Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
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=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden<br />
<strong>mit</strong>bewertet.<br />
Quader<br />
Vom Quader ABCDEFGH sind die folgenden Punkte gegeben: A(0|0|0), B(4|0|0), D(0|6|0)<br />
und E(0|0|5).<br />
a) Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte an.<br />
b) Die Ebene K enthalte die Punkte P(3|0|0), D und E. Geben Sie für die Ebene K eine<br />
Parametergleichung und eine Gleichung in Normalenform an. Zeichnen Sie die Ebene K<br />
in die vorbereitete Zeichnung ein.<br />
c) Prüfen Sie durch Rechnung, ob die dreiseitige Pyramide APDE mehr als 15 % des<br />
Quadervolumens enthält.<br />
d) Die Ebene L durch die Punkte A, F und H erfüllt die Koordinatengleichung<br />
L: 15x + 10y – 12z = 0. Das brauchen Sie nicht nachzuweisen.<br />
Berechnen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der Ebenen K und L.<br />
Zeichnen Sie die Ebene L und die Schnittgerade in die vorbereitete Zeichnung ein.<br />
Berechnen Sie die Länge des Abschnitts der Schnittgeraden g, der im Quader<br />
ABCDEFGH liegt.<br />
e) Die Ebene K wird um die Drehachse PD um einen Winkel von 90° gedreht, das<br />
Ergebnis sei die Ebene N. Geben Sie eine Ebenengleichung in Normalenform für die<br />
Ebene N an.<br />
Anlage: Arbeitsblatt<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe<br />
BE 3 9 4 19 5 40
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Quader<br />
Arbeitsblatt
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden<br />
<strong>mit</strong>bewertet.<br />
Gerade und Ebene<br />
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|1|3),<br />
B(3|3|3), C(0|4|7), P( - 1| - 1| - 5) und Q(2|5|10) gegeben.<br />
a) Die Punkte A, B und C bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck<br />
gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.<br />
b) Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E und die Punkte P und Q auf der Geraden g.<br />
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für E und eine Parametergleichung für g.<br />
Ein mögliches Ergebnis für E ist: x – y + z = 3.<br />
c) Bestimmen Sie Schnittpunkt S und Schnittwinkel zwischen E und g.<br />
d) Stellen Sie den Sachverhalt (Dreieck, Gerade, Schnittpunkt, Schnittwinkel) im<br />
beigefügten Koordinatensystem übersichtlich dar.<br />
e) Prüfen Sie rechnerisch, ob sich der Schnittpunkt S innerhalb oder außerhalb des Dreiecks<br />
ABC befindet.<br />
(Sollte Ihnen die Bestimmung von S nicht gelungen sein, so prüfen Sie bitte ersatzweise,<br />
ob sich der Punkt T(0,5|3,5|6) innerhalb oder außerhalb des Dreiecks befindet.)<br />
f) Für jede reelle Zahl t beschreibt E t : t ⋅ x + ( t − 2) ⋅ y + z = 1 eine Ebene. Je zwei Ebenen<br />
haben ein und dieselbe Gerade gemeinsam. Er<strong>mit</strong>teln Sie für diese allen Ebenen<br />
gemeinsame Gerade eine Parametergleichung.<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe<br />
BE 4 7 7 6 11 5 40<br />
Anlage: Arbeitsblatt
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Gerade und Ebene<br />
Arbeitsblatt
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden<br />
<strong>mit</strong>bewertet.<br />
Aufgabe 3 - Pyramide in Raumecke<br />
Gegeben sind Ihnen die Punkte A(6 | 2 | 0) , B(8 | 6 | 0) , C(2 | 4 | 0) und S(7 | 4 | 8) .<br />
