Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)

=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU 

/HLVWXQJVNXUV0DWKHPDWLN 

$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH 

6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW 

NAME: ………………………………………. 

Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und 

kommentieren Sie Ihre Lösungen. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden 

mitbewertet. 

Quader 

Vom Quader ABCDEFGH sind die folgenden Punkte gegeben: A(0|0|0), B(4|0|0), D(0|6|0) 

und E(0|0|5). 

a) Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte an. 

b) Die Ebene K enthalte die Punkte P(3|0|0), D und E. Geben Sie für die Ebene K eine 

Parametergleichung und eine Gleichung in Normalenform an. Zeichnen Sie die Ebene K 

in die vorbereitete Zeichnung ein. 

c) Prüfen Sie durch Rechnung, ob die dreiseitige Pyramide APDE mehr als 15 % des 

Quadervolumens enthält. 

d) Die Ebene L durch die Punkte A, F und H erfüllt die Koordinatengleichung 

L: 15x + 10y – 12z = 0. Das brauchen Sie nicht nachzuweisen. 

Berechnen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der Ebenen K und L. 

Zeichnen Sie die Ebene L und die Schnittgerade in die vorbereitete Zeichnung ein. 

Berechnen Sie die Länge des Abschnitts der Schnittgeraden g, der im Quader 

ABCDEFGH liegt. 

e) Die Ebene K wird um die Drehachse PD um einen Winkel von 90° gedreht, das 

Ergebnis sei die Ebene N. Geben Sie eine Ebenengleichung in Normalenform für die 

Ebene N an. 

Anlage: Arbeitsblatt 

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile 

Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe 

BE 3 9 4 19 5 40





NAME: ………………………………………. 

Quader 

Arbeitsblatt




 


NAME: ………………………………………. 




Gerade und Ebene 

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|1|3), 

B(3|3|3), C(0|4|7), P( - 1| - 1| - 5) und Q(2|5|10) gegeben. 

a) Die Punkte A, B und C bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck 

gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist. 

b) Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E und die Punkte P und Q auf der Geraden g. 

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für E und eine Parametergleichung für g. 

Ein mögliches Ergebnis für E ist: x – y + z = 3. 

c) Bestimmen Sie Schnittpunkt S und Schnittwinkel zwischen E und g. 

d) Stellen Sie den Sachverhalt (Dreieck, Gerade, Schnittpunkt, Schnittwinkel) im 

beigefügten Koordinatensystem übersichtlich dar. 

e) Prüfen Sie rechnerisch, ob sich der Schnittpunkt S innerhalb oder außerhalb des Dreiecks 

ABC befindet. 

(Sollte Ihnen die Bestimmung von S nicht gelungen sein, so prüfen Sie bitte ersatzweise, 

ob sich der Punkt T(0,5|3,5|6) innerhalb oder außerhalb des Dreiecks befindet.) 

f) Für jede reelle Zahl t beschreibt E t : t ⋅ x + ( t − 2) ⋅ y + z = 1 eine Ebene. Je zwei Ebenen 

haben ein und dieselbe Gerade gemeinsam. Ermitteln Sie für diese allen Ebenen 

gemeinsame Gerade eine Parametergleichung. 


Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe 

BE 4 7 7 6 11 5 40 

Anlage: Arbeitsblatt





NAME: ………………………………………. 

Gerade und Ebene 

Arbeitsblatt





NAME: ………………………………………. 




Aufgabe 3 - Pyramide in Raumecke 

Gegeben sind Ihnen die Punkte A(6 | 2 | 0) , B(8 | 6 | 0) , C(2 | 4 | 0) und S(7 | 4 | 8) . 

a) Die Punkte A, B und S legen eine Ebene E fest. Geben Sie eine Gleichung der Ebene 

in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung in Koordinaten- oder 

Normalenform. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene im 

Koordinatensystem. 

