Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)

=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU 

*UXQGNXUV0DWKHPDWLN 

$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH 

6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW 

NAME: ………………………………………. 

Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und 

kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. 

Straßentunnel 

Um eine alte, unfallträchtige Straße über einen Alpenpass zu entlasten, wird ein Tunnel für 

eine neue Straße durch ein Bergmassiv gebohrt. 

Eine erste Bohrung I für einen Teil des neuen Tunnels führt geradlinig vom Punkt 

A 1 (2|40|100) zum Punkt A 2 (7|50|101). 

Einer Einheit im Koordinatensystem entsprechen 10 m im Gelände. Geben Sie Ihre 

Ergebnisse (durch Näherungswerte) auf einen Meter genau an. 

Die x-y-Ebene entspricht der Erdoberfläche auf Meereshöhe. 

a) Stellen Sie die Geradengleichung für die Bohrung I durch A 1 und A 2 auf. Berechnen 

Sie, wie lange die Bohrung von A 1 nach A 2 dauert, wenn die Bohrung pro Tag um 2 m 

vorangetrieben wird. 

b) Zeitgleich wird eine Bohrung II von B 1 (75|90|117) nach B 2 (65|70|115) durchgeführt. 

Weisen Sie nach, dass die Bohrungen I und II sich auch bei Verlängerung nicht treffen 

können. Bestimmen Sie, wie viele Meter bei Bohrung II pro Tag geschafft werden 

müssen, damit beide Bohrungen (von A 1 bis A 2 bzw. von B 1 nach B 2 ) gleich lange 

dauern. 

c) Bohrung I wird über A 2 hinaus bis zur doppelten Länge fortgeführt. Berechnen Sie den 

neuen Endpunkt A 3 . Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: A 3 (12|60|102) 

d) Im Punkt A 3 trifft die Bohrung I auf eine sehr harte Gesteinsschicht. Deshalb wird von 

⎛ 19 ⎞ 

r 

A 3 weiter in Richtung v = ⎜ −10⎟ 

gebohrt. Prüfen Sie, ob die Fortführung dieser Bohrung 

⎜ 

⎝ 5 ⎟ 

⎠ 

die Bohrlinie der Bohrung II, also die Gerade durch B 1 und B 2 , trifft und berechnen Sie 

gegebenenfalls den Schnittpunkt B 3 . 

e) Ermitteln Sie Zahlen λ , µ und ν derart, dass gilt: A B 

→ → → → 

1 1 = ⋅ A1 

A2 

+ µ ⋅ A3 

B3 

+ 

r 

ν ⋅ B1B2 

A B 

λ . 

r r 

Prüfen Sie, ob der Vektor A1B1 

auf diese Art auch allein durch A1A 2 

und 

3 3 

ausgedrückt werden kann, und geben Sie – falls möglich – diese Darstellung an. Diese 

Darstellungen können aus den bisherigen Ergebnissen ohne große Rechnung hergeleitet 

werden. 

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile 

Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe 

BE 7 13 2 9 4 35



$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH 

 


NAME: ………………………………………. 



Seenot 

Auf einer Segelyacht wird eine Person bewusstlos. Der Schiffsführer setzt sofort einen Notruf 

ab. Dieser Notruf erreicht eine Küstenfunkstelle sowie einen Fischkutter im näheren Umkreis 

der Segelyacht. 

Von der Küstenfunkstelle läuft daraufhin unmittelbar ein Seenotrettungskreuzer aus. Der 

Kutter nimmt ebenfalls Kurs auf die gemeldete Unglücksstelle. 

a) Die Segelyacht meldet beim Notruf die Koordinaten (11|19|0). Die Koordinaten der 

Küstenfunkstelle sind (3|5|0). Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der sich der 

Rettungskreuzer bewegen muss. 

b) Der Rettungskreuzer läuft konstant mit 22 Knoten, das sind 40 km/h. Bestimmen Sie die 

Zeit (auf ganze Minuten gerundet), nach der er die Segelyacht erreicht. 

(1 Längeneinheit im Koordinatensystem entspreche 1 km in der Wirklichkeit.) 

Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: 

t ≈ 24 min 

⎛ 8⎞ 

⎛ 1⎞ 

r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

c) Die Kurslinie des Kutters entspricht der Geraden x = ⎜31⎟ 

+ n ⋅ ⎜− 

4⎟ 

, n∈R 

. 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 0⎠ 

⎝ 0⎠ 

Prüfen Sie, ob der Kutter auf diesem Kurs die gemeldete Position der Segelyacht trifft und 

berechnen Sie gegebenenfalls die Größe des Winkels, unter dem der Kutter auf den 

Seenotrettungskreuzer treffen würde. 

d) Fertigen Sie eine Zeichnung nur in der x-y-Ebene an, die den Sachverhalt vollständig 

darstellt (Winkel, alle genannten Positionen sowie sinnvolle Darstellungen der 

Richtungsvektoren). Wählen Sie für die Längeneinheit: 1 LE = 0,5 cm. 

e) Der Rettungskreuzer erreicht die gemeldete Unglücksstelle als erster. Leider ist die 

Segelyacht mittlerweile durch eine Strömung abgetrieben worden. Die Strömung setzte 

genau rechtwinklig zur Kurslinie des Rettungskreuzers mit 4 km/h ein, und zwar aus 

Blickrichtung der Besatzung des Rettungskreuzers nach steuerbord, das ist der 

seemännische Ausdruck für „in Kursrichtung rechts“. Bestimmen Sie rechnerisch eine 

vektorielle Gleichung für die Gerade, auf der die Segelyacht abgetrieben wurde. Geben 

Sie auch eine Geradengleichung an, in der für den Richtungsvektor r gilt: r = 1. 

f) Berechnen Sie die neue Position der Yacht. 


Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe 

BE 3 6 7 6 9 4 35



$XIJDEH¥$QDO\VLV 


NAME: ………………………………………. 



Aufgabe 3 - Exponentialfunktion 

Die für alle reellen Zahlen definierte Funktion f mit 

1 

− x 

f ( x) 

(2x 

+ 4) ⋅ e 2 

werden im Folgenden auf charakteristische Eigenschaften untersucht. 

= und ihr Graph G f 

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie G f 

auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte; geben Sie exakte Werte 

an. 

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: 

b) Untersuchen Sie 

mit ≥10 

1 

− x 

lim (2x 4) ⋅ e 2 

x→+∞ 

1 

1 

− x 

f ’’( x) 

= ⋅ ( x − 2) ⋅ e 2 . 

2 

+ mit Hilfe von mindestens zwei Probeeinsetzungen 

x und nennen Sie Ihre Vermutung für diesen Grenzwert. 

c) Zeichnen Sie den Graphen G f für − 2 ,5 < x < 8 nur aufgrund Ihrer bisherigen Ergebnisse. 

Koordinatensystem: 1 LE = 1 cm . 

d) Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche im 2. Quadranten, die von der x-Achse, der y- 

Achse und dem Graphen G eingeschlossen wird. 

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass mit 

Stammfunktion von f gegeben ist. 

f 

1 

− x 

F( 

x) 

( −4x 

−16) 

⋅ e 2 

= eine 

e) Ihre in c) gezeichnete Kurve wird nun für x ≥ 0 als das seitliche Profil einer Rodelbahn 

betrachtet. Im höchsten Punkt H (0 | 4) 

startet ein Rodler und gewinnt mit stärker 

werdendem Gefälle an Fahrt. In einem Punkt ist das Gefälle maximal. Geben Sie zunächst 

diesen Punkt und das Gefälle dort an. Bestimmen Sie sodann den später vom Rodler 

erreichten Punkt P 20% ( x | y) 

, an dem das Gefälle auf 20 % des maximalen Gefälles 

abgenommen hat. 

 

Hilfe zu Teil e): Verwenden Sie in Ihrer Rechnung, dass 20 % in guter Näherung durch 

4 

den Faktor ersetzt werden kann. 

3 

e 



BE 19 3 5 3 5 35



$XIJDEH¥6WRFKDVWLN 


NAME: ………………………………………. 



Aufgabe 4 - Handy am Steuer 

Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während 

der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig voneinander 

telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer 

telefoniert, sei p. 

a) Bestimmen Sie für p = 15 % die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass unter 10 

vorbeifahrenden Autos 

- kein Fahrer, 

- genau ein Fahrer bzw. 

- mindestens ein Fahrer 

sein Handy benutzt. 

b) Ermitteln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden 

Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer 

telefonierenden Person gelenkt wird. 

c) Berechnen Sie für p = 15 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen muss, 

damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein Fahrer 

beim Telefonieren beobachtet wird. 

d) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p = 15 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos 

so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 10 Fahrzeuge. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 10 Fahrzeuge kontrolliert 

werden müssen. 

e) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 10 Fahrzeugen die ersten vier Autos von 

keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 10 Fahrern 

genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde mit B benannt. 

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p. 



BE 12 6 8 5 4 35



(UZDUWXQJVKRUL]RQW 


1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH 

$XIJDEH6WUD‰HQWXQQHO 

Aufgabenteil 

Erwartete Leistung 

BE in AFB 

Erbrachte Leistung 

I II III BE Begutachtung 

a) Geradengleichung der Gerade A 1 A 2 

g 1 : 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 

r 

x = ⎜ 40 ⎟ + r ⋅⎜10⎟ 

⎜ 

⎝100⎟ ⎠ 

⎜ 

⎝ 1 ⎟ 

⎠ 

Abstand d(A 1 ,A 2 ) = 126 ≈ 11,225 

Das entspricht ca. der Länge 112 m, 

die Bohrung dauert 56 Tage 

2 

3 

2 

b) Geradengleichung der Gerade B 1 B 2 

g 2 : 

⎛ 75 ⎞ ⎛ −10⎞ 

r 

x = ⎜ 90 ⎟ + s⋅⎜ −20⎟ 

⎜ 

⎝117 ⎟ 

⎠ 

⎜ 

⎝ −2 

⎟ 

⎠ 

Die Richtungsvektoren sind parallel 

Punktprobe oder Identitätsprüfung 

führt auf einen Widerspruch 

Folgerung: Geraden sind echt parallel 

Abstand d(B 1 ,B 2 ) = 504 ≈ 22, 4499 

Das entspricht ca. 224 m Tunnellänge; 

bei 56 Tagen Bohrung müssen 4 m pro 

Tag geschafft werden 

c) In g 1 wird r = 2 gesetzt: A 3 (12|60|102) 2 

d) Geradengleichung durch A 3 

e) 

g 3 : 

⎛ 12 ⎞ ⎛ 19 ⎞ 

r 

x = ⎜ 60 ⎟ + t ⋅⎜ −10⎟ 

⎜ 

⎝102⎟ ⎠ 

⎜ 

⎝ 5 ⎟ 

⎠ 

LGS lösen: s = 2,5 und t = 2 

Schnittpunkt mit g 2 ist B 3 (50|40|112) 

r r r r 

r r r 

A B = 2A A + A B − 2,5B B 

1 1 1 2 3 3 1 2 

A B = 7A A + A B 

1 1 1 2 3 3 

2 

3 

2 

5 

3 

6 

1 

4 

Summe 12 19 4 

mögliche BE 35 erreichte BE: 

Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den 

Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur 

berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.






$XIJDEH6HHQRW 

Aufgabenteil 


a) Geradengleichung durch 2 Punkte, z.B. 

⎛ 3⎞ 

⎛ 8⎞ 

r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

x = ⎜5⎟ 

+ m⎜14⎟ 

, m ∈ R 

3 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝0⎠ 

⎝ 0⎠ 

b) 

c) 

Abstandsbestimmung für 2 Punkte, 

Ergebnis: d = 260 ≈ 16, 1 

Streckenlänge: ca. 16,1 km 

d 

t = ≈ 0,403 

h ≈ 24 min 

v 

Ortsvektor für (11|19|0) einsetzen, 

Ergebnis: Der Punkt liegt auf der 

Kurslinie des Kutters. 

Der Kutter würde unter einem Winkel 

von ca. 136° auf den 

Seenotrettungskreuzer treffen. 

d) Zeichnung 

BE in AFB 



2 

2 

5 

4 

6 

Zwischensumme 12 10 0





 


$XIJDEH6HHQRW 

e) 

Übertrag 12 10 0 

Bestimmung eines orthogonalen 

Vektors unter Beachtung der 

Bedingung z = 0, 

⎛− 7⎞ 

⎛ 7 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Ergebnis z.B.: ⎜ 4 ⎟ oder ⎜− 

4⎟ 

. 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎜ ⎟ 

⎠ ⎝ 0 ⎠ 

Angabe einer Geradengleichung, z. B.: 

⎛11⎞ 

⎛− 7⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

x r = ⎜19⎟ 

+ a ⋅ ⎜ 4 ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 

1 

Geradengleichung mit normiertem 

Richtungsvektor: 

⎛11⎞ 

⎞ 

⎜ 

⎛− 7 / 65 

⎜ ⎟ 

⎟ 

x r 3 

= ⎜19⎟ 

+ a ⋅ ⎜ 4 / 65 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ 0 

⎝ ⎠ 

f) Berechnung der neuen Position mit der 

Zeit t ≈ 24 min (aus b): 

(12,4|18,2|0) 4 

5 

Summe 13 18 4 

mögliche BE 35 erreichte BE: 

Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den 

Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur 

berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.




 


$XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ 

 

Aufgabenteil 

 

D 


Berechnung von f ( 0) = 4 und Angabe 

von S (0 | 4) 

, Nennen der Bedingung 

y 

f ( x) 

= 0 

für Nullstellen, Lösen der 

Gleichung 

− 

0 = (2x 

+ 4) ⋅ e 2 

1 

1 

− x 

x 

⇔ x = −2 

, 


BE in AFB 



 

Aussage zu e 

2 

≠ 0 für alle reellen 

Zahlen und Angabe von S x (−2 | 0) 

. 

Nennen einer hinreichenden 

Bedingung für lokale Extrema, z. B. 

f ’( 

x) 

= 0 ∧ f ’’( x) 

≠ 0 , Berechnung 

− 

von f ’( x) 

= −x 

⋅ e 2 , Verwenden der 

notwendigen Bedingung f ’( 

x) 

= 0 , 

1 

x 

− 

1 

x 

Lösen von 0 = −x 

⋅ e 

2 

⇔ x = 0 . 

Berechnung von f ’’(0) 

= −1< 

0 und 

Aussage, dass 0 eine relative 

Maximalstelle ist sowie Angabe von 

H (0 |4) . 

Nennen einer hinreichenden 

Bedingung für Wendestellen, z. B. 

f ’’( 

x) 

= 0 ∧ f ’’’( x) 

≠ 0 , Verwenden 

der notwendigen Bedingung 

f ’’( 

x) 

= 0 , Lösen von 

1 − 

1 

0 = ( x − 2) ⋅ e 2 ⇔ x = 2 und 

2 

Berechnen von 

1 − 

1 

x 

f ’’’( x) 

= (1 − x) 

⋅ e 2 . 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zwischensumme 11 5 0





$XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ 

 

Noch 

a) 

Berechnung von f ’’’(2) = ⋅ e 0 


1 −1 

≠ 

2 

und Aussage, dass 2 eine Wendestelle 

ist; exakte Berechnung von f (2) 

und 

Angabe von W 2 | ) . 

( 8 

e 

b) Wertetabelle mit mindestens zwei 

Wertepaaren und Angabe 

von lim (2x + 4) ⋅ e 

2 

= 0 . 

x→+∞ 

c) Zeichnung 

d) 

e) 

Ansatz 

0 

− 

1 

x 

A = ( 2x 

+ 4) ⋅ e 2 dx 

∫ 

−2 

und Berechnung von 

1 

⎡ 

− x ⎤ 

A = ( 4 16) 

2 

⎢ − x − ⋅ e ⎥ , 

⎣ 

⎦ 

− 

1 

x 

0 

−2 

5,75 ( FE 

A = −16 + 8e , ) 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ≈ 

Angabe von W 2 | ) und Berechnung 

( 8 

e 

des Gefälles im Wendepunkt durch 

f ’(2) 

= − 2 

. 

e 

Ansatz für das Gefälle im Punkt 

2 2 4 

P 20% : f ’( x) 

= − ⋅ 0,2 = − ⋅ ; 

e e 3 

e 

Aufstellen der Gleichung 

− x ⋅ e 

− 1 x 

2 

= − 

8 

4 

e 

und Angabe der 

Lösung (ohne Rechnung) sowie des 

Punkten P (8 | 20 ⋅ e ) bzw. 

20% 

−4 

 

 

P 20% (8 | 0,4) . 

Summe 14 18 3 

 

 

 

 

 

 

mögliche BE 35 erreichte BE:






$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU 

Aufgabenteil 

a) 


Bernoullikette der Länge n=10 mit 

der Trefferwahrscheinlichkeit 

p=0,15. 

P(X=0)= B(10;0,15;0)=0,85 10 = 

0,197 

P(X=1)=B(10;0,15;1)=0,347 

BE in AB 



4 

P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) = 

1-B(10;0,15;0)=1-0,85 10 =0,8031 

4 

b) X liefert die Anzahl der 

telefonierenden Fahrzeuglenker. Es 

liegt eine Bernoullikette der Länge 

n=10 mit der unbekannten 

Trefferwahrscheinlichkeit p vor, 

wobei mindestens 1 Treffer mit 95% 

Wahrscheinlichkeit erzielt werden 

soll: 

P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) = 0,95 

⎛10⎞ 

0 

B (10; p;0) 

= 0,05 ⇒ 

⎜ (1 − ) 

0 

⎟ p p 

⎝ ⎠ 

0,1 

⇒ p = 1 − 0,05 

≈ 0,259 

c) P ( X ≥1) 

= 1 − P( 

X = 0) ≥ 0, 95 

0 

n 

10 

= 0,05 

P( 

X = 0) = 1⋅ 

0,15 ⋅ 0,85 = 0, 85 

n log0,05 

1 − 0,85 ≥ 0,95 ; n ≥ ≈18, 

4 

log0,85 

Man muss wenigstens neunzehn 

Autos kontrollieren, um mit 

mindestens 95% Wahrscheinlichkeit 

einen Fahrer mit Handy zu finden. 8 

n 

Zwischensumme 12 14 0 

4 

6






$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU 


d) X liefert die Anzahl der bei diesem 

Vorgehen kontrollierten Autos. 

E habe die Bedeutung, dass im 10. 

Auto ein telefonierender Fahrer sitzt 

oder im 10. Auto immer noch kein 

telefonierender Fahrer sitzt: 

P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9 

=0,85 9 =0,232 bei bekanntem p=0,15. 5 

e) Die ersten vier sind keine 

Handybenutzer, Ereignis F: 

P(F) = (1-p) 4 ; 

bei den nächsten sechs sind zwei 

Handybenutzern dabei: 

Bernoullikette der Länge n=6 mit 

genau zwei Treffern 

⎛6⎞ 

2 4 

B(6;p;2)= 

⎜ (1 p) 

2 

⎟ p − . Somit 

⎝ ⎠ 

erhält man 

P(B)=P(F)B(6;p;2) 

2 

8 

= 15 ⋅ p (1 − p) 

4 

Summe 12 19 4 

mögliche BE 35 erreichte BE:

Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)

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