Kapitel 11 Jacobi–Verfahren

11.4. EIGENVEKTOREN 101
Jacobi-Verfahren für eine reell-symmetrische n × n-Matrix A
1. Initialisiere V = II und ɛ (z.B. ɛ = 10 −8 )
2. Sweeps
(a) Schleife p = 0, . . . n − 1 über Zeilen
(b) Schleife q = p + 1, . . . n − 1 über Spalten
i. Bestimme t, c und s entsprechend Glg. (11.8)
ii. Bestimme die neuen Matrixelemente a ′ pq, a ′ rq und a ′ rp
entsprechend Glg. (11.9)
iii. Bestimme die neuen Matrixelemente v ′ rq und v ′ rp
entsprechend Glg. (11.15)
3. Falls ∑ i |a′ ii| 2 < ɛ ∑ i≠j |a′ ij| 2 zurück zu 2.
Box 11.1. Algorithmus des Jacobi-Verfahrens zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren
einer Matrix A. Nach Abbruch des Algorithmus enthält die Diagonale der
veränderten Matrix A die angenäherten Eigenwerte und die Spalten von V die zugehörigen
Eigenvektoren.
V ′ = V P pq , (11.14)
wobei zu Beginn V = II gilt. Man rechnet leicht nach, dass sich bei dieser Transformation
die Matrixelemente bezüglich
v ′ rs = v rs (s ≠ p, s ≠ q)
v rp ′ = c v rp − s v rq
v rq ′ = s v rp + c v rq (11.15)
ändern. Nach Abbruch des Jacobi-Verfahrens enthalten die Spalten von V die angenäherten
Eigenvektoren der Matrix A.
In Box 11.1 ist das vollständige Jacobi-Verfahren dargestellt.