Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
Probeaufgaben mit Lösungen (WTR)
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=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Die Qualität der textlichen Begleitung wird <strong>mit</strong>bewertet.<br />
Straßentunnel<br />
Um eine alte, unfallträchtige Straße über einen Alpenpass zu entlasten, wird ein Tunnel für<br />
eine neue Straße durch ein Bergmassiv gebohrt.<br />
Eine erste Bohrung I für einen Teil des neuen Tunnels führt geradlinig vom Punkt<br />
A 1 (2|40|100) zum Punkt A 2 (7|50|101).<br />
Einer Einheit im Koordinatensystem entsprechen 10 m im Gelände. Geben Sie Ihre<br />
Ergebnisse (durch Näherungswerte) auf einen Meter genau an.<br />
Die x-y-Ebene entspricht der Erdoberfläche auf Meereshöhe.<br />
a) Stellen Sie die Geradengleichung für die Bohrung I durch A 1 und A 2 auf. Berechnen<br />
Sie, wie lange die Bohrung von A 1 nach A 2 dauert, wenn die Bohrung pro Tag um 2 m<br />
vorangetrieben wird.<br />
b) Zeitgleich wird eine Bohrung II von B 1 (75|90|117) nach B 2 (65|70|115) durchgeführt.<br />
Weisen Sie nach, dass die Bohrungen I und II sich auch bei Verlängerung nicht treffen<br />
können. Bestimmen Sie, wie viele Meter bei Bohrung II pro Tag geschafft werden<br />
müssen, da<strong>mit</strong> beide Bohrungen (von A 1 bis A 2 bzw. von B 1 nach B 2 ) gleich lange<br />
dauern.<br />
c) Bohrung I wird über A 2 hinaus bis zur doppelten Länge fortgeführt. Berechnen Sie den<br />
neuen Endpunkt A 3 . Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: A 3 (12|60|102)<br />
d) Im Punkt A 3 trifft die Bohrung I auf eine sehr harte Gesteinsschicht. Deshalb wird von<br />
⎛ 19 ⎞<br />
r<br />
A 3 weiter in Richtung v = ⎜ −10⎟<br />
gebohrt. Prüfen Sie, ob die Fortführung dieser Bohrung<br />
⎜<br />
⎝ 5 ⎟<br />
⎠<br />
die Bohrlinie der Bohrung II, also die Gerade durch B 1 und B 2 , trifft und berechnen Sie<br />
gegebenenfalls den Schnittpunkt B 3 .<br />
e) Er<strong>mit</strong>teln Sie Zahlen λ , µ und ν derart, dass gilt: A B<br />
→ → → →<br />
1 1 = ⋅ A1<br />
A2<br />
+ µ ⋅ A3<br />
B3<br />
+<br />
r<br />
ν ⋅ B1B2<br />
A B<br />
λ .<br />
r r<br />
Prüfen Sie, ob der Vektor A1B1<br />
auf diese Art auch allein durch A1A 2<br />
und<br />
3 3<br />
ausgedrückt werden kann, und geben Sie – falls möglich – diese Darstellung an. Diese<br />
Darstellungen können aus den bisherigen Ergebnissen ohne große Rechnung hergeleitet<br />
werden.<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe<br />
BE 7 13 2 9 4 35
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\WLVFKH*HRPHWULH<br />
<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Die Qualität der textlichen Begleitung wird <strong>mit</strong>bewertet.<br />
Seenot<br />
Auf einer Segelyacht wird eine Person bewusstlos. Der Schiffsführer setzt sofort einen Notruf<br />
ab. Dieser Notruf erreicht eine Küstenfunkstelle sowie einen Fischkutter im näheren Umkreis<br />
der Segelyacht.<br />
Von der Küstenfunkstelle läuft daraufhin un<strong>mit</strong>telbar ein Seenotrettungskreuzer aus. Der<br />
Kutter nimmt ebenfalls Kurs auf die gemeldete Unglücksstelle.<br />
a) Die Segelyacht meldet beim Notruf die Koordinaten (11|19|0). Die Koordinaten der<br />
Küstenfunkstelle sind (3|5|0). Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der sich der<br />
Rettungskreuzer bewegen muss.<br />