Zur Kontrolle: ein mögliches Ergebnis ist 2x − y = 10 . 

b) Die Punktmenge L λ ( 10 | 2 | λ ) mit λ ∈ R stellt eine Gerade g mit der 

⎛10⎞ 

⎛0⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Parametergleichung x r = ⎜ 2 ⎟ + λ ⋅ ⎜0⎟ 

dar. 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ 

Untersuchen Sie rechnerisch die Lage der Geraden g zur Ebene E. 

c) Durch die Punkte S und L 10 (10|2|10) verläuft eine Gerade h. Berechnen Sie die 

Schnittpunkte S xy und S yz dieser Geraden mit der x-y-Ebene und mit der y-z-Ebene. 

d) Betrachten Sie das beigefügte Arbeitsblatt. Die Punktmenge λ λ ∈ 0 ;10 soll 

eine Metallstange darstellen. Im Punkt L 10 befindet sich eine punktförmige 

Lichtquelle, die die Pyramide beleuchtet. 

Tragen Sie die Bezeichnungen für die Eckpunkte der Pyramide und L 10 ein. 

Berechnen Sie den Abstand der Lichtquelle von der Spitze der Pyramide und zeichnen 

Sie die Spitze des Schattens der Pyramide auf der „hinteren Raumwand“ (der y-z- 

Ebene) ein. 

L mit [ ] 

e) Zwischen den drei Befestigungspunkten H(0|0|10), I(12|0|8) und J(0|10|0) wird ein 

Seil im Dreieck aufgespannt. Ergänzen Sie die Zeichnung durch das Seildreieck und 

berechnen Sie den Abstand der Spitze S der Pyramide von der Ebene HIJ. 

f) Der Befestigungspunkt J(0|10|0) ist auf einer zur x-y-Ebene senkrechten Schiene 

befestigt und kann auf der Schiene nach oben verschoben werden. Die 

Seilkonstruktion soll durch ein dreieckiges Segeltuch ersetzt werden. Berechnen Sie, 

wohin der Punkt J verschoben werden muss, damit die Spitze der Pyramide das 

Segeltuch gerade noch berührt. (Es darf für die Rechnung vernachlässigt werden, dass 

das Segeltuch etwas durchhängen wird.) 

Anlage: Arbeitsblatt 


Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe 

BE 8 6 6 6 9 5 40




NAME: ……………………………………… 


Pyramide in Raumecke: Arbeitsblatt



$XIJDEH¥$QDO\VLV 


NAME: ………………………………………. 




Wurzelfunktion 

Gegeben ist eine Funktion f mit 

1 

f ( x) 

= x ⋅ 9 − x . 

3 

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an und bestimmen Sie die 

Nullstellen von f . Untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extremalpunkte und 

deren Art sowie auf Wendepunkte. Berechnen Sie die Koordinaten von genau vier 

weiteren, sinnvoll gewählten Punkten mit ganzzahligen Abszissen und zeichnen Sie den 

Graphen von f für x ≥ −2 

(1 LE = 1 cm). 

6 − x 

Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: f ’( 

x) 

= 

2 9 − x 

x −12 

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: f ’’( x) 

= 

4⋅(9 

− x) 

b) Nennen Sie die Definition von Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x 0 und 

untersuchen Sie damit die Funktion f an den beiden Stellen 0 und 9 auf 

Differenzierbarkeit. Erklären Sie, ob Ihre Ergebnisse in b) mit der Zeichnung in a) in 

Einklang stehen oder nicht. 

c) Der Graph von f und die x–Achse schließen ein Flächenstück ein. Bei Drehung dieses 

Flächenstücks um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen 

Volumen. 

d) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper aus Aufgabenteil c) vollständig in einer Kugel mit 

dem Durchmesser d = 9 enthalten ist. 

3 

2 


Aufgabenteil a) b) c) d) Summe 

BE 19 11 4 6 40



$XIJDEH¥6WRFKDVWLN 


NAME: ………………………………………. 


kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. 