a) Die Punkte A, B und S legen eine Ebene E fest. Geben Sie eine Gleichung der Ebene<br />
in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung in Koordinaten- oder<br />
Normalenform. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene im<br />
Koordinatensystem.<br />
Zur Kontrolle: ein mögliches Ergebnis ist 2x − y = 10 .<br />
b) Die Punktmenge L λ ( 10 | 2 | λ ) <strong>mit</strong> λ ∈ R stellt eine Gerade g <strong>mit</strong> der<br />
⎛10⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Parametergleichung x r = ⎜ 2 ⎟ + λ ⋅ ⎜0⎟<br />
dar.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠<br />
Untersuchen Sie rechnerisch die Lage der Geraden g zur Ebene E.<br />
c) Durch die Punkte S und L 10 (10|2|10) verläuft eine Gerade h. Berechnen Sie die<br />
Schnittpunkte S xy und S yz dieser Geraden <strong>mit</strong> der x-y-Ebene und <strong>mit</strong> der y-z-Ebene.<br />
d) Betrachten Sie das beigefügte Arbeitsblatt. Die Punktmenge λ λ ∈ 0 ;10 soll<br />
eine Metallstange darstellen. Im Punkt L 10 befindet sich eine punktförmige<br />
Lichtquelle, die die Pyramide beleuchtet.<br />
Tragen Sie die Bezeichnungen für die Eckpunkte der Pyramide und L 10 ein.<br />
Berechnen Sie den Abstand der Lichtquelle von der Spitze der Pyramide und zeichnen<br />
Sie die Spitze des Schattens der Pyramide auf der „hinteren Raumwand“ (der y-z-<br />
Ebene) ein.<br />
L <strong>mit</strong> [ ]<br />
e) Zwischen den drei Befestigungspunkten H(0|0|10), I(12|0|8) und J(0|10|0) wird ein<br />
Seil im Dreieck aufgespannt. Ergänzen Sie die Zeichnung durch das Seildreieck und<br />
berechnen Sie den Abstand der Spitze S der Pyramide von der Ebene HIJ.<br />
f) Der Befestigungspunkt J(0|10|0) ist auf einer zur x-y-Ebene senkrechten Schiene<br />
befestigt und kann auf der Schiene nach oben verschoben werden. Die<br />
Seilkonstruktion soll durch ein dreieckiges Segeltuch ersetzt werden. Berechnen Sie,<br />
wohin der Punkt J verschoben werden muss, da<strong>mit</strong> die Spitze der Pyramide das<br />
Segeltuch gerade noch berührt. (Es darf für die Rechnung vernachlässigt werden, dass<br />
das Segeltuch etwas durchhängen wird.)<br />
Anlage: Arbeitsblatt<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe<br />
BE 8 6 6 6 9 5 40
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
NAME: ………………………………………<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
Pyramide in Raumecke: Arbeitsblatt
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\VLV<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden<br />
<strong>mit</strong>bewertet.<br />
Wurzelfunktion<br />
Gegeben ist eine Funktion f <strong>mit</strong><br />
1<br />
f ( x)<br />
= x ⋅ 9 − x .<br />
3<br />
a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an und bestimmen Sie die<br />
Nullstellen von f . Untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extremalpunkte und<br />
deren Art sowie auf Wendepunkte. Berechnen Sie die Koordinaten von genau vier<br />
weiteren, sinnvoll gewählten Punkten <strong>mit</strong> ganzzahligen Abszissen und zeichnen Sie den<br />
Graphen von f für x ≥ −2<br />
(1 LE = 1 cm).<br />
6 − x<br />
Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: f ’(<br />
x)<br />
=<br />
2 9 − x<br />
x −12<br />
Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: f ’’( x)<br />
=<br />
4⋅(9<br />
− x)<br />
