Kapitel 11 Jacobi–Verfahren
Kapitel 11 Jacobi–Verfahren Kapitel 11 Jacobi–Verfahren
98 KAPITEL 11. JACOBI–VERFAHREN ⎛ P pq = ⎜ ⎝ 1 0 ... c s ... −s c ... 0 1 ⎞ , (11.2) ⎟ ⎠ die aus einer Diagonalmatrix hervorgeht, wenn man die Elemente in der p-ten und q-ten Spalte durch c ersetzt, sowie die Matrixelemente an der Position (pq) durch s und an der Position (qp) durch −s. Hier haben wir die Abkürzung c = cos φ und s = sin φ eingeführt. Offensichtlich ist die Matrix P pq eine verallgemeinerte Drehmatrix in n Dimensionen. Hier ist die Strategie des Jacobiverfahrens zur Diagonalisierung der Matrix A. Wir beginnen damit, das erste Nichtdiagonalelement a 01 auf Null zu setzen. Hierzu führen wir die Transformation P T 01AP 01 (11.3) durch und wählen den Winkel φ so, dass a 01 = 0 wird (siehe Diskussion unten). Für eine symmetrische Matrix wird dann entsprechend auch a 10 auf Null gesetzt. Als nächstes bringen wir das Matrixelement a 02 durch eine entsprechende Ähnlichkeitstransformation P 02 mit einem geeigneten Winkel φ auf Null. Allerdings kann diese Transformation dazu führen, dass das zuvor auf Null gebrachte Element a 01 wieder einen von Null verschiedenen Wert erhält. Wie jedoch weiter unten gezeigt werden wird, wird die Summe der Absolutbeträge der Nichtdiagonalterme durch jede Transformation verringert. Wenn wir also die Ähnlichkeitstransformationen (11.2) genügend lange durchführen, werden die Nichtdiagonalterme innerhalb der numerischen Genauigkeit vernachlässigbar klein und wir haben die Matrix auf die gewünschte Diagonalform gebracht. 11.2 Transformierte Matrix Betrachten wir die Transformation A ′ = P T pqAP pq . (11.4) Man überzeugt sich leicht, dass diese Transformation nur die p-te und q-te Zeile bzw. p-te und q-te Spalte der Matrix A verändert. Wenn wir diese Matrixmultiplikationen explizit ausführen, erhalten wir für die transformierten Matrixelemente
11.2. TRANSFORMIERTE MATRIX 99 a ′ pq = (c 2 − s 2 ) a pq + sc (a pp − a qq ) a ′ pp = c 2 a pp + s 2 a qq − 2sc a pq a ′ qq = s 2 a pp + c 2 a qq + 2sc a pq a ′ rp = c a rp − s a rq a ′ rq = c a rq + s a rp , (11.5) wobei r ∈ [0, n − 1] eine Zahl ungleich p und q ist. Wir wollen c und s so bestimmen, dass a ′ pq = 0 wird. Es folgt dann, dass c 2 − s 2 sc = a qq − a pp a pq = 2θ. (11.6) Hier ist der Winkel θ durch die letzte Gleichung bestimmt. Unter Benutzung von t = tan φ = s/c erhalten wir 1 t − t = 2θ, t2 + 2θt − 1 = 0. (11.7) Wir wählen den Wert, der einer Drehung um den kleineren Winkel entspricht. Umformung der Gleichung sowie Benutzung trigonometrischer Beziehungen liefert für t, c und s das Ergebnis t = c = sgn(θ) |θ| 2 + √ 1 + θ 2 1 √ 1 + t 2 s = tc, (11.8) sowie a ′ pq = 0 a ′ pp = a pp − t a pq a ′ qq = a qq + t a pq a ′ rp = c a rp − s a rq a ′ rq = c a rq + s a rp (11.9)
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98 KAPITEL <strong>11</strong>. JACOBI–VERFAHREN<br />
⎛<br />
P pq =<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0<br />
...<br />
c s<br />
...<br />
−s c<br />
...<br />
0 1<br />
⎞<br />
, (<strong>11</strong>.2)<br />
⎟<br />
⎠<br />
die aus einer Diagonalmatrix hervorgeht, wenn man die Elemente in der p-ten und q-ten<br />
Spalte durch c ersetzt, sowie die Matrixelemente an der Position (pq) durch s und an der<br />
Position (qp) durch −s. Hier haben wir die Abkürzung c = cos φ und s = sin φ eingeführt.<br />
Offensichtlich ist die Matrix P pq eine verallgemeinerte Drehmatrix in n Dimensionen.<br />
Hier ist die Strategie des Jacobiverfahrens zur Diagonalisierung der Matrix A. Wir beginnen<br />
damit, das erste Nichtdiagonalelement a 01 auf Null zu setzen. Hierzu führen wir<br />
die Transformation<br />
P T 01AP 01 (<strong>11</strong>.3)<br />
durch und wählen den Winkel φ so, dass a 01 = 0 wird (siehe Diskussion unten). Für eine<br />
symmetrische Matrix wird dann entsprechend auch a 10 auf Null gesetzt.<br />
Als nächstes bringen wir das Matrixelement a 02 durch eine entsprechende Ähnlichkeitstransformation<br />
P 02 mit einem geeigneten Winkel φ auf Null. Allerdings kann diese Transformation<br />
dazu führen, dass das zuvor auf Null gebrachte Element a 01 wieder einen von<br />
Null verschiedenen Wert erhält. Wie jedoch weiter unten gezeigt werden wird, wird die<br />
Summe der Absolutbeträge der Nichtdiagonalterme durch jede Transformation verringert.<br />
Wenn wir also die Ähnlichkeitstransformationen (<strong>11</strong>.2) genügend lange durchführen,<br />
werden die Nichtdiagonalterme innerhalb der numerischen Genauigkeit vernachlässigbar<br />
klein und wir haben die Matrix auf die gewünschte Diagonalform gebracht.<br />
<strong>11</strong>.2 Transformierte Matrix<br />
Betrachten wir die Transformation<br />
A ′ = P T pqAP pq . (<strong>11</strong>.4)<br />
Man überzeugt sich leicht, dass diese Transformation nur die p-te und q-te Zeile bzw. p-te<br />
und q-te Spalte der Matrix A verändert. Wenn wir diese Matrixmultiplikationen explizit<br />
ausführen, erhalten wir für die transformierten Matrixelemente
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