b) Der Rettungskreuzer läuft konstant <strong>mit</strong> 22 Knoten, das sind 40 km/h. Bestimmen Sie die<br />
Zeit (auf ganze Minuten gerundet), nach der er die Segelyacht erreicht.<br />
(1 Längeneinheit im Koordinatensystem entspreche 1 km in der Wirklichkeit.)<br />
Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung:<br />
t ≈ 24 min<br />
⎛ 8⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
c) Die Kurslinie des Kutters entspricht der Geraden x = ⎜31⎟<br />
+ n ⋅ ⎜−<br />
4⎟<br />
, n∈R<br />
.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0⎠<br />
⎝ 0⎠<br />
Prüfen Sie, ob der Kutter auf diesem Kurs die gemeldete Position der Segelyacht trifft und<br />
berechnen Sie gegebenenfalls die Größe des Winkels, unter dem der Kutter auf den<br />
Seenotrettungskreuzer treffen würde.<br />
d) Fertigen Sie eine Zeichnung nur in der x-y-Ebene an, die den Sachverhalt vollständig<br />
darstellt (Winkel, alle genannten Positionen sowie sinnvolle Darstellungen der<br />
Richtungsvektoren). Wählen Sie für die Längeneinheit: 1 LE = 0,5 cm.<br />
e) Der Rettungskreuzer erreicht die gemeldete Unglücksstelle als erster. Leider ist die<br />
Segelyacht <strong>mit</strong>tlerweile durch eine Strömung abgetrieben worden. Die Strömung setzte<br />
genau rechtwinklig zur Kurslinie des Rettungskreuzers <strong>mit</strong> 4 km/h ein, und zwar aus<br />
Blickrichtung der Besatzung des Rettungskreuzers nach steuerbord, das ist der<br />
seemännische Ausdruck für „in Kursrichtung rechts“. Bestimmen Sie rechnerisch eine<br />
vektorielle Gleichung für die Gerade, auf der die Segelyacht abgetrieben wurde. Geben<br />
Sie auch eine Geradengleichung an, in der für den Richtungsvektor r gilt: r = 1.<br />
f) Berechnen Sie die neue Position der Yacht.<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe<br />
BE 3 6 7 6 9 4 35
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥$QDO\VLV<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Die Qualität der textlichen Begleitung wird <strong>mit</strong>bewertet.<br />
Aufgabe 3 - Exponentialfunktion<br />
Die für alle reellen Zahlen definierte Funktion f <strong>mit</strong><br />
1<br />
− x<br />
f ( x)<br />
(2x<br />
+ 4) ⋅ e 2<br />
werden im Folgenden auf charakteristische Eigenschaften untersucht.<br />
= und ihr Graph G f<br />
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte <strong>mit</strong> den Koordinatenachsen und untersuchen Sie G f<br />
auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte; geben Sie exakte Werte<br />
an.<br />
Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden:<br />
b) Untersuchen Sie<br />
<strong>mit</strong> ≥10<br />
1<br />
− x<br />
lim (2x 4) ⋅ e 2<br />
x→+∞<br />
1<br />
1<br />
− x<br />
f ’’( x)<br />
= ⋅ ( x − 2) ⋅ e 2 .<br />
2<br />
+ <strong>mit</strong> Hilfe von mindestens zwei Probeeinsetzungen<br />
x und nennen Sie Ihre Vermutung für diesen Grenzwert.<br />
c) Zeichnen Sie den Graphen G f für − 2 ,5 < x < 8 nur aufgrund Ihrer bisherigen Ergebnisse.<br />
Koordinatensystem: 1 LE = 1 cm .<br />
d) Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche im 2. Quadranten, die von der x-Achse, der y-<br />
Achse und dem Graphen G eingeschlossen wird.<br />
Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass <strong>mit</strong><br />
Stammfunktion von f gegeben ist.<br />
f<br />
1<br />
− x<br />
F(<br />