b) Nennen Sie die Definition von Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x 0 und<br />
untersuchen Sie da<strong>mit</strong> die Funktion f an den beiden Stellen 0 und 9 auf<br />
Differenzierbarkeit. Erklären Sie, ob Ihre Ergebnisse in b) <strong>mit</strong> der Zeichnung in a) in<br />
Einklang stehen oder nicht.<br />
c) Der Graph von f und die x–Achse schließen ein Flächenstück ein. Bei Drehung dieses<br />
Flächenstücks um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen<br />
Volumen.<br />
d) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper aus Aufgabenteil c) vollständig in einer Kugel <strong>mit</strong><br />
dem Durchmesser d = 9 enthalten ist.<br />
3<br />
2<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) Summe<br />
BE 19 11 4 6 40
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥6WRFKDVWLN<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Die Qualität der textlichen Begleitung wird <strong>mit</strong>bewertet.<br />
Aufgabe 5 - Handy am Steuer<br />
Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während<br />
der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig von einander<br />
telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer<br />
telefoniert sei p.<br />
a) Bestimmen Sie zunächst für p=15 % die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10<br />
vorbeifahrenden Autos mindestens ein Fahrer sein Handy benutzt.<br />
b) Bestimmen Sie nun allgemein in Abhängigkeit von p die Wahrscheinlichkeit P(A) für<br />
das Ereignis A, dass unter 10 vorbeifahrenden Autos nur das 3. und das 5. Auto von<br />
einer telefonierenden Person gelenkt wird.<br />
c) Er<strong>mit</strong>teln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden<br />
Autos <strong>mit</strong> einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer<br />
telefonierenden Person gelenkt wird.<br />
d) Bestimmen Sie für p = 15 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen<br />
muss, da<strong>mit</strong> <strong>mit</strong> einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein<br />
Fahrer <strong>mit</strong> Handy angetroffen wird.<br />
e) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p=15 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos<br />
so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 10 Fahrzeuge.<br />
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 10 Fahrzeuge kontrolliert<br />
werden.<br />
f) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 10 Fahrzeugen die ersten vier Autos von<br />
keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 10 Fahrern<br />
genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde <strong>mit</strong> B benannt.<br />
Er<strong>mit</strong>teln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p.<br />
g) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person am Steuer das Handy benutzt, ist<br />
P(H) = 15 %. Während einer Langzeitkontrolle wird beobachtet, dass von den Personen,<br />
die am Steuer telefonieren, 20 % weiblich sind. Bei 75 % aller Fahrzeuge sitzen Männer<br />
hinter dem Steuer. Eine zufällig kontrollierte Person am Steuer ist männlich. Bestimmen<br />
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person telefoniert.<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) g) Summe<br />
BE 6 4 5 7 5 4 9 40
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
Ã<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH4XDGHU<br />
Aufgabenteil<br />
Erwartete Leistung<br />
a) Angabe der Koordinaten der Punkte:<br />
C(4|6|0), F(4|0|5), G(4|6|5), H(0|6|5) 3<br />
b)<br />
Gleichung für K in Parameterform:<br />
K:<br />
⎛ 3⎞ ⎛ −3⎞ ⎛ −3⎞<br />
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = 0 + r ⋅ 6 + s ⋅<br />
0<br />
⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Bestimmung eines Normalenvektors<br />
und Angabe einer Normalenform, z. B.<br />
⎛ ⎛ 3⎞⎞<br />
⎛10⎞<br />
⎜ r ⎜ ⎟⎟<br />
⎜ ⎟<br />
K: ⎜ x − 0 ⎟⋅ 5 = 0 .<br />
⎜ ⎜ 0⎟⎟<br />
⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
⎝ ⎠<br />
Zeichnung der Ebene K durch die<br />
Punkte D, E und P:<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
BE in AFB<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
2<br />
5<br />
c) Quadervolumen: V = 120<br />
Pyramidenvolumen: V = 15;<br />
Anteil der Pyramide am Quader:<br />
12,5 % des Quadervolumens 4<br />
d)<br />
Parameterform der Ebene K in<br />
Gleichung von L einsetzen ergibt als<br />
Bedingung r = 7s – 3.<br />
Schnittgerade:<br />
g:<br />
⎛ 12 ⎞ ⎛ −24⎞<br />
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = − 18 + t<br />
42<br />
⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Schnittwinkel: ϕ ≈ 62,24° 3<br />
Zwischensumme 14 12 0<br />
2<br />
4<br />
3
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH4XDGHU<br />
<br />
<br />
Noch<br />
d)<br />
Ergänzung der Zeichnung um L und g:<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
Übertrag 14 12 0 Begutachtung<br />
e)<br />
Länge d des Geradenabschnitts im<br />
Quader ist gleich dem Abstand der<br />
Punkte Y(0|3|2,5) und X( 12 7 |0| 15 7 ) 3<br />
d ≈ 3,47 2<br />
Erkennen, dass der Vektor PD r und<br />
der Normalenvektor von K<br />
Richtungsvektoren der Ebene N sind,<br />
daraus einen Normalenvektor<br />
bestimmen, z.B.<br />
⎛ 12 ⎞<br />
r ⎜ ⎟<br />
n = 6<br />
⎜ −25⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Angabe einer Ebenengleichung in<br />
Normalenform 5<br />
4<br />
Summe 16 19 5<br />
mögliche BE 40 erreichte BE:<br />
Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den<br />
Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA-3 bis zur Probeklausur<br />
berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH<br />
Aufgabenteil<br />
<br />
Erwartete Leistung<br />
a) Vektoren für Dreiecksseiten aufstellen,<br />
Längen berechnen; Ergebnis:<br />
AB = 8 , BC = AC = 26 4<br />
b)<br />
c)<br />
Koordinatengleichung über eine<br />
Parametergleichung, z. B.<br />
⎛1⎞<br />
⎛2⎞<br />
⎛−1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
E : x<br />
r = ⎜1⎟<br />
+ λ⎜2⎟<br />
+ µ ⎜ 3 ⎟ ;<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝3⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎝ 4 ⎠<br />
Koordinatenform z.B.<br />
E : x − y + z = 3<br />
5<br />
Geradengleichung. in Parameterform;<br />
⎛−1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Ergebnis z.B. g : x<br />
r 2<br />
= ⎜−1<br />
⎟ + m⎜2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
5⎠<br />
⎝5⎠<br />
Schnittpunkt. durch Einsetzen in die<br />
Koordinatengleichung;<br />
Ergebnis: S(1|3|5)<br />
Schnittwinkel über die Formel<br />
r r<br />
a ⋅n<br />
sin(α ) = r r ;<br />
a ⋅ n<br />
Ergebnis: α ≈ 25°<br />
BE in AFB<br />