Aufgabe 5 - Handy am Steuer 

Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während 

der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig von einander 

telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer 

telefoniert sei p. 

a) Bestimmen Sie zunächst für p=15 % die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 

vorbeifahrenden Autos mindestens ein Fahrer sein Handy benutzt. 

b) Bestimmen Sie nun allgemein in Abhängigkeit von p die Wahrscheinlichkeit P(A) für 

das Ereignis A, dass unter 10 vorbeifahrenden Autos nur das 3. und das 5. Auto von 

einer telefonierenden Person gelenkt wird. 

c) Ermitteln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden 

Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer 

telefonierenden Person gelenkt wird. 

d) Bestimmen Sie für p = 15 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen 

muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein 

Fahrer mit Handy angetroffen wird. 

e) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p=15 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos 

so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 10 Fahrzeuge. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 10 Fahrzeuge kontrolliert 

werden. 

f) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 10 Fahrzeugen die ersten vier Autos von 

keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 10 Fahrern 

genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde mit B benannt. 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p. 

g) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person am Steuer das Handy benutzt, ist 

P(H) = 15 %. Während einer Langzeitkontrolle wird beobachtet, dass von den Personen, 

die am Steuer telefonieren, 20 % weiblich sind. Bei 75 % aller Fahrzeuge sitzen Männer 

hinter dem Steuer. Eine zufällig kontrollierte Person am Steuer ist männlich. Bestimmen 

Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person telefoniert. 


Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) g) Summe 

BE 6 4 5 7 5 4 9 40



(UZDUWXQJVKRUL]RQW 

Ã 

1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH 

$XIJDEH4XDGHU 

Aufgabenteil 

Erwartete Leistung 

a) Angabe der Koordinaten der Punkte: 

C(4|6|0), F(4|0|5), G(4|6|5), H(0|6|5) 3 

b) 

Gleichung für K in Parameterform: 

K: 

⎛ 3⎞ ⎛ −3⎞ ⎛ −3⎞ 

r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

x = 0 + r ⋅ 6 + s ⋅ 

0 

⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Bestimmung eines Normalenvektors 

und Angabe einer Normalenform, z. B. 

⎛ ⎛ 3⎞⎞ 

⎛10⎞ 

⎜ r ⎜ ⎟⎟ 

⎜ ⎟ 

K: ⎜ x − 0 ⎟⋅ 5 = 0 . 

⎜ ⎜ 0⎟⎟ 

⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

⎝ ⎠ 

Zeichnung der Ebene K durch die 

Punkte D, E und P: 


BE in AFB 

Erbrachte Leistung 

I II III BE Begutachtung 

2 

5 

c) Quadervolumen: V = 120 

Pyramidenvolumen: V = 15; 

Anteil der Pyramide am Quader: 

12,5 % des Quadervolumens 4 

d) 

Parameterform der Ebene K in 

Gleichung von L einsetzen ergibt als 

Bedingung r = 7s – 3. 

Schnittgerade: 

g: 

⎛ 12 ⎞ ⎛ −24⎞ 

r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

x = − 18 + t 

42 

⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Schnittwinkel: ϕ ≈ 62,24° 3 

Zwischensumme 14 12 0 

2 

4 

3




 


$XIJDEH4XDGHU 

 

 

Noch 

d) 

Ergänzung der Zeichnung um L und g: 


Übertrag 14 12 0 Begutachtung 

e) 

Länge d des Geradenabschnitts im 

Quader ist gleich dem Abstand der 

Punkte Y(0|3|2,5) und X( 12 7 |0| 15 7 ) 3 

d ≈ 3,47 2 

Erkennen, dass der Vektor PD r und 

der Normalenvektor von K 

Richtungsvektoren der Ebene N sind, 

daraus einen Normalenvektor 

bestimmen, z.B. 

⎛ 12 ⎞ 

r ⎜ ⎟ 

n = 6 

⎜ −25⎟ 

⎝ ⎠ 

Angabe einer Ebenengleichung in 

Normalenform 5 

4 

Summe 16 19 5 

mögliche BE 40 erreichte BE: 

Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den 

Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA-3 bis zur Probeklausur 

berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.






$XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH 

Aufgabenteil 

 


a) Vektoren für Dreiecksseiten aufstellen, 

Längen berechnen; Ergebnis: 

AB = 8 , BC = AC = 26 4 

b) 

c) 

Koordinatengleichung über eine 

Parametergleichung, z. B. 

⎛1⎞ 

⎛2⎞ 

⎛−1⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

E : x 

r = ⎜1⎟ 

+ λ⎜2⎟ 

+ µ ⎜ 3 ⎟ ; 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝3⎠ 

⎝0⎠ 

⎝ 4 ⎠ 

Koordinatenform z.B. 

E : x − y + z = 3 

5 

Geradengleichung. in Parameterform; 

⎛−1 

⎞ ⎛1 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Ergebnis z.B. g : x 

r 2 

= ⎜−1 

⎟ + m⎜2⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝− 

5⎠ 

⎝5⎠ 

Schnittpunkt. durch Einsetzen in die 

Koordinatengleichung; 

Ergebnis: S(1|3|5) 

Schnittwinkel über die Formel 

r r 

a ⋅n 

sin(α ) = r r ; 

a ⋅ n 

Ergebnis: α ≈ 25° 

BE in AFB 




3 

4




 



Ã 

Übertrag 14 4 0 

d) Zeichnerische Darstellung des 

Dreiecks, der Geraden g durch die 

Punkte P und Q und des 

Schnittpunktes S 


6 

e) 

Idee entwickeln: wo schneidet Gerade 

durch Dreieckseckpunkt und 

Schnittpunkt die gegenüberliegende 

Seite? 

⎛0⎞ 

⎛1 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Z.B. von C aus: x r = ⎜4⎟ 

+ q⎜−1 

⎟ ; 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝7⎠ 

⎝− 

2⎠ 

liefert für q=1 den Punkt S 

Schnitt mit AB liefert q=2; Folgerung: 

S liegt innerhalb des Dreiecks 


5 

6




 



 

f) Ansatz mit zwei Ebenengleichungen 

für t 1 und t 2, ; Gleichsetzen und Wählen 

eines „freien“ Parameters, z.B. x=n, 

liefert y=-n und z=1-2n, 

Geradengleichung z.B.: 

⎛0⎞ 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

x r = ⎜0⎟ 

+ n⎜ 

−1⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝1 

⎠ ⎝− 

2⎠ 



5 

Summe 14 21 5 










$XIJDEH3\UDPLGHLQ5DXPHFNH 

 

Aufgabenteil 


a) Aufstellen einer Ebenengleichung für 

die Ebene durch A, B und S in 

Parameterform, z. B. 

⎛6⎞ 

⎛2⎞ 

⎛1⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

E : x 

r = ⎜2⎟ 

+ λ⎜4⎟ 

+ µ ⎜2⎟ 

. 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝0⎠ 

⎝0⎠ 

⎝8⎠ 

Bestimmen einer Koordinatenform 

oder einer Normalenform, z. B. 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ ⎟ r 

E : ⎜ −1⎟⋅ 

x −10 

= 0 . 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Angabe, dass die Ebene parallel zur z- 

Achse liegt. 8 

b) Einsetzen der Koordinaten der 

Punktmenge in die Koordinatenform 

der Ebene oder des Geradenterms in 

die Normalenform 

Feststellung, dass g || E mit 

g ⊄ E . 6 

c) Aufstellen der Parameterform für die 

Grade durch S und L 10 , z. B. 

