m&&
x t)
= ∑ F
mx &&(
t)
= −Dx
( ang.
m & x + Dx = 0 Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) der harmonischen Schwingung
homogene, lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- homogen: DGL wird Null, wenn Variable oder ihre Ableitungen Null sind
- linear: keine Produkte oder Potenzen von x, dx/dt usw.
- 2. Ordnung: höchste Ableitung ist die 2. Ableitung
- konstante Koeffizienten: Koeffizienten (m, D) sind konstant
Lösung der DGL:
Lösungsansatz: vielfach durch Raten und Ausprobieren
x(
t)
= xˆ
sin( ω0t
+ ϕ)
x&
( t)
= xˆ
ω cos( ω t + ϕ)
&& x(
t)
= −xˆ
ω
2
0
sin( ω t + ϕ)
Einsetzen in DGL:
2 D
( −ω
+ ) ⋅ xˆ
⋅sin(
ω0t
+ ϕ)
m
0 =
0
0
2
ω 0
D
=
m
Kreisfrequenz der freien ungedämpften Schwingung
ω 0 ist unabhängig von der Amplitude
(wesentliches Kennzeichen der harmonischen Schwingung)
2
0 =
& x
+ ω x 0 DGL in “Normalform“

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Das Weg-Zeitgesetz lautet also:
x ( t)
= xˆ sin( ω 0t
+ ϕ)
Die Lösung enthält noch zwei freie Parameter, die Amplitude xˆ und den Nullphasenwinkel ϕ !
Diese erhält man aus zwei zusätzlichen Informationen, den sog. Anfangsbedingungen oder
Anregungsbedingungen x(t = 0) = x 0 und v(t = 0) = v 0 .
Beispiel: Masse wird aus der Ruhelage ausgelenkt und zur Zeit t = 0 angestoßen.
(Dabei wird dem System potentielle und kinetische Energie zugeführt)
1. Anregungsbedingung: x ( t = 0) = x0
2. Anregungsbedingung: x &( t = 0) = v0
x ( 0) = x0 = xˆ
sin( ϕ)
x & t)
= v = ˆ xω cos( ) ⇒
( 0 0 ϕ
2
2
2
x 0 = xˆ
sin ( ϕ)
2 2 2
0 0 ϕ
v = ( ˆ xω ) cos ( ) ⇒
ω0x
tan( ϕ ) =
v
x ˆ = x +
0
v
0
2 0 2
0 ( )
ω0
Die Messung der Federkonstante durch Messung der Schwingungsdauer bzw. Frequenz des
entsprechenden Federpendels ist viel genauer als die statische Kraft-Messmethode (F = Dx).
Diese Methode ist auch im atomaren Bereich anwendbar.
1.1.2 Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
Punktförmige Masse m ist an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt.
Bei Auslenkungen aus der Ruhelage entsteht eine rücktreibende Kraft.
Rücktreibende Kraft (schwere Masse):
FRück
= −mS
g sinϕ
x = lϕ
ϕ
Newton (träge Masse):
mT
& x
= −mS
g sinϕ
ml & ϕ = −mg sinϕ
g
& ϕ
+ sin ϕ = 0 Nichtlineare DGL !
l
m
F Rück
F rad
Linearisierung für kleine Auslenkungen: sinϕ = ϕ
F = mg
g
& ϕ
+ ϕ = 0 l
2 g
ω 0 = oder
l
T
= 2π
l
g
Schwingungsdauer ist unabhängig von der Masse !
T
2
g
Sekundenpendel: T = 2s ⇒ l = = 0,994 m
2
4π

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1.1.3 Drehpendel
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 6/13
Beim Drehpendel läuft die Drehachse A durch den Massenmittelpunkt eines starren Körpers.
Die Ruhelage wird durch eine an der Drehachse befestigte Feder definiert.
Rücktreibendes Moment:
M Rück = −D*ϕ
D* = Winkelrichtgröße
rücktreibendesMoment
D * =
Drehwinkel
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
J α = M Rück
J & ϕ = −D*ϕ
A
ϕ
r
m
Ruhelage
D*
& ϕ + ϕ = 0
J
2
ω 0 =
D*
J
Analogie: Translation - Rotation
m → J
a → α
F → M
D → D*
Anwendung des Torsionspendels:
Bestimmung des Trägheitsmoments von starren Körpern
a) Symmetrischer starren Körper mit bekanntem J 0
wird in Drehschwingungen versetzt.
T 0 wird gemessen (D* bestimmbar).
D*
2π
ω
0
= =
J T
0
0
Draht D*
J 0
b) Starrer Körper mit unbekanntem J x wird am Draht
aufgehängt und schwingt um Schwerpunktsachse.
T x wird gemessen
D* 2π
ω x = =
J x Tx
Division der beiden Gleichungen ergibt
2
J T
Tx
J x = J 0
J
T
x x
=
0 T 0
2
0
D*
SP
J x