Zwischensumme 14 4 0<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
3<br />
4
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH<br />
Ã<br />
Übertrag 14 4 0<br />
d) Zeichnerische Darstellung des<br />
Dreiecks, der Geraden g durch die<br />
Punkte P und Q und des<br />
Schnittpunktes S<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
6<br />
e)<br />
Idee entwickeln: wo schneidet Gerade<br />
durch Dreieckseckpunkt und<br />
Schnittpunkt die gegenüberliegende<br />
Seite?<br />
⎛0⎞<br />
⎛1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Z.B. von C aus: x r = ⎜4⎟<br />
+ q⎜−1<br />
⎟ ;<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝7⎠<br />
⎝−<br />
2⎠<br />
liefert für q=1 den Punkt S<br />
Schnitt <strong>mit</strong> AB liefert q=2; Folgerung:<br />
S liegt innerhalb des Dreiecks<br />
Zwischensumme 14 21 0<br />
5<br />
6
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH<br />
<br />
f) Ansatz <strong>mit</strong> zwei Ebenengleichungen<br />
für t 1 und t 2, ; Gleichsetzen und Wählen<br />
eines „freien“ Parameters, z.B. x=n,<br />
liefert y=-n und z=1-2n,<br />
Geradengleichung z.B.:<br />
⎛0⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x r = ⎜0⎟<br />
+ n⎜<br />
−1⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
⎠ ⎝−<br />
2⎠<br />
Übertrag 14 21 0<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
5<br />
Summe 14 21 5<br />
mögliche BE 40 erreichte BE:<br />
Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den<br />
Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA-3 bis zur Probeklausur<br />
berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH3\UDPLGHLQ5DXPHFNH<br />
<br />
Aufgabenteil<br />
Erwartete Leistung<br />
a) Aufstellen einer Ebenengleichung für<br />
die Ebene durch A, B und S in<br />
Parameterform, z. B.<br />
⎛6⎞<br />
⎛2⎞<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
E : x<br />
r = ⎜2⎟<br />
+ λ⎜4⎟<br />
+ µ ⎜2⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎝8⎠<br />
Bestimmen einer Koordinatenform<br />
oder einer Normalenform, z. B.<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟ r<br />
E : ⎜ −1⎟⋅<br />
x −10<br />
= 0 .<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Angabe, dass die Ebene parallel zur z-<br />
Achse liegt. 8<br />
b) Einsetzen der Koordinaten der<br />
Punktmenge in die Koordinatenform<br />
der Ebene oder des Geradenterms in<br />
die Normalenform<br />
Feststellung, dass g || E <strong>mit</strong><br />
g ⊄ E . 6<br />
c) Aufstellen der Parameterform für die<br />
Grade durch S und L 10 , z. B.<br />
⎛7⎞<br />
⎛ 3 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
h : x<br />
r = ⎜4⎟<br />
+ t⎜−<br />
2⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝8⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
BE in AFB<br />
Berechnung von S<br />
yz<br />
(0 | 26 / 3|10 / 3)<br />
und von S<br />
xy( − 5 |12 | 0) . 6<br />
d) Benennung von<br />
L 10 und der<br />
Pyramidenpunkte<br />
A, B, C und S:<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
Zwischensumme 14 6 0<br />
2
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH3\UDPLGHLQ5DXPHFNH<br />
<br />
e)<br />
Übertrag 14 6 0<br />
Abstand d = 17 ≈ 4, 1<br />
2<br />
Einzeichnen des<br />
Schattens der<br />
Spitze auf der<br />
Rückwand;<br />
z. B. unter<br />
Verwendung von<br />
S (0 | 26 | 10)<br />
.<br />
yz<br />
3<br />
3<br />
