Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2012/13

Ω
0.20
0.15
0.10
0.05
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
k
Abbildung 8: Bild für beide (!!) Beispielaufgaben
17. Aufgabe: Wellengleichung
Es soll gezeigt werden, dass für große Wellenlängen (λ >> a) gezeigt werden, dass die
Bewegungsgleichungen der einatomigen linearen Kette mü n = −D(2u n −u n−1 −u n+1 ) zur
Wellengleichung des elastischen Kontinuums vereinfacht werden kann: ∂2 u
∂t 2
Wir benutzen die Taylorreihenentwicklung zweier verketteter Funktionen:
f(g(x)) ≈ f(g(0)) + g ′ (0)f ′ (g(0))x + 1 2
= c 2 Schall ∂2 u
∂x 2
(
g ′ (0) 2 f ′′ (g(0)) + f ′ (g(0))g ′′ (0) ) x 2 . . . .
Nun ist
u n = u(n(x = na)) u n−1 = u(n(x = na − a)) u n+1 = u(n(x = na + a))
Es ist also f = u, g = n und
x = na n ′ = 1/a
Wir erhalten also die Näherungen:
u n−1 = u n − u ′ n + 1 2 u′′ n
u n+1 = u n + u ′ n + 1 2 u′′ n
und daraus:
ü = ∂2 u
∂t 2
mit c = √ D/m erhalten wir die Behauptung.
= −D m (−u′′ ) = D ∂ 2 u
m ∂x 2
Noch ein
a 2 suchen
28