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Theoretische Mechanik:¨Ubungen

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<strong>Theoretische</strong> <strong>Mechanik</strong>: Übungen<br />

Übungsblatt vom 13.12.2010<br />

39. Berechne den Trägheitstensor eines starren Systems von 8 Massenpunkten<br />

(Massen m), die an den 8 Eckpunkten eines Würfels (Seitenlänge a) fixiert<br />

sind. Die Masse der Verbindungsdrähte kann vernachlässigt werden. Nimm<br />

dabei Schwerpunktslage (der Schwerpunkt im Ursprung) und Hauptachsenlage<br />

(Hauptachsen parallel zu den Würfelkanten) an.<br />

Wie groß sind die Trägheitsmomente bei Rotation um die Hauptdiagonale<br />

(1,1,1) oder um die Symmetrieachse in Richtung (1,1,0)?<br />

40. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Quaders (Dichte ρ) mit Kantenlängen<br />

{a, b, c} in Schwerpunktslage.<br />

41. Beim Transport eines massiven Kastens (Höhe H, Breite B, Tiefe T , wir<br />

nehmen an, er sei homogen mit Massendichte ρ) kippt dieser nach vorne<br />

und fällt dem bedauernswerten Transporteur auf die Zehen. Mit welcher<br />

Geschwindigkeit trifft die Oberkante am Boden auf?<br />

Hinweise: Verwende den Winkel ϕ(t) zwischen der Diagonale (untere Vorderkante,<br />

hintere Oberkante) und dem Lot durch den Schwerpunkt als Variable.<br />

Der Kasten beginnt daher bei ϕ(0) = 0 zu fallen. Ermittle mithilfe<br />

des Satzes von Steiner das Trägheitsmoment (benutze das Ergebnis aus<br />

Aufgabe 40). Zu Beginn ist die kinetische Energie null.<br />

H<br />

T<br />

ϕ<br />

v z<br />

42. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Zylinders (Dichteρ) der Höhe<br />

h und des Radius R in Schwerpunktslage. Verwende bei der Integration<br />

geeignete Koordinaten!


43. Berechne den Trägheitstensor eines massiven Kegels (Dichteρ) der Höheh<br />

und mit Radius R an der Basis auf zwei Arten:<br />

(a) Die Basis des Kegels liegt in der (x,y)-Ebene und die Drehachsen<br />

laufen durch den Ursprung.<br />

(b) Die Drehachsen gehen durch den Kegelschwerpunkt.<br />

Verifiziere anhand der Ergebnisse den Satz von Steiner!<br />

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