Einzeichnen des Seildreiecks:<br />
2<br />
Berechnung eines Normalenvektors<br />
der Ebene durch die Punkte H,I und J,<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
z.B. n r = ⎜6⎟<br />
, Berechnung des Abstands<br />
⎜ ⎟<br />
⎝6⎠<br />
d = 19 / 73 ≈ 2,22 ( LE)<br />
. 7<br />
f) Aufstellen einer Gleichung der<br />
Ebenenschar durch H, I und J k ,<br />
z.B. in Koordinatenform:<br />
20·x + 12·y·(10 – k) + 120·z = 1200,<br />
Er<strong>mit</strong>tlung der z-Koordinate z. B.<br />
durch eine Punktprobe von S in die<br />
Koordinatenform: z = 95 ≈ 7, 9<br />
12<br />
2<br />
5<br />
Summe 16 19 5<br />
mögliche BE 40 erreichte BE:<br />
Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den<br />
Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA-3 bis zur Probeklausur<br />
berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ<br />
<br />
Aufgabenteil<br />
a)<br />
Erwartete Leistung<br />
Angabe des Definitionsbereiches<br />
D f = { x ∈ R x ≤ 9 }<br />
1<br />
Nennen der (notwendigen und<br />
hinreichenden) Bedingung für<br />
Nullstellen f ( x)<br />
= 0 und Berechnung<br />
der Nullstellen 0 und 9 2<br />
Nennen von Bedingungen für lokale<br />
Extrema, Berechnung der 1. Ableitung<br />
und Verwenden der notwendigen<br />
Bedingung: f ’(<br />
x)<br />
= 0 ⇔ x = 6 4<br />
1<br />
Berechnung von f ’’(6)<br />
= − und<br />
2 3<br />
Folgerung (aus f ’(6)<br />
= 0 ∧ f ’’(6) < 0 ),<br />
dass 6 relative Maximalstelle ist, sowie<br />
Angabe von H ( 6 | 2 3 )<br />
3<br />
BE in AFB<br />
Nennen der notwendigen Bedingung<br />
für Wendestellen; Feststellung, dass<br />
f ’’(<br />
x)<br />
= 0 keine Lösung besitzt, da<br />
12 ∉ D f ’’ oder 12 ∉ D f gilt, und darum<br />
keine Wendestelle existieren kann. 2<br />
Sinnvoll sind nur ( 2<br />
2<br />
1 − − 3<br />
11)<br />
P ( 2<br />
2<br />
2 3<br />
7 ) und ( 4<br />
4<br />
3 3<br />
5 )<br />
P ( 7<br />
7<br />
4 3<br />
2 ) oder (<br />
8<br />
4 ) 8<br />
Zeichnung des Graphen<br />
P ,<br />
P sowie<br />
P 3<br />
. 3<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
<br />
Zwischensumme 14 5 0<br />
4
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH$XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
Übertrag 14 5 0<br />
Definition für Differenzierbarkeit an<br />
einer Stelle, Bestimmung von<br />
1<br />
9 0<br />
lim 3 x ⋅ − x −<br />
= 1 und Feststellung,<br />
x→0<br />
x − 0<br />
dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist 4<br />
Untersuchung von<br />
1<br />
3<br />
1 9 0<br />
lim 3 x − x −<br />
,<br />
−<br />
x→9 x − 9<br />
x 9 − x x 9 − x x<br />
= = ,<br />
x − 9 − 3(9 − x)<br />
− 3 9 − x<br />
x<br />
Feststellung, dass → −∞ für<br />
− 3 9 − x<br />
−<br />
→ 9<br />
x gilt und f an der Stelle 9 nicht<br />
differenzierbar ist 4<br />
Reflexion, ob Tangentensteigung im<br />
Koordinatenursprung den Wert 1 hat<br />
und ob der gezeichnete Graph im<br />
Punkt N (9 | 0)<br />
eine senkrechte<br />
Tangente zulässt. 3<br />
V =<br />
9<br />
π ⋅ ∫<br />
0<br />
V = π ⋅<br />
3<br />
f<br />
2<br />
9<br />
1<br />
9<br />
0<br />
π ⋅∫<br />
( x)<br />
dx = x (9 − x)<br />
dx<br />
[<br />
1 3 1 4<br />
x − x ]<br />
36<br />
243<br />
V = π ( VE)<br />
, V ≈ 191(<br />
VE)<br />
4<br />
9<br />
0<br />
Mögliche Idee: für 0 ≤ x ≤ 9 muss der<br />
Graph von f vollständig auf oder<br />
innerhalb eines Halbreises (oder<br />