x)<br />
( −4x<br />
−16)<br />
⋅ e 2<br />
= eine<br />
e) Ihre in c) gezeichnete Kurve wird nun für x ≥ 0 als das seitliche Profil einer Rodelbahn<br />
betrachtet. Im höchsten Punkt H (0 | 4)<br />
startet ein Rodler und gewinnt <strong>mit</strong> stärker<br />
werdendem Gefälle an Fahrt. In einem Punkt ist das Gefälle maximal. Geben Sie zunächst<br />
diesen Punkt und das Gefälle dort an. Bestimmen Sie sodann den später vom Rodler<br />
erreichten Punkt P 20% ( x | y)<br />
, an dem das Gefälle auf 20 % des maximalen Gefälles<br />
abgenommen hat.<br />
<br />
Hilfe zu Teil e): Verwenden Sie in Ihrer Rechnung, dass 20 % in guter Näherung durch<br />
4<br />
den Faktor ersetzt werden kann.<br />
3<br />
e<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe<br />
BE 19 3 5 3 5 35
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
$XIJDEH¥6WRFKDVWLN<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
NAME: ……………………………………….<br />
Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und<br />
kommentieren Sie Ihre <strong>Lösungen</strong>. Die Qualität der textlichen Begleitung wird <strong>mit</strong>bewertet.<br />
Aufgabe 4 - Handy am Steuer<br />
Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während<br />
der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig voneinander<br />
telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer<br />
telefoniert, sei p.<br />
a) Bestimmen Sie für p = 15 % die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass unter 10<br />
vorbeifahrenden Autos<br />
- kein Fahrer,<br />
- genau ein Fahrer bzw.<br />
- mindestens ein Fahrer<br />
sein Handy benutzt.<br />
b) Er<strong>mit</strong>teln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden<br />
Autos <strong>mit</strong> einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer<br />
telefonierenden Person gelenkt wird.<br />
c) Berechnen Sie für p = 15 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen muss,<br />
da<strong>mit</strong> <strong>mit</strong> einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein Fahrer<br />
beim Telefonieren beobachtet wird.<br />
d) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p = 15 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos<br />
so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 10 Fahrzeuge.<br />
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 10 Fahrzeuge kontrolliert<br />
werden müssen.<br />
e) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 10 Fahrzeugen die ersten vier Autos von<br />
keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 10 Fahrern<br />
genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde <strong>mit</strong> B benannt.<br />
Er<strong>mit</strong>teln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p.<br />
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile<br />
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe<br />
BE 12 6 8 5 4 35
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH6WUD‰HQWXQQHO<br />
Aufgabenteil<br />
Erwartete Leistung<br />
BE in AFB<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
a) Geradengleichung der Gerade A 1 A 2<br />
g 1 :<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞<br />
r<br />
x = ⎜ 40 ⎟ + r ⋅⎜10⎟<br />
⎜<br />
⎝100⎟ ⎠<br />
⎜<br />
⎝ 1 ⎟<br />
⎠<br />
Abstand d(A 1 ,A 2 ) = 126 ≈ 11,225<br />
Das entspricht ca. der Länge 112 m,<br />
