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Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
Seite<br />
GeomOptikEinf2_BA.doc - 1<br />
1.5 Totalreflexion<br />
Tritt beim Übergang an Grenzflächen vom “optisch dichteren“ zum “optisch dünneren“ Medium auf.<br />
Für einen bestimmten Einfallswinkel <strong>ε</strong> g<br />
verläuft der gebrochene Strahl in der<br />
n’ < n<br />
Grenzfläche (<strong>ε</strong>’ = 90°). Bei weiterer<br />
n’<br />
Vergrößerung des Einfallswinkels tritt<br />
nur noch Reflexion auf: Totalreflexion.<br />
n<br />
Idealer Reflexionsgrad R = 100%.<br />
Außerhalb des Bereichs der Totalreflexion<br />
wird der reflektierte Anteil um so größer,<br />
je flacher eingestrahlt wird.<br />
nsin <strong>ε</strong><br />
g<br />
= n'sin 90°<br />
n'<br />
sin <strong>ε</strong><br />
g<br />
=<br />
<strong>ε</strong> g heißt Grenzwinkel der Totalreflexion<br />
n<br />
Beispiel: Übergang Glas/Luft; n L = 1, n G = 1,5<br />
1<br />
sin <strong>ε</strong><br />
g<br />
= ⇒ <strong>ε</strong> g = 41,8°<br />
1,5<br />
1.5.1 Totalreflexion in optischen Prismen<br />
1) Umlenkprisma<br />
Vertauschung von "rechts" und "links"<br />
"Drehsinn" ändert sich<br />
(wirkt wie ein Spiegel,<br />
z.B. bei der Betrachtung einer<br />
Rechtsschraube im Spiegel)<br />
2) Wendeprisma (Dove-Prisma) Geradsichtprisma<br />
Vertauschung von "oben" und "unten"<br />
(wirkt wie Spiegel)<br />
"Drehsinn" ändert sich<br />
Außerdem Farbtrennung wegen der<br />
Dispersion
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
3) Umkehrprisma (Porro-Prisma)<br />
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GeomOptikEinf2_BA.doc - 2<br />
Vertauschung von "oben" und "unten"<br />
aber:<br />
"Drehsinn" bleibt erhalten<br />
4) Doppeltes Porro-Prisma - Anwendung in Ferngläsern kurzer Bauform<br />
Das zweite Prisma vertauscht auch<br />
noch "links" und "rechts"<br />
damit:<br />
vollständige Bildumkehr<br />
"Drehsinn" bleibt erhalten<br />
kein Spiegelbild !<br />
Bemerkung: Auch bei der Totalreflexion dringt das lichtelektrische Feld ca. eine Wellenlänge<br />
tief in das optisch dünnere Medium ein (→ frustrierte Totalreflexion).<br />
1.5.2 Totalreflexion und Lichtwellenleiter (LWL strahlenoptisch)<br />
Ein zylindrischer Lichtwellenleiter besteht aus “Kern“ und “Mantel“. Der transparente, lichtleitende<br />
Kern hat einen höheren Brechungsindex als der Mantel n K > n M . Wenn der Einfallswinkel an der<br />
Grenzfläche Kern/Mantel kleiner als der Totalreflexionswinkel ist, erfolgt Lichtübertragung.<br />
Multimode-LWL mit Stufenindex-Profil<br />
Typische Werte<br />
n K = 1,527<br />
n M = 1,517<br />
100 µm<br />
d K = 200 µm<br />
400 µm<br />
200 µm<br />
d M = 300 µm<br />
500 µm<br />
Charakteristika:<br />
große Laufzeitunterschiede der<br />
Lichtstrahlen → starke Impulsverbreiterung<br />
Bandbreite×Reichweite-Produkt<br />
B×l > 100 MHz⋅km
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
Multimode-LWL mit Gradientenindex-Profil<br />
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GeomOptikEinf2_BA.doc - 3<br />
parabelförmiges<br />
Indexprofil:<br />
typische Werte<br />
n K(max) = 1,457<br />
n M = 1,417<br />
d K = 50 µm<br />
d M = 125 µm<br />
Charakteristika:<br />
geringe Laufzeitunterschiede der<br />
Lichtstrahlen (warum?) → geringe<br />
Impulsverbreiterung<br />
Bandbreite×Reichweite-Produkt<br />
B×l > 1 GHz⋅km<br />
Einmoden(Monomode)-LWL mit Stufenindex-Profil<br />
typische Werte<br />
n K = 1,457 (Quarz)<br />
n M = 1,417<br />
d K = 10 µm<br />
d M = 125 µm<br />
Charakteristika:<br />
keine Laufzeitunterschiede, da nur eine<br />
Ausbreitungsrichtung → formtreue<br />
Impulsübertragung<br />
Bandbreite×Reichweite-Produkt<br />
B×l > 10 GHz⋅km<br />
Numerische Apertur<br />
Berechnung des maximalen Akzeptanzwinkels θ A bei der Einkopplung (MM-SI-Faser)
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
nM<br />
sin <strong>ε</strong> g =<br />
(Totalreflexion)<br />
n<br />
A<br />
K<br />
nsin Θ = n sin(90° −<strong>ε</strong><br />
) = n cos<strong>ε</strong><br />
(Brechung)<br />
K<br />
g<br />
K<br />
g<br />
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GeomOptikEinf2_BA.doc - 4<br />
nsin<br />
Θ = n 1−<br />
sin <strong>ε</strong><br />
A<br />
K<br />
2<br />
g<br />
= n<br />
K<br />
n<br />
1−<br />
n<br />
2<br />
M<br />
2<br />
K<br />
NA<br />
2 2<br />
= nsin<br />
Θ A = nK<br />
− nM<br />
NA = Numerische Apertur<br />
Die numerische Apertur gibt an, wie groß der max. Akzeptanzwinkel bei der Einkopplung ist und wie<br />
groß der max. Austrittswinkel am anderen Ende der Faser bei Auskopplung ist.<br />
Aufgaben:<br />
1. Wie groß ist die Numerische Apertur NA und der max. Akzeptanzwinkel Θ A bei einem<br />
Lichtwellenleiter ohne Mantel (n K = 1.62) ?<br />
2. Eine LED strahlt Licht mit einem Öffnungswinkel von 2σ = 80° ab.<br />
Wird alles Licht in eine SI-Faser mit n K = 1,62 und n M = 1,53 eingekoppelt ?<br />
1.6. Absorption (phänomenologisch)<br />
Absorption = Energieverlust der Strahlung im Innern des Materials<br />
Intensitätsverlust dI<br />
Für eine dünne Scheibe dx gilt:<br />
dI ~ dx<br />
dI ~ I<br />
I 0<br />
I(x)<br />
dI = −αIdx<br />
α = Proportionalitätskonstante<br />
( Minus da dI negativ)
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
Umformung und Integration<br />
dI<br />
= −αdx<br />
⇒<br />
I<br />
I<br />
∫<br />
I<br />
0<br />
dI<br />
I<br />
x<br />
I<br />
= −α ∫ dx ⇒ ln = −αx<br />
oder:<br />
I<br />
0<br />
−αx<br />
0<br />
I( x)<br />
= I 0 e Beersches Absorptionsgesetz für elektromagnetische Strahlung<br />
α = α(λ 0 ) heißt Absorptionskoeffizient und ist wellenlängenabhängig<br />
Defintion: Spektraler Dämpfungskoeffizient α’ in dB/km<br />
α ' x<br />
−<br />
I(<br />
x)<br />
= I 10dB<br />
010<br />
Beispiele:<br />
Material α’ in dB/km Eindringtiefe in m (50%)<br />
Fensterglas<br />
optisches Glas<br />
Stadtluft<br />
klare Luft<br />
sehr gute Faser (λ = 1,3µm)<br />
90000<br />
3000<br />
10<br />
1,8<br />
0,2<br />
0,033<br />
1<br />
330<br />
1600<br />
15000<br />
Beispiel: Typischer Dämpfungsverlauf einer Glasfaser in Abhängigkeit von der Wellenlänge.<br />
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GeomOptikEinf2_BA.doc - 5<br />
Aufgabe: Geben Sie ein Rechenvorschrift für die Umrechnung von α in α’ an.
Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)<br />
1.7 Fermatsches Prinzip<br />
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GeomOptikEinf2_BA.doc - 6<br />
Lichtstrahlen laufen so, dass sie zwischen zwei Punkten (Objektpunkt und Bildpunkt) immer die<br />
kürzeste Zeit brauchen.<br />
a<br />
Im idealen optischen System laufen alle<br />
a 2 Strahlen von O nach O’ gleich schnell<br />
a 1 a 3<br />
b<br />
b 2<br />
(= isochron) t a = t b = t c .<br />
1 b3<br />
O’<br />
O<br />
abbildendes<br />
optisches System<br />
t<br />
a<br />
Weg ai<br />
1<br />
= = ∑ = ∑ aini<br />
Geschw.<br />
c c<br />
∑ a<br />
i<br />
n<br />
i<br />
= ∑b<br />
i<br />
n<br />
i<br />
= ∑ c<br />
i<br />
n<br />
i<br />
Die “optischen Weglängen“ sind gleich<br />
i<br />
0<br />
Def.: Optische Weglänge<br />
Brechzahl x Geometrischer Weg<br />
Beispiel:<br />
a<br />
B<br />
B’<br />
OA + nAA'<br />
+ A'<br />
O'<br />
= OB + nBB'<br />
+ B'<br />
O'<br />
Berechnung der Topologie !<br />
O<br />
A<br />
n<br />
A’<br />
O’<br />
Optische Weggleichheit bzw.<br />
gleiche Laufzeit heißt auch:<br />
Gleiche Anzahl von Wellenlängen auf allen Wegen.<br />
Beweis:<br />
Übung: Zeigen Sie, dass das Reflexionsgesetz und das Brechungsgesetz aus dem<br />
Fermatschen Prinzip ableitbar sind.