⎛7⎞ 

⎛ 3 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

h : x 

r = ⎜4⎟ 

+ t⎜− 

2⎟ 

. 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝8⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

BE in AFB 

Berechnung von S 

yz 

(0 | 26 / 3|10 / 3) 

und von S 

xy( − 5 |12 | 0) . 6 

d) Benennung von 

L 10 und der 

Pyramidenpunkte 

A, B, C und S: 




2






$XIJDEH3\UDPLGHLQ5DXPHFNH 

 

e) 


Abstand d = 17 ≈ 4, 1 

2 

Einzeichnen des 

Schattens der 

Spitze auf der 

Rückwand; 

z. B. unter 

Verwendung von 

S (0 | 26 | 10) 

. 

yz 

3 

3 

Einzeichnen des Seildreiecks: 

2 

Berechnung eines Normalenvektors 

der Ebene durch die Punkte H,I und J, 

⎛1⎞ 

⎜ ⎟ 

z.B. n r = ⎜6⎟ 

, Berechnung des Abstands 

⎜ ⎟ 

⎝6⎠ 

d = 19 / 73 ≈ 2,22 ( LE) 

. 7 

f) Aufstellen einer Gleichung der 

Ebenenschar durch H, I und J k , 

z.B. in Koordinatenform: 

20·x + 12·y·(10 – k) + 120·z = 1200, 

Ermittlung der z-Koordinate z. B. 

durch eine Punktprobe von S in die 

Koordinatenform: z = 95 ≈ 7, 9 

12 

2 

5 

Summe 16 19 5 










$XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ 

 

Aufgabenteil 

a) 


Angabe des Definitionsbereiches 

D f = { x ∈ R x ≤ 9 } 

1 

Nennen der (notwendigen und 

hinreichenden) Bedingung für 

Nullstellen f ( x) 

= 0 und Berechnung 

der Nullstellen 0 und 9 2 

Nennen von Bedingungen für lokale 

Extrema, Berechnung der 1. Ableitung 

und Verwenden der notwendigen 

Bedingung: f ’( 

x) 

= 0 ⇔ x = 6 4 

1 

Berechnung von f ’’(6) 

= − und 

2 3 

Folgerung (aus f ’(6) 

= 0 ∧ f ’’(6) < 0 ), 

dass 6 relative Maximalstelle ist, sowie 

Angabe von H ( 6 | 2 3 ) 

3 

BE in AFB 

Nennen der notwendigen Bedingung 

für Wendestellen; Feststellung, dass 

f ’’( 

x) 

= 0 keine Lösung besitzt, da 

12 ∉ D f ’’ oder 12 ∉ D f gilt, und darum 

keine Wendestelle existieren kann. 2 

Sinnvoll sind nur ( 2 

2 

1 − − 3 

11) 

P ( 2 

2 

2 3 

7 ) und ( 4 

4 

3 3 

5 ) 

P ( 7 

7 

4 3 

2 ) oder ( 

8 

4 ) 8 

Zeichnung des Graphen 

P , 

P sowie 

P 3 

. 3 



 


4





1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH$XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ 

b) 

c) 

d) 


Definition für Differenzierbarkeit an 

einer Stelle, Bestimmung von 

1 

9 0 

lim 3 x ⋅ − x − 

= 1 und Feststellung, 

x→0 

x − 0 

dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist 4 

Untersuchung von 

1 

3 

1 9 0 

lim 3 x − x − 

, 

− 

x→9 x − 9 

x 9 − x x 9 − x x 

= = , 

x − 9 − 3(9 − x) 

− 3 9 − x 

x 

Feststellung, dass → −∞ für 

− 3 9 − x 

− 

→ 9 

x gilt und f an der Stelle 9 nicht 

differenzierbar ist 4 

Reflexion, ob Tangentensteigung im 

Koordinatenursprung den Wert 1 hat 

und ob der gezeichnete Graph im 

Punkt N (9 | 0) 

eine senkrechte 

Tangente zulässt. 3 

V = 

9 

π ⋅ ∫ 

0 

V = π ⋅ 

3 

f 

2 

9 

1 

9 

0 

π ⋅∫ 

( x) 

dx = x (9 − x) 

dx 

[ 

1 3 1 4 

x − x ] 

36 

243 

V = π ( VE) 

, V ≈ 191( 

VE) 

4 

9 

0 

Mögliche Idee: für 0 ≤ x ≤ 9 muss der 

Graph von f vollständig auf oder 

innerhalb eines Halbreises (oder 

Kreises) mit Radius r = 4, 5 um den 

Mittelpunkt M ( 4,5 | 0 ) verlaufen, d.h. 

jeder Punkt des Graphen von f hat zu 

M ( 4,5 | 0 ) einen Abstand d ≤ 4, 5 . 2 

Mögliche rechnerische Lösung: 

2 

d = x 

3 

1 3 2 2 

9 

≥ 

2 

( x − 4,5) + ( 

1 

x 9 − ) ≤ 4, 5 

ergibt x − x + 9x 

0 (für x ≤ 9 ) 

⇔ x ⋅ 

⇔ x ⋅ 

( ) 1 2 

x − 2x 

+ 9 ≥ 0 

9 

( x − 9) 2 ≥ 0 

2 

⇔ x ≥ 0 , also ist d ≤ 4, 5 für alle x ≥ 0 

erfüllt. 4 

4 

Summe 18 18 4 

mögliche BE 40 erreichte BE:




 


$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU 


Aufgabenteil 


a) Bernoullikette der Länge n=10 mit 

der Trefferwahrscheinlichkeit 

p=0,15. P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) 

= 

1-B(10;0,15;0) = 1-0,85 10 = 0,8031 6 

b) Abkürzungen H: Handynutzer; x 

kein Handynutzer; 

Trefferwahrscheinlichkeit p. 

P(A)==p 2 (1-p) 8 4 

c) X liefert die Anzahl der 

telefonierenden Fahrzeuglenker. Es 

liegt eine Bernoullikette der Länge 

n=10 mit der unbekannten 

Trefferwahrscheinlichkeit p vor, 

wobei mindestens 1 Treffer mit 95% 

Wahrscheinlichkeit erzielt werden 

soll: 

P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) = 0,95 

⎛10⎞ 

0 

B (10; p;0) 

= 0,05 ⇒ 

⎜ (1 − ) 

0 

⎟ p p 

⎝ ⎠ 

0,1 

⇒ p = 1 − 0,05 

≈ 0,259 

d) P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) ≥ 0, 95 

n 

10 

= 0,05 

P( 

X = 0) = 1⋅ 

0,15 ⋅ 0,85 = 0, 85 

0 

n 

BE in AB 

n 

log0,05 

1 − 0,85 ≥ 0,95 ; n ≥ ≈18, 

4 

log0,85 

Man muss wenigstens neunzehn 

Autos kontrollieren, um mit 

mindestens 95% Wahrscheinlichkeit 

einen Fahrer mit Handy zu 

anzutreffen. 7 

e) X liefert die Anzahl der bei diesem 

Vorgehen kontrollierten Autos. 

E habe die Bedeutung, dass im 10. 

Auto ein telefonierender Fahrer sitzt 

oder im 10. Auto immer noch kein 

telefonierender Fahrer sitzt: 

P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9 

=0,85 9 =0,232 bei bekanntem p=0,15. 5 




5






$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU 

f) Die ersten vier sind keine 

Handybenutzer, Ereignis F: 

P(F)=(1-p) 4 ; 

die nächsten sechs mit zwei 

Handybenutzern: Bernoullikette der 

Länge n=6 mit genau zwei Treffern 

⎛6⎞ 

2 4 

B(6;p;2)= 

⎜ (1 p) 

2 

⎟ p − . 

⎝ ⎠ 

Somit erhält man 

P(B)=P(F)B(6;p;2) 

g) 

2 

8 


= 15 ⋅ p (1 − p) 

4 

Erfassen der Daten, z.B. mit 

Baumdiagrammen: 

4 

⎛ P( 

H ∩ m) 

⎞ P( 

H ∩ m) 

P( 

H | m) 

= 

⎜ 

= 

P( 

m) 

⎟ 

⎝ ⎠ 0,75 

P ( H ∩ m) 

= 0,15 ⋅ 0,8 = 0,12 

⇒ P ( H | m) 

= 0,16 

5 

Summe 15 21 4 

mögliche BE 40 erreichte BE:

Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)

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