Kreises) <strong>mit</strong> Radius r = 4, 5 um den<br />
Mittelpunkt M ( 4,5 | 0 ) verlaufen, d.h.<br />
jeder Punkt des Graphen von f hat zu<br />
M ( 4,5 | 0 ) einen Abstand d ≤ 4, 5 . 2<br />
Mögliche rechnerische Lösung:<br />
2<br />
d = x<br />
3<br />
1 3 2 2<br />
9<br />
≥<br />
2<br />
( x − 4,5) + (<br />
1<br />
x 9 − ) ≤ 4, 5<br />
ergibt x − x + 9x<br />
0 (für x ≤ 9 )<br />
⇔ x ⋅<br />
⇔ x ⋅<br />
( ) 1 2<br />
x − 2x<br />
+ 9 ≥ 0<br />
9<br />
( x − 9) 2 ≥ 0<br />
2<br />
⇔ x ≥ 0 , also ist d ≤ 4, 5 für alle x ≥ 0<br />
erfüllt. 4<br />
4<br />
Summe 18 18 4<br />
mögliche BE 40 erreichte BE:
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
Aufgabenteil<br />
Erwartete Leistung<br />
a) Bernoullikette der Länge n=10 <strong>mit</strong><br />
der Trefferwahrscheinlichkeit<br />
p=0,15. P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0)<br />
=<br />
1-B(10;0,15;0) = 1-0,85 10 = 0,8031 6<br />
b) Abkürzungen H: Handynutzer; x<br />
kein Handynutzer;<br />
Trefferwahrscheinlichkeit p.<br />
P(A)==p 2 (1-p) 8 4<br />
c) X liefert die Anzahl der<br />
telefonierenden Fahrzeuglenker. Es<br />
liegt eine Bernoullikette der Länge<br />
n=10 <strong>mit</strong> der unbekannten<br />
Trefferwahrscheinlichkeit p vor,<br />
wobei mindestens 1 Treffer <strong>mit</strong> 95%<br />
Wahrscheinlichkeit erzielt werden<br />
soll:<br />
P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0) = 0,95<br />
⎛10⎞<br />
0<br />
B (10; p;0)<br />
= 0,05 ⇒<br />
⎜ (1 − )<br />
0<br />
⎟ p p<br />
⎝ ⎠<br />
0,1<br />
⇒ p = 1 − 0,05<br />
≈ 0,259<br />
d) P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0) ≥ 0, 95<br />
n<br />
10<br />
= 0,05<br />
P(<br />
X = 0) = 1⋅<br />
0,15 ⋅ 0,85 = 0, 85<br />
0<br />
n<br />
BE in AB<br />
n<br />
log0,05<br />
1 − 0,85 ≥ 0,95 ; n ≥ ≈18,<br />
4<br />
log0,85<br />
Man muss wenigstens neunzehn<br />
Autos kontrollieren, um <strong>mit</strong><br />
mindestens 95% Wahrscheinlichkeit<br />
einen Fahrer <strong>mit</strong> Handy zu<br />
anzutreffen. 7<br />
e) X liefert die Anzahl der bei diesem<br />
Vorgehen kontrollierten Autos.<br />
E habe die Bedeutung, dass im 10.<br />
Auto ein telefonierender Fahrer sitzt<br />
oder im 10. Auto immer noch kein<br />
telefonierender Fahrer sitzt:<br />
P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9<br />
=0,85 9 =0,232 bei bekanntem p=0,15. 5<br />
Zwischensumme 10 17 0<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
5
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU<br />
f) Die ersten vier sind keine<br />
Handybenutzer, Ereignis F:<br />
P(F)=(1-p) 4 ;<br />
die nächsten sechs <strong>mit</strong> zwei<br />
Handybenutzern: Bernoullikette der<br />
Länge n=6 <strong>mit</strong> genau zwei Treffern<br />
⎛6⎞<br />
2 4<br />
B(6;p;2)=<br />
⎜ (1 p)<br />
2<br />
⎟ p − .<br />
⎝ ⎠<br />
So<strong>mit</strong> erhält man<br />
P(B)=P(F)B(6;p;2)<br />
g)<br />
2<br />
8<br />
Übertrag 10 17 0<br />
= 15 ⋅ p (1 − p)<br />
4<br />
Erfassen der Daten, z.B. <strong>mit</strong><br />
Baumdiagrammen:<br />
4<br />
⎛ P(<br />
H ∩ m)<br />
⎞ P(<br />
H ∩ m)<br />
P(<br />
H | m)<br />
=<br />
⎜<br />
=<br />
P(<br />
m)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ 0,75<br />
P ( H ∩ m)<br />
= 0,15 ⋅ 0,8 = 0,12<br />
⇒ P ( H | m)<br />
= 0,16<br />
5<br />
Summe 15 21 4<br />
mögliche BE 40 erreichte BE: