1 Primitiv-rekursive Funktionen

Logik und Berechenbarkeit
1. Primitiv-rekursive Funktionen
1 Primitiv-rekursive Funktionen
Bezeichnung:
k-stelligen Funktionen
F k := { f : f :IN k → IN} für die Menge aller
1.1 Berechnungsschemata für Funktionen
1.1.1 Substitution S( f ;g 1 ,...,g k ):IN m → IN
Es seien f ∈ F k ,g 1 ,...,g k ∈ F m .
S( f ;g 1 ,...,g k )(x 1 ,...,x m ) :=
f(g 1 (x 1 ,...,x m ) ,..., g k (x 1 ,...,x m ))
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1.1.2 Primitive Rekursion R(g,h):IN m+1 → IN
Es seien g ∈ F m und h ∈ F m+2 .
⃗x := (x 1 ,...,x m ) sei der Parametervektor.
R(g,h)(⃗x,0) := g(⃗x)
R(g,h)(⃗x,n+1) := h(⃗x,n,R(g,h)(⃗x,n))
1.1.3 Beschränkte Primitive Rekursion BR(g,h;b):IN m+1 → IN
Es seien g ∈ F m , h ∈ F m+2 und b ∈ F m+1 und⃗y = (y 1 ,...,y m+1 ).
BR(g,h;b) =
⎧
⎨
⎩
R(g,h) , falls ∀⃗y(R(g,h)(⃗y) ≤ b(⃗y)),
/0 , sonst.
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1.1.4 Induktiver Aufbau der primitiv-rekursiven Funktionen
Anfangsfunktionen
A 0 := {o,s} ∪ {I m k
: m,k ∈ IN ∧ k ≤ m}
induktiver Aufbau
A i+1 := A i ∪ {S( f ;g 1 ,...,g k ) : k ∈ IN ∧ f,g 1 ,...,g k ∈ A i }
∪ {R(g,h) : g,h ∈ A i }
Abschluß
A i
i∈IN
P R := [
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Satz 1.1:
Funktionen
Primitiv-rekursive Funktionen sind vollständig definierte
Eigenschaft 1.2:
Die Klasse P R ist abgeschlossen bezüglich
(a) Permutation von Variablen,
(b) Identifizierung von Variablen,
(c) Einsetzung von Konstanten, und
(d) Einführung fiktiver Variablen.
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Lemma 1.3 (Beschränkte Summation):
ist auch
Folgerung 1.4:
so ist auch
f(x 1 ,...,x m ) :=
f(x 1 ,...,x m ) :=
Ist g(x 1 ,...,x m ) ∈ P R , so
x m
∑ g(x 1 ,...,x m−1 ,i) ∈ P R .
i=0
Sind g,h, j primitiv-rekursive m-stellige Funktionen,
j(x 1 ,...,x m )
∑ g(x 1 ,...,x m−1 ,i) ∈ P R .
i=h(x 1 ,...,x m )
Lemma 1.5 (Beschränkte Multiplikation): Ist g(x 1 ,...,x m ) ∈ P R ,
so ist auch
f(x 1 ,...,x m ) :=
x m
∏g(x 1 ,...,x m−1 ,i) ∈ P R .
i=0
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Satz 1.6 (Fallunterscheidung):
Sind
f 1 ,..., f n+1 ,α 1 ,...,α n ∈ F m ∩ P R und sind die Mengen der Nullstellen
der Funktionen α 1 ,...,α n paarweise disjunkt, so ist auch die Funktion
⎧
f 1 (⃗x) , falls α 1 (⃗x) = 0,
⎪⎨
. ,
.
f(⃗x) :=
f n (⃗x) , falls α n (⃗x) = 0, und
⎪⎩ f n+1 (⃗x) , sonst,
(⃗x ∈ IN m ) primitiv-rekursiv.
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1.1.5 Minimale Nullstelle (Minimisierung f = Mg)
Es seien g ∈ F m+1 und⃗x ∈ IN m .
⎧
⎨
µt(g(⃗x,t) = 0) :=
⎩
f(⃗x) := µt(g(⃗x,t) = 0) , wobei
min{z : g(⃗x,z) = 0 ∧ ∀i ≤ z(g(⃗x,i) ∈ IN)}
nicht definiert
, falls ex., und
, sonst.
Beschränkte Minimisierung ( f = M ≤ g)
Es seien g ∈ F m+1 und⃗x ∈ IN m .
f(⃗x,y) := (µt ≤ y)(g(⃗x,t) = 0) , wobei
⎧
⎨ µt(g(⃗x,t) = 0), falls µt(g(⃗x,t) = 0) ≤ y , und
(µt ≤ y)(g(⃗x,t) = 0) :=
⎩ 0 , sonst.
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Satz 1.7: Ist g ∈ P R , so gilt auch M ≤ g ∈ P R .
Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 1
quot(x,y) :=
rest(x,y)
⎧
⎨
⎩
⌊ x y ⌋ , falls y > 0 ,
0 , sonst.
:= x ˙– y · quot(x,y)
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Beispiele primitiv rekursiver Funktionen 2
prim(x) :=
nd(x) :=
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
0 , falls x Primzahl ist,
1 , sonst.
Anz{y : y ∈ IN ∧ y|x} , falls x ≠ 0 ,
1 , sonst.
p(x) := (x+1)-te Primzahl (p(0) = 2, p(1) = 3, p(2) = 5,...)
⎧
⎨ max{y : y ∈ IN ∧ p(y)|x} , falls x ≠ 0 ,
len(x) :=
⎩ 0 , sonst.
⎧
⎨ min{t : t ∈ IN ∧ p(y) t |x ∧ p(y) t+1̸ |x} , falls x ≠ 0 ,
exp(x,y) :=
⎩ 0 , sonst.
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1.1.6 Werteverlaufsrekursion
Es seien α 1 (x),...,α l (x) Funktionen, für welche α i (x+1) ≤ x gilt.
Die Funktion f(x 1 ,...,x m+1 ) entsteht aus den Funktionen g(x 1 ,...,x m )
und h(x 1 ,...,x m ,y,z 1 ,...,z l ) mittels durch α 1 ,...,α l bestimmter
Werteverlaufsrekursion : ⇐⇒
f(⃗x,0)
f(⃗x,n+1)
:= g(⃗x)
:= h(⃗x,n, f(⃗x,α 1 (n+1)),..., f(⃗x,α l (n+1)))
für⃗x = (x 1 ,...,x m ).
Satz 1.8 (Satz über die Werteverlaufsrekursion): Sind die
Funktionen α 1 ,...,α l ∈ F 1 mit α i (x+1) ≤ x, sowie g ∈ F m und
h ∈ F m+1+l primitiv rekursiv und entsteht f aus ihnen mittels
Werteverlaufsrekursion, so ist auch f primitiv rekursiv.
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1.1.7 Simultane Rekursion
Es seien g 1 ,...,g m ∈ F k und h 1 ,...,h m ∈ F k+1+m . Die Funktionen
f 1 ,..., f m ∈ F k+1 entstehen durch simultane Rekursion : ⇐⇒
f i (⃗x,0) :=
f i (⃗x,n+1) :=
g i (⃗x)
h i (⃗x,n, f 1 (⃗x,n),..., f m (⃗x,n))
für alle i ∈ {1,...,m} und für⃗x = (x 1 ,...,x k ).
Satz 1.9 (Satz über die simultane Rekursion): Sind die Funktionen
g i ∈ F k und h i ∈ F k+1+m primitiv rekursiv und entstehen die f i aus
ihnen mittels simultaner Rekursion, so sind auch alle f i primitiv
rekursiv.
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