Theoretische Mechanik:¨Ubungen
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<strong>Theoretische</strong> <strong>Mechanik</strong>: Übungen<br />
Übungsblatt vom 13.12.2010<br />
39. Berechne den Trägheitstensor eines starren Systems von 8 Massenpunkten<br />
(Massen m), die an den 8 Eckpunkten eines Würfels (Seitenlänge a) fixiert<br />
sind. Die Masse der Verbindungsdrähte kann vernachlässigt werden. Nimm<br />
dabei Schwerpunktslage (der Schwerpunkt im Ursprung) und Hauptachsenlage<br />
(Hauptachsen parallel zu den Würfelkanten) an.<br />
Wie groß sind die Trägheitsmomente bei Rotation um die Hauptdiagonale<br />
(1,1,1) oder um die Symmetrieachse in Richtung (1,1,0)?<br />
40. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Quaders (Dichte ρ) mit Kantenlängen<br />
{a, b, c} in Schwerpunktslage.<br />
41. Beim Transport eines massiven Kastens (Höhe H, Breite B, Tiefe T , wir<br />
nehmen an, er sei homogen mit Massendichte ρ) kippt dieser nach vorne<br />
und fällt dem bedauernswerten Transporteur auf die Zehen. Mit welcher<br />
Geschwindigkeit trifft die Oberkante am Boden auf?<br />
Hinweise: Verwende den Winkel ϕ(t) zwischen der Diagonale (untere Vorderkante,<br />
hintere Oberkante) und dem Lot durch den Schwerpunkt als Variable.<br />
Der Kasten beginnt daher bei ϕ(0) = 0 zu fallen. Ermittle mithilfe<br />
des Satzes von Steiner das Trägheitsmoment (benutze das Ergebnis aus<br />
Aufgabe 40). Zu Beginn ist die kinetische Energie null.<br />
H<br />
T<br />
ϕ<br />
v z<br />
42. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Zylinders (Dichteρ) der Höhe<br />
h und des Radius R in Schwerpunktslage. Verwende bei der Integration<br />
geeignete Koordinaten!
43. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Kegels (Dichteρ) der Höheh<br />
und mit Radius R an der Basis auf zwei Arten:<br />
(a) Die Basis des Kegels liegt in der (x,y)-Ebene und die Drehachsen<br />
laufen durch den Ursprung.<br />
(b) Die Drehachsen gehen durch den Kegelschwerpunkt.<br />
Verifiziere anhand der Ergebnisse den Satz von Steiner!<br />
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