Kapitel 11 Jacobi–Verfahren

100 KAPITEL 11. JACOBI–VERFAHREN
für die veränderten Matrixelemente.
Um zu verstehen, dass das Jacobi-Verfahren tatsächlich konvergiert, führen wir die Größe
S = ∑ r≠s
|a rs | 2 (11.10)
als Maß für den Betrag der Nichtdiagonalelement ein. Aus Glg. (11.9) erkennen wir, dass
durch die Transformation mit P pq der Betrag von S auf
S ′ = S − 2|a pq | 2 (11.11)
vermindert wird. Da die Transformation orthogonal ist, muss die Summe der Betragsquadrate
der Diagonalterme um 2|a pq | 2 erhöht werden.
11.3 Sweeps
Im Jacobi-Verfahren gehen wir nun so vor, dass wir sukzessive für die Matrixelemente
der oberen (oder unteren) Dreieckshälfte der Matrix die Nichtdiagonalelemente auf Null
setzen (ein solcher Durchlauf wird auch als sweep bezeichnet; engl. Ausdruck für Durchlauf).
Offensichtlich werden durch Hintereinanderschalten solcher Ähnlichkeitstransformationen
Matrixelemente, die zuvor bereits Null waren, wieder auf einen Wert ungleich
Null gesetzt. Die sweeps müssen daher solange wiederholt werden, bis S genügend klein
wird.
11.4 Eigenvektoren
Das soeben besprochene Verfahren bringt somit die Matrix A durch eine Ähnlichkeitstransformation
der Form
V T AV = D (11.12)
auf Diagonalform, wobei die Matrix V durch das Matrixprodukt der hintereinandergeschalteten
Jacobirotationen P i gegeben ist,
Eine Jacobirotation P pq ändert die Matrix V bezüglich
V = P 1 P 2 P 3 . . . . (11.13)