Kapitel 11 Jacobi–Verfahren

11.2. TRANSFORMIERTE MATRIX 99
a ′ pq = (c 2 − s 2 ) a pq + sc (a pp − a qq )
a ′ pp = c 2 a pp + s 2 a qq − 2sc a pq
a ′ qq = s 2 a pp + c 2 a qq + 2sc a pq
a ′ rp = c a rp − s a rq
a ′ rq = c a rq + s a rp , (11.5)
wobei r ∈ [0, n − 1] eine Zahl ungleich p und q ist. Wir wollen c und s so bestimmen,
dass a ′ pq = 0 wird. Es folgt dann, dass
c 2 − s 2
sc
= a qq − a pp
a pq
= 2θ. (11.6)
Hier ist der Winkel θ durch die letzte Gleichung bestimmt. Unter Benutzung von t =
tan φ = s/c erhalten wir
1
t − t = 2θ, t2 + 2θt − 1 = 0. (11.7)
Wir wählen den Wert, der einer Drehung um den kleineren Winkel entspricht. Umformung
der Gleichung sowie Benutzung trigonometrischer Beziehungen liefert für t, c und s das
Ergebnis
t =
c =
sgn(θ)
|θ| 2 + √ 1 + θ 2
1
√
1 + t
2
s = tc, (11.8)
sowie
a ′ pq = 0
a ′ pp = a pp − t a pq
a ′ qq = a qq + t a pq
a ′ rp = c a rp − s a rq
a ′ rq = c a rq + s a rp (11.9)