die Bohrung dauert 56 Tage<br />
2<br />
3<br />
2<br />
b) Geradengleichung der Gerade B 1 B 2<br />
g 2 :<br />
⎛ 75 ⎞ ⎛ −10⎞<br />
r<br />
x = ⎜ 90 ⎟ + s⋅⎜ −20⎟<br />
⎜<br />
⎝117 ⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝ −2<br />
⎟<br />
⎠<br />
Die Richtungsvektoren sind parallel<br />
Punktprobe oder Identitätsprüfung<br />
führt auf einen Widerspruch<br />
Folgerung: Geraden sind echt parallel<br />
Abstand d(B 1 ,B 2 ) = 504 ≈ 22, 4499<br />
Das entspricht ca. 224 m Tunnellänge;<br />
bei 56 Tagen Bohrung müssen 4 m pro<br />
Tag geschafft werden<br />
c) In g 1 wird r = 2 gesetzt: A 3 (12|60|102) 2<br />
d) Geradengleichung durch A 3<br />
e)<br />
g 3 :<br />
⎛ 12 ⎞ ⎛ 19 ⎞<br />
r<br />
x = ⎜ 60 ⎟ + t ⋅⎜ −10⎟<br />
⎜<br />
⎝102⎟ ⎠<br />
⎜<br />
⎝ 5 ⎟<br />
⎠<br />
LGS lösen: s = 2,5 und t = 2<br />
Schnittpunkt <strong>mit</strong> g 2 ist B 3 (50|40|112)<br />
r r r r<br />
r r r<br />
A B = 2A A + A B − 2,5B B<br />
1 1 1 2 3 3 1 2<br />
A B = 7A A + A B<br />
1 1 1 2 3 3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
5<br />
3<br />
6<br />
1<br />
4<br />
Summe 12 19 4<br />
mögliche BE 35 erreichte BE:<br />
Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den<br />
Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur<br />
berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH6HHQRW<br />
Aufgabenteil<br />
Erwartete Leistung<br />
a) Geradengleichung durch 2 Punkte, z.B.<br />
⎛ 3⎞<br />
⎛ 8⎞<br />
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜5⎟<br />
+ m⎜14⎟<br />
, m ∈ R<br />
3<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝ 0⎠<br />
b)<br />
c)<br />
Abstandsbestimmung für 2 Punkte,<br />
Ergebnis: d = 260 ≈ 16, 1<br />
Streckenlänge: ca. 16,1 km<br />
d<br />
t = ≈ 0,403<br />
h ≈ 24 min<br />
v<br />
Ortsvektor für (11|19|0) einsetzen,<br />
Ergebnis: Der Punkt liegt auf der<br />
Kurslinie des Kutters.<br />
Der Kutter würde unter einem Winkel<br />
von ca. 136° auf den<br />
Seenotrettungskreuzer treffen.<br />
d) Zeichnung<br />
BE in AFB<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
2<br />
2<br />
5<br />
4<br />
6<br />
Zwischensumme 12 10 0
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH6HHQRW<br />
e)<br />
Übertrag 12 10 0<br />
Bestimmung eines orthogonalen<br />
Vektors unter Beachtung der<br />
Bedingung z = 0,<br />
⎛− 7⎞<br />
⎛ 7 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Ergebnis z.B.: ⎜ 4 ⎟ oder ⎜−<br />
4⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
Angabe einer Geradengleichung, z. B.:<br />
⎛11⎞<br />
⎛− 7⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x r = ⎜19⎟<br />
+ a ⋅ ⎜ 4 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
1<br />
Geradengleichung <strong>mit</strong> normiertem<br />
Richtungsvektor:<br />
⎛11⎞<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛− 7 / 65<br />
⎜ ⎟<br />
⎟<br />
x r 3<br />
= ⎜19⎟<br />
+ a ⋅ ⎜ 4 / 65 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ 0<br />
⎝ ⎠<br />
f) Berechnung der neuen Position <strong>mit</strong> der<br />
Zeit t ≈ 24 min (aus b):<br />
(12,4|18,2|0) 4<br />
5<br />
Summe 13 18 4<br />
mögliche BE 35 erreichte BE:<br />
Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den<br />
Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur<br />
berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief 4 vom 04.05.2006 ausgegangen.