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1.1.4 Physisches Pendel (körperliches Pendel)
Ein physisches Pendel ist ein beliebig geformter Körper, der um eine raumfeste Achse A
schwingen kann.
r r r
Rücktreibendes Moment ( M = × F ):
M Rück = −mgssinϕ
( M Rück = D*⋅ϕ
)
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
J Aα
= M Rück
A
s
SP
J A & ϕ = −mgs sinϕ
Linearisierung für kleine Auslenkwinkel ϕ
und J A = J S + ms 2 (Steinerscher Satz)
mg
mgs
& ϕ + ϕ = 0 Bewegungsgleichung des physischen Pendels
2
J + ms
S
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T
Ph
= 2π
2
J S + ms
mgs
ω
0
=
J
mgs
S +
ms
2
Reduzierte Pendellänge
Ein entsprechendes Fadenpendel mit der gleichen Schwingungsdauer muss eine
Fadenlänge von l r haben.
T
l
r
M
= 2π
lr
g
2
J S + ms
= Reduzierte Pendellänge
ms
Reversionspendel
Eine Schwingung um eine zu A parallele Achse A’, im senkrechten Abstand l r , besitzt die gleiche
Schwingungsdauer wie die Schwingung um die Achse A. Der Punkt im Abstand l r von A (durch den
Schwerpunkt SP) heißt Schwingungsmittelpunkt oder Stoßmittelpunkt.
s ' = lr − s
J A ' J S + ms'
T ' Ph = 2π
= 2π
mgs'
mgs'
2
= 2π
J
S
+ m
mg(
J + ms
2
(
S
ms
J + ms
2
S
ms
− s)
− s)
2
= T
PH
Mit dem Reversionspendel lässt sich die
Gravitationskonstante g sehr genau bestimmen.
(g = 9,80723129 in München)
A
s
SP
l r - s
A’

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1.1.5 Energie des harmonischen Oszillators
Eine einfache Umformung der Bewegungsgleichung des Federpendels führt auf den Energiesatz.
2
d x
m + Dx = 0
2
dt
dv
m + Dx = 0
Multiplikation mit v liefert
dt
dv dx
mv + Dx = 0
dt dt
d ⎛ m 2 ⎞ d ⎛ D 2 ⎞
d ⎛ m 2 D 2 ⎞
⎜ v ⎟ + ⎜ x ⎟ = 0 oder ⎜ v + x ⎟ = 0
dt ⎝ 2 ⎠ dt ⎝ 2 ⎠
dt ⎝ 2 2 ⎠
Die letzte Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Energieerhaltungssatz.
Die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie ist konstant.
m 2 D 2
W ges = v + x = const
2 2
Federpendel:
x(
t)
xˆ sin( ω t)
= 0
2
D = mω 0
0 0
v(
t)
= ω xˆ cos( ω t)
W pot
W kin
D 2 D 2 2 mω
( ) ˆ
0 2
= x t = x sin ( ω 0t)
= xˆ
sin
2 2
2
m 2 m 2 2 2 D 2
= v ( t)
= ω 0 xˆ
cos ( ω0t)
= xˆ
cos
2 2
2
2
2
2
( ω t)
0
( ω t)
m 2 D 2
W ges = vˆ
= xˆ
= const
2 2
Ein schwingungsfähiges System wandelt periodisch
kinetische Energie in potentielle Energie um und umgekehrt.
0
x(t)
W kin , W pot
t
t
Die obige Ableitung der Energieerhaltung zeigt auch:
In manchen Fällen ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht mit dem Newtonschen
Aktionsprinzip aufzustellen, sondern durch Ableitung des Energiesatzes.
(in der theor. Mechanik ⇒ Lagrangegleichungen)
Zusammenfassung
• Harmonische Schwingungen treten immer beim linearem Kraftgesetz auf.
• Sehr häufig in der Natur, da bei Störungen (z.B. elastischer Verformung) die rücktreibende
Kraft immer proportional zur Auslenkung ist.
• Anregung: a) auslenken → loslassen → W pot zuführen
a) anstoßen → W kin zuführen
a) auslenken und anstoßen → W pot + W kin zuführen

