Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2012/13

es nicht, da dann z.B. 111 verschwinden müsste, ein sc-Gitter ist es auch nicht, weil ja
schließlich ungerade Indizes auftreten). Das nächstgelegene Element wäre Kupfer.
5. Übung
16. Aufgabe: Dispersionsrelation für lineare Ketten
Die Dispersionsrelation soll für verschiedene Teilchenanordnungen hergeleitet werden.
Der Abstand zwischen den Teilchen ist d, die Gitterkonstante a. Außerdem sollen die
Dispersionskurven gezeichnet werden. Die Lösungen sollen dann in den Grenzfall der
einatomigen linearen Kette mit gleicher Federkonstante überführt werden.
Die beschriebene Situation sieht wie folgt aus:
u n−1 v n−1 u n v n u n+1 v n+1
Abbildung 7: Allgemeine lineare Kette mit wechselnden Parametern
(a) Die einzelnen Kugeln haben eine identische Masse m. Die Federn zwischen u und v
nach rechts haben jeweils eine Federkonstante von D 1 , nach links eine von D 2 .
Wir erhalten die beiden Kräftegleichungen
mü n = D 1 (v n − u n ) − D 2 (u n − v n−1 )
m¨v n = D 2 (u n+1 − v n ) − D 1 (v n − u n )
Als Ansatz benutzen wir
u n = u 0 e i(kna−ωt)
v n = v 0 e i(kna−ωt)
und erhalten damit die Differenzialgleichungen
−mω 2 u 0 = D 1 (v 0 − u 0 ) − D 2 (u 0 − v 0 e −ika ) ⇐⇒ 0 = u 0 (mω 2 − D 1 − D 2 ) + v 0 (D 1 + D 2 e −ika )
−mω 2 v 0 = D 2 (u 0 e ika − v 0 ) − D 1 (v 0 − u 0 ) ⇐⇒ 0 = u 0 (D 1 + D 2 e ika ) + v 0 (mω 2 − D 1 − D 2 )
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