Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2012/13

7. Übung
23. Aufgabe: Debye-Temperatur
Die Debye-Temperatur von Natrium soll abgeschätzt werden. Dabei soll die Annahme
gemacht werden, dass Natrium eine isotrope Dispersionsrelation für Phononen hat. Natrium
hat bcc-Struktur, es werden die Zahlenwerte verwendet: K = 8.3·10 9
a = 4.225 · 10 −10 m
Die Formel für die Debye-Temperatur ist
mit
wobei
Θ D = ω D
k B
(
1 1
+ 2 )
= 6pN
2π 2 c 3 L
c 3 T
V
c T =
√
c44
ρ
c L =
√
c11
ρ
1
ω 3 D
N m 2 , ρ = ·10 3 kg
m 3 ,
c 44 und c 11 sind dabei näherungsweise durch das Kompressionsmodul gegeben (das ist
eigentlich nicht ganz korrekt. Es müsste das Elastizitätsmodul für c 11 und das Schubmodul
für c 44 sein, aber wir wollen mal nicht so rummöpen..). Man erhält dann eine
Schallgeschwindigkeit von
c T = c V = 2880.97 m/s
In einer bcc-Zelle befinden sich 2 Atome (p = 2). Sie hat das Volumen von a 3 (V =
7.54 · 10 −29 m 3 ). Wir setzen einfach N = 1 (da wir nur eine Elementarzelle betrachten)
und erhalten
ω 3 D = 6π2 pc 3 L
V
Man erhält dann eine Debye-Temperatur von
=⇒ ω D = 3.34 · 10 13 1/s
Θ D = 256 K
Die Debye-Abschneidefrequenz ist gegeben durch
3N =
∫ ωD
0
Z(ω) dω
da sie so gewählt ist. Man erhält dann genau die Formeln wie oben.
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