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1.2 Freie, gedämpfte Schwingung
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 9/13
Reale Schwingungen sind immer mit Reibungsverlusten verbunden. Die Schwingungsenergie
wird durch Reibung verbraucht, d.h. Dissipation in Wärme.
Da die potentielle Energie proportional zur Amplitude ist, nimmt die Amplitude ab.
Beispiel: Reibung einer Kugel in einer Flüssigkeit
“Schwingfall “Aperiodischer Grenzfall“ “Kriechfall“
kleine Dämpfung
große Dämpfung
1.2.1 Geschwindigkeitsproportionale (viskose) Reibung
Die Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) erhält
ein zusätzliches geschwindigkeitsproportionales
Reibungsglied.
F
F
Reib
= −bx&
= rx&
(z.B. Stokesreibung)
Reib −6πη
b = Reibungskoeffizient
v
F Reib
D
Die Bewegungsgleichung lautet dann
F = −Dx
− bx&
ang
m & x
= −Dx
− bx&
D b
& x
+ x + x&
= 0
m m
F Reib
v
m
x
2 D b
Mit den Abkürzungen ω 0 = und δ = erhält man die allgemeine Bewegungsgleichung
m 2m
2
0 =
& x
+ 2δ&
x + ω x 0 Bewegungsgleichung der viskos gedämpften Schwingung
b
δ =
Abklingkonstante oder Dämpfungskonstante
2m

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Fallunterscheidungen:
2
2
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 10/13
1. Fall: δ −ω0
< 0 oder δ < ω0
schwache Dämpfung gedämpfte Schwingung
2
2
2. Fall: δ −ω0
> 0 oder δ > ω0
starke Dämpfung Kriechfall
2
2
3. Fall: δ −ω0
= 0 oder δ = ω0
mittlere Dämpfung aperiodischer Grenzfall
1. Fall: Schwingfall (schwache Dämpfung δ < ω0
)
Die Lösung der DGL ist:
−δt
x( t)
= xe ˆ cos( ω t + ϕ)
d
x(t)
wobei für die Frequenz gilt:
ω
2 2
d = ω 0 −δ
.
t
• Man erhält eine exponentiell gedämpfte Schwingung.
• Die Frequenz der gedämpften Schwingung ist kleiner als die der ungedämpften Schwingung.
Sie wird mit steigender Dämpfung immer kleiner.
Die reellen Konstanten xˆ und ϕ werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Häufig verwendet man den Dämpfungsgrad D.
δ = D
d = ω0 2
ω 1 − D
0
ω ( = 1/ heißt Abklingzeit)
Logarithmisches Dekrement
Die Dämpfungskonstante lässt sich durch Vergleich zweier aufeinanderfolgender Amplituden im
zeitlichen Abstand T d = 2/ d , leicht bestimmen. Der zeitliche Abstand zwischen zwei
Amplitudenmaxima beträgt eine Schwingungsdauer T d = 2/ d . Man erhält:
xˆ(
t + Td
) e
=
xˆ(
t)
e
xˆ n + 1 −δT = e d
xˆ
n
−δ
( t+
T )
−δt
d
cos( ωd
( t + Td
)) −δT
= e
cos( ωdt)
d
oder
Das Produkt T d bezeichnet man als logarithmisches Dekrement .
xˆ
n
Λ = δ ⋅Td
= ln
xˆ
n+
1
Λ = 1 bedeutet Amplitudenabfall auf 1/e innerhalb einer Periode.
1/Λ ergibt die Anzahl der Perioden, bis die Amplitude auf 1/e abgeklungen ist.

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2. Fall: Kriechfall (starke Dämpfung δ > ω0
)
11_Schwingungen_Einführung_BA.doc - 11/13
Die allgemeine Lösung ergibt sich als Linearkombination von zwei exponentiell abfallenden
Funktionen.
x(t)
x(
t)
= Ae ˆ
( −δ
−
2 2
δ −ω
) t
0
+ Be ˆ
( −δ
+
2 2
δ −ω
) t
0
Die “Schwingung“ besteht je nach
Anregungsbedingung aus einem langsamen
exponentiellen Abfall bzw. einer einzigen
Auslenkung.
t
3. Fall: Aperiodischer Grenzfall ( δ = ω0
)
Die allgemeine Lösung lautet für δ = ω0
:
x t)
=
−δt
( c + c t) e
( 1 2
x(t)
Aperiodisch gedämpfte Schwingung
Die “Schwingung“ besteht wie im Kriechfall aus einer
einzigen Auslenkung mit einem exponentiellen Abfall.
Sie strebt jedoch schneller gegen den Nullpunkt als im
Kriechfall.
t
Darin liegt die Bedeutung der aperiodischen Dämpfung in der Technik.
Die aperiodische Dämpfung ermöglicht die schnellste
Dämpfung von unerwünschten Schwingungen.
• Federung in Fahrzeugen
• Messwerke in elektrischen Instrumenten
• Tastkopf am Oszillographen

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1.2.2 Konstante Reibungskraft
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Die Reibungskraft ist konstant und abhängig von der Geschwindigkeitsrichtung v .
Bezeichnungen dafür sind:
- trockene Reibung
- Gleit- oder Rollreibung
- äußere Reibung
- Coulomb Dämpfung
Da die Reibungskraft eine nichtkonservative Kraft ist (keine Funktion des Ortes - besitzt kein
Potential), muss die Bewegung jeweils in Halbperioden zerlegt werden, wo sich die Masse m nach
rechts bzw. nach links bewegt.
D
F Feder
F Reibung
v
F Feder
v
F Reibung
m
x
x
1. Fall: Bewegung nach rechts( x& > 0 )
r
FReib
= −F R
m&
x
= ∑ Fang = −Dx
− F R
m&
x&+
Dx = −
F R
2. Fall: Bewegung nach links ( x& < 0 )
r
F Reib = +F R
m & x
= ∑ Fang = −Dx
+ F R
m & x&+
Dx = +
F R
Lösung der DGL: allgemeine Lösung der homogenen DGL plus eine spezielle Lösung
der inhomogenen DGL (siehe Federpendel im Schwerefeld)
FR
x( t)
= xˆ sin( ω 0t
+ ϕ)
−
D
FR
x( t)
= xˆ sin( ω 0t
+ ϕ)
+
D
Die Gesamtschwingung setzt sich aus harmonischen Halbperioden um die
Gleichgewichtslagen +F R /D und -F R /D zusammen.
Die Schwingungsamplitude nimmt pro Halbperiode um 2F R /D ab.
Die Frequenz bleibt konstant und ist ω 0 .
x(t)
t
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Schwingung immer mit einer vollen Halbperiode endet !

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FREIE, VISKOS GEDÄMPFTE SCHWINGUNG
2
0 =
& x
+ 2δ&
x + ω x 0 Bewegungsgleichung
b
δ = Abklingkonstante
2m
2
ω 0
D
=
m
Schwache Dämpfung:
δ < ω 0
Starke Dämpfung:
δ > ω 0
Aperiodischer Grenzfall
δ = ω 0
−δt
x( t)
= xe ˆ cos( ω t + ϕ)
d
x(
t)
= Ae ˆ
( −δ
−
2 2
δ −ω
) t
0
+ Be ˆ
( −δ
+
2 2
δ −ω
) t
0
x(
t)
−δt
( c + c t) e
= 1 2
ω
2 2
d = ω 0 −δ
.
x(t)
Die “Schwingung“ besteht je nach
Anregungsbedingung aus einem langsamen
exponentiellen Abfall bzw. einer einzigen
Auslenkung.
Die “Schwingung“ besteht wie im Kriechfall
aus einer einzigen Auslenkung mit einem
exponentiellen Abfall. Sie strebt jedoch
schneller gegen den Nullpunkt als im
Kriechfall
x(t)
x(t)
t
t
t
logarithmisches Dekrement:.
xˆ
n
Λ = δ ⋅Td
= ln
xˆ
n+
1
Bedingung für Nulldurchgang:
2 2
0 < ( −δ
− δ −ω0
)
x&
( t = 0) = v
x
0
Bedingung für Nulldurchgang:
v < −δ
0 x 0