Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)

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=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU /HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN (UZDUWXQJVKRUL]RQW 1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU 6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Bernoullikette der Länge n=10 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,15. P ( X ≥1) = 1 − P( X = 0) = 1-B(10;0,15;0) = 1-0,85 10 = 0,8031 6 b) Abkürzungen H: Handynutzer; x kein Handynutzer; Trefferwahrscheinlichkeit p. P(A)==p 2 (1-p) 8 4 c) X liefert die Anzahl der telefonierenden Fahrzeuglenker. Es liegt eine Bernoullikette der Länge n=10 mit der unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit p vor, wobei mindestens 1 Treffer mit 95% Wahrscheinlichkeit erzielt werden soll: P ( X ≥1) = 1 − P( X = 0) = 0,95 ⎛10⎞ 0 B (10; p;0) = 0,05 ⇒ ⎜ (1 − ) 0 ⎟ p p ⎝ ⎠ 0,1 ⇒ p = 1 − 0,05 ≈ 0,259 d) P ( X ≥1) = 1 − P( X = 0) ≥ 0, 95 n 10 = 0,05 P( X = 0) = 1⋅ 0,15 ⋅ 0,85 = 0, 85 0 n BE in AB n log0,05 1 − 0,85 ≥ 0,95 ; n ≥ ≈18, 4 log0,85 Man muss wenigstens neunzehn Autos kontrollieren, um mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit einen Fahrer mit Handy zu anzutreffen. 7 e) X liefert die Anzahl der bei diesem Vorgehen kontrollierten Autos. E habe die Bedeutung, dass im 10. Auto ein telefonierender Fahrer sitzt oder im 10. Auto immer noch kein telefonierender Fahrer sitzt: P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9 =0,85 9 =0,232 bei bekanntem p=0,15. 5 Zwischensumme 10 17 0 Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung 5
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU /HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN (UZDUWXQJVKRUL]RQW 6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW 1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU f) Die ersten vier sind keine Handybenutzer, Ereignis F: P(F)=(1-p) 4 ; die nächsten sechs mit zwei Handybenutzern: Bernoullikette der Länge n=6 mit genau zwei Treffern ⎛6⎞ 2 4 B(6;p;2)= ⎜ (1 p) 2 ⎟ p − . ⎝ ⎠ Somit erhält man P(B)=P(F)B(6;p;2) g) 2 8 Übertrag 10 17 0 = 15 ⋅ p (1 − p) 4 Erfassen der Daten, z.B. mit Baumdiagrammen: 4 ⎛ P( H ∩ m) ⎞ P( H ∩ m) P( H | m) = ⎜ = P( m) ⎟ ⎝ ⎠ 0,75 P ( H ∩ m) = 0,15 ⋅ 0,8 = 0,12 ⇒ P ( H | m) = 0,16 5 Summe 15 21 4 mögliche BE 40 erreichte BE:
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