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ<br />
<br />
Aufgabenteil<br />
<br />
D<br />
Erwartete Leistung<br />
Berechnung von f ( 0) = 4 und Angabe<br />
von S (0 | 4)<br />
, Nennen der Bedingung<br />
y<br />
f ( x)<br />
= 0<br />
für Nullstellen, Lösen der<br />
Gleichung<br />
−<br />
0 = (2x<br />
+ 4) ⋅ e 2<br />
1<br />
1<br />
− x<br />
x<br />
⇔ x = −2<br />
,<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
BE in AFB<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
<br />
Aussage zu e<br />
2<br />
≠ 0 für alle reellen<br />
Zahlen und Angabe von S x (−2 | 0)<br />
. <br />
Nennen einer hinreichenden<br />
Bedingung für lokale Extrema, z. B.<br />
f ’(<br />
x)<br />
= 0 ∧ f ’’( x)<br />
≠ 0 , Berechnung<br />
−<br />
von f ’( x)<br />
= −x<br />
⋅ e 2 , Verwenden der<br />
notwendigen Bedingung f ’(<br />
x)<br />
= 0 ,<br />
1<br />
x<br />
−<br />
1<br />
x<br />
Lösen von 0 = −x<br />
⋅ e<br />
2<br />
⇔ x = 0 . <br />
Berechnung von f ’’(0)<br />
= −1<<br />
0 und<br />
Aussage, dass 0 eine relative<br />
Maximalstelle ist sowie Angabe von<br />
H (0 |4) . <br />
Nennen einer hinreichenden<br />
Bedingung für Wendestellen, z. B.<br />
f ’’(<br />
x)<br />
= 0 ∧ f ’’’( x)<br />
≠ 0 , Verwenden<br />
der notwendigen Bedingung<br />
f ’’(<br />
x)<br />
= 0 , Lösen von<br />
1 −<br />
1<br />
0 = ( x − 2) ⋅ e 2 ⇔ x = 2 und<br />
2<br />
Berechnen von<br />
1 −<br />
1<br />
x<br />
f ’’’( x)<br />
= (1 − x)<br />
⋅ e 2 .<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Zwischensumme 11 5 0
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ<br />
<br />
Noch<br />
a)<br />
Berechnung von f ’’’(2) = ⋅ e 0<br />
Übertrag 11 5 0<br />
1 −1<br />
≠<br />
2<br />
und Aussage, dass 2 eine Wendestelle<br />
ist; exakte Berechnung von f (2)<br />
und<br />
Angabe von W 2 | ) .<br />
( 8<br />
e<br />
b) Wertetabelle <strong>mit</strong> mindestens zwei<br />
Wertepaaren und Angabe<br />
von lim (2x + 4) ⋅ e<br />
2<br />
= 0 .<br />
x→+∞<br />
c) Zeichnung<br />
d)<br />
e)<br />
Ansatz<br />
0<br />
−<br />
1<br />
x<br />
A = ( 2x<br />
+ 4) ⋅ e 2 dx<br />
∫<br />
−2<br />
und Berechnung von<br />
1<br />
⎡<br />
− x ⎤<br />
A = ( 4 16)<br />
2<br />
⎢ − x − ⋅ e ⎥ ,<br />
⎣<br />
⎦<br />
−<br />
1<br />
x<br />
0<br />
−2<br />
5,75 ( FE<br />
A = −16 + 8e , )<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A ≈ <br />
Angabe von W 2 | ) und Berechnung<br />
( 8<br />
e<br />
des Gefälles im Wendepunkt durch<br />
f ’(2)<br />
= − 2<br />
.<br />
e<br />
Ansatz für das Gefälle im Punkt<br />
2 2 4<br />
P 20% : f ’( x)<br />
= − ⋅ 0,2 = − ⋅ ;<br />
e e 3<br />
e<br />
Aufstellen der Gleichung<br />
− x ⋅ e<br />
− 1 x<br />
2<br />
= −<br />
8<br />
4<br />
e<br />
und Angabe der<br />
Lösung (ohne Rechnung) sowie des<br />
Punkten P (8 | 20 ⋅ e ) bzw.<br />
20%<br />
−4<br />
<br />
<br />
P 20% (8 | 0,4) . <br />
Summe 14 18 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
mögliche BE 35 erreichte BE:
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU<br />
Aufgabenteil<br />
a)<br />
Erwartete Leistung<br />
Bernoullikette der Länge n=10 <strong>mit</strong><br />
der Trefferwahrscheinlichkeit<br />
p=0,15.<br />
P(X=0)= B(10;0,15;0)=0,85 10 =<br />
0,197<br />
P(X=1)=B(10;0,15;1)=0,347<br />
BE in AB<br />
Erbrachte Leistung<br />
I II III BE Begutachtung<br />
4<br />
P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0) =<br />
1-B(10;0,15;0)=1-0,85 10 =0,8031<br />
4<br />
b) X liefert die Anzahl der<br />
telefonierenden Fahrzeuglenker. Es<br />
liegt eine Bernoullikette der Länge<br />
n=10 <strong>mit</strong> der unbekannten<br />
Trefferwahrscheinlichkeit p vor,<br />
wobei mindestens 1 Treffer <strong>mit</strong> 95%<br />
Wahrscheinlichkeit erzielt werden<br />
soll:<br />
P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0) = 0,95<br />
⎛10⎞<br />
0<br />
B (10; p;0)<br />
= 0,05 ⇒<br />
⎜ (1 − )<br />
0<br />
⎟ p p<br />
⎝ ⎠<br />
0,1<br />
⇒ p = 1 − 0,05<br />
≈ 0,259<br />
c) P ( X ≥1)<br />
= 1 − P(<br />
X = 0) ≥ 0, 95<br />
0<br />
n<br />
10<br />
= 0,05<br />
P(<br />
X = 0) = 1⋅<br />
0,15 ⋅ 0,85 = 0, 85<br />
n log0,05<br />
1 − 0,85 ≥ 0,95 ; n ≥ ≈18,<br />
4<br />
log0,85<br />
Man muss wenigstens neunzehn<br />
Autos kontrollieren, um <strong>mit</strong><br />
mindestens 95% Wahrscheinlichkeit<br />
einen Fahrer <strong>mit</strong> Handy zu finden. 8<br />
n<br />
Zwischensumme 12 14 0<br />
4<br />
6
=HQWUDODELWXU3UREHNODXVXU<br />
*UXQGNXUV0DWKHPDWLN<br />
(UZDUWXQJVKRUL]RQW<br />
6HQDWVYHUZDOWXQJI U%LOGXQJ-XJHQGXQG6SRUW<br />
1LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH<br />
$XIJDEH+DQG\DP6WHXHU<br />
Übertrag 12 14 0<br />
d) X liefert die Anzahl der bei diesem<br />
Vorgehen kontrollierten Autos.<br />
E habe die Bedeutung, dass im 10.<br />
Auto ein telefonierender Fahrer sitzt<br />
oder im 10. Auto immer noch kein<br />
telefonierender Fahrer sitzt:<br />
P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9<br />
=0,85 9 =0,232 bei bekanntem p=0,15. 5<br />
e) Die ersten vier sind keine<br />
Handybenutzer, Ereignis F:<br />
P(F) = (1-p) 4 ;<br />
bei den nächsten sechs sind zwei<br />
Handybenutzern dabei:<br />
Bernoullikette der Länge n=6 <strong>mit</strong><br />
genau zwei Treffern<br />
⎛6⎞<br />
2 4<br />
B(6;p;2)=<br />
⎜ (1 p)<br />
2<br />
⎟ p − . So<strong>mit</strong><br />
⎝ ⎠<br />
erhält man<br />
P(B)=P(F)B(6;p;2)<br />
2<br />
8<br />
= 15 ⋅ p (1 − p)<br />
4<br />
Summe 12 19 4<br />
mögliche BE 35 erreichte BE: