Methoden zur Erhöhung des visuellen Realismus für die Simulation ...

18 Deformationssimulation
rückschnellen. Um eine Dämpfung zu berücksichtigen, wird das Hook’sche Gesetz um
eine Viskositätskomponente erweitert:
r r r
Fs = cs ⋅es −ds ⋅vs
(2.2)
Dabei gibt d die Dämpfungs- oder Viskositätskonstante und v r s
die relative Geschwindigkeit
der verknüpften Masseknoten zueinander an. Aus Geschwindigkeitsgründen sind
die Gleichungen linear, was nur bei kleinen Deformationen physikalisch korrekt ist. Alle
Gleichungen für die Masseknoten und Federn zusammengenommen ergeben ein Differenzialgleichungssystem,
das mittels numerischer Lösungsverfahren per Computer berechnet
werden kann [19].
Ein anderer, mehr intuitiver Ansatz wird durch iterative Algorithmen verwirklicht.
Wird die Position eines Masseknotens verändert und somit das Modell verformt, werden
die verbundenen Federn komprimiert bzw. gedehnt. Dabei wirken diese Elemente mit einer
gewissen Kraft auf die umliegenden Masseknoten, die entsprechend ihrer Masse beschleunigt
werden und somit andere Federn bzw. Masseknoten beeinflussen. Iterative
Algorithmen berechnen genau diese Abfolge, bis sich ein Kräftegleichgewicht eingestellt
hat. Zuerst werden die aktuellen Beschleunigungen der Masseknoten unter Berücksichtigung
der internen Kräfte, die durch die Federn auftreten, berechnet. Aus der Integration
der Beschleunigung über die Zeit wird die Geschwindigkeit berechnet. Leider kann dies
mit numerischen Verfahren nicht kontinuierlich geschehen. Durch das Einführen einer
Zeitschrittweite kann jedoch eine diskrete Approximation der Integration ermittelt werden.
Abbildung 2.1 zeigt ein einfaches Beispiel einer wie zuvor beschriebenen Simulation.
Dargestellt sind zwei durch eine Feder verknüpfte Masseknoten, auf die externe Kräfte
einwirken (gelbe Pfeile). Die Masseknoten werden dadurch in Richtung der hellblauen
Pfeile beschleunigt. Durch die Trägheit der Masseknoten wird das System in eine Rotation
versetzt, während die Feder abwechselnd gestreckt und gestaucht wird.
Abbildung 2.1: Rotation zweier Masseknoten, die durch eine Feder verknüpft sind (aus [153]).
Iterative Algorithmen sind sehr schnell in der Ausführung, weshalb sich der Einsatz in
virtuellen Umgebungen anbietet. Allerdings gibt es ein grundsätzliches Problem durch
die simple Approximation der Integrationen. Ist die Zeitschrittweite zu klein gewählt, so
ist die Simulation zu langsam. Im entgegengesetzten Fall kann der Berechnungsfehler
durch die Approximation zu groß werden; der Fehler akkumuliert sich, bis das System
einen instabilen Zustand erreicht. Dies macht sich in der numerischen Simulation durch
ein „Zerreißen“ des Modells bemerkbar: Die Masseknoten driften innerhalb weniger