TU - Grundwissen
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Steckbriefaufgaben - <strong>Grundwissen</strong><br />
Wie werden Bedingungen in Gleichungen umgeformt?<br />
In der Differentialrechnung werden Funktionen mit gegebenem Funktionsterm auf charakteristische<br />
Eigenschaften hin untersucht; derartige Untersuchungen nennt man „Kurvendiskussion“.<br />
Bei sogenannten „Steckbriefaufgaben“ geht es umgekehrt darum, aus vorgegebenen charakteristischen<br />
Eigenschaften von Funktionen, insbesondere deren Graphen, an gegebenen Stellen<br />
bzw. Punkten den Funktionsterm zu bestimmen. Dabei beschränken wir uns hier zuerst einmal<br />
auf den Bereich der Ganzrationalen Funktionen, oft auch Polynomfunktionen genannt.<br />
Entscheidend bei der Bestimmung des Funktionsterms ist es nun, die gegebenen Bedingungen in Gleichungen<br />
umzusetzen. Im folgenden findet sich eine Auflistung der am häufigsten auftretenden Bedingungen<br />
an einen Funktionsgraphen und der sich daraus ergebenden Gleichungen für den Funktionsterm bzw.<br />
dessen Ableitungen.<br />
Gesucht ist der Funktionsterm f (x)<br />
derjenigen ...<br />
• Linearen Funktion ... f (x) = m ⋅ x + n mit m,n ∈ IR und m ≠ 0<br />
2<br />
• Quadratischen Funktion ... f (x) = a ⋅ x + b ⋅ x + c mit a,b,c ∈ IR und a ≠ 0 oder<br />
f (x)<br />
= a ⋅ (x − x<br />
S<br />
)<br />
2<br />
+<br />
y<br />
s<br />
mit a, x<br />
S<br />
, y<br />
s<br />
∈ IR und a ≠ 0<br />
• Ganzrationalen Funktion/<br />
Polynomfunktion 3-ten Grades ... f (x) =<br />
3<br />
a ⋅ x +<br />
2<br />
b ⋅ x + c ⋅ x + d mit a,b,c,d ∈ IR und a ≠ 0<br />
• Ganzrationalen Funktion/<br />
Polynomfunktion 4-ten Grades ... f (x) =<br />
4<br />
a ⋅ x +<br />
3<br />
b ⋅ x +<br />
2<br />
c ⋅ x + d ⋅ x + e mit a,b,c,d,e ∈ IR und a ≠ 0<br />
• Ganzrationalen Funktion/<br />
Polynomfunktion n-ten Grades ...<br />
f (x) =<br />
a<br />
n<br />
⋅ x<br />
n<br />
+<br />
a<br />
n − 1<br />
⋅ x<br />
n − 1<br />
mit n ∈<br />
+ ... +<br />
a<br />
IN, a<br />
n<br />
2<br />
⋅ x<br />
,a<br />
2<br />
n − 1<br />
+ a ⋅ x + a<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
,...,a ,a ,a ∈<br />
0<br />
IR und a<br />
n<br />
≠<br />
0<br />
deren Graph ...<br />
• (achsen-)symmetrisch zur y-Achse verläuft ...<br />
• (punkt-)symmetrisch zum Ursprung verläuft ...<br />
alle Koeffizienten vor Potenzen mit ungeraden Exponenten<br />
(x, x , x , ...) haben den Wert 0<br />
3 5<br />
es gibt keine konstanten Summanden und alle Koeffizienten<br />
vor Potenzen mit geraden Exponenten<br />
2 4<br />
(x , x , ...) haben den Wert 0<br />
• durch den Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
verläuft ... f (x<br />
0)<br />
= y0<br />
• an der Stelle x<br />
0 die x-Achse schneidet ... /<br />
• an der Stelle x<br />
0 eine Nullstelle hat...<br />
• die y-Achse bei y<br />
0 schneidet ... /<br />
• den y-Achsenabschnitt bei y<br />
0 hat ...<br />
f (x<br />
0<br />
) =<br />
f (0) =<br />
• an der Stelle x<br />
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... schneidet ... f (x<br />
0<br />
) = g(x<br />
0)<br />
0<br />
y 0<br />
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• an der Stelle x<br />
0 die Steigung m besitzt ... /<br />
an der Stelle x<br />
0 eine Tangente t mit der Steigung m besitzt ... /<br />
an der Stelle x<br />
0 parallel zu einer Geraden g mit der Steigung m verläuft ... /<br />
an der Stelle x<br />
0 eine Tangente t besitzt, die parallel zu einer Geraden g mit der<br />
Steigung m verläuft ...<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
die Steigung m besitzt ... /<br />
im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
eine Tangente t mit der Steigung m besitzt ... /<br />
im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
parallel zu einer Geraden g mit der Steigung m verläuft ... /<br />
im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
eine Tangente t besitzt, die parallel zu einer Geraden g mit der<br />
Steigung m verläuft ...<br />
• an der Stelle x<br />
0 eine Tangente mit<br />
f ′(x<br />
0<br />
) =<br />
m<br />
f (x<br />
0)<br />
= y 0 und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = m<br />
t (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x<br />
0<br />
) = t(x<br />
0)<br />
und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = m<br />
• an der Stelle x<br />
0 eine Normale mit der Steigung m besitzt ... /<br />
an der Stelle x<br />
0 orthogonal / senkrecht zu einer Geraden g mit der Steigung m<br />
verläuft ...<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
eine Normale mit der Steigung m besitzt ... /<br />
im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
orthogonal / senkrecht zu einer Geraden g mit der Steigung m<br />
verläuft ...<br />
• an der Stelle x<br />
0 eine Normale mit dem Funktionsterm<br />
f ′(x<br />
0)<br />
= −<br />
1<br />
m<br />
f (x<br />
0)<br />
= y 0 und<br />
1<br />
f ′(x<br />
0)<br />
= −<br />
m<br />
g (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x<br />
0<br />
) = g(x<br />
0)<br />
und<br />
1<br />
f ′(x<br />
0)<br />
= −<br />
m<br />
• an der Stelle x<br />
0 die gleiche Steigung wie die Funktion g mit g (x) = ... besitzt ... f ′(x<br />
0<br />
) = g ′(x<br />
0)<br />
• an der Stelle x<br />
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... berührt ... f (x<br />
0<br />
) = g(x<br />
0)<br />
und<br />
′(x<br />
) = g (x )<br />
• an der Stelle x<br />
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... orthogonal/senkrecht<br />
schneidet ...<br />
f ′<br />
0 0<br />
f (x<br />
0<br />
) = g(x<br />
0)<br />
und<br />
1<br />
f ′(x<br />
0)<br />
= −<br />
g ′(x<br />
)<br />
• an der Stelle x<br />
0 einen Extrempunkt / Tiefpunkt / Hochpunkt besitzt ... f ′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
einen Extrempunkt / Tiefpunkt / Hochpunkt besitzt ... f (x<br />
0)<br />
= y0<br />
und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• an der Stelle x<br />
0 die x-Achse berührt ... f (x<br />
0<br />
) = 0 und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
0<br />
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• an der Stelle x<br />
0 einen Wendepunkt besitzt ... f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
einen Wendepunkt besitzt ... f (x<br />
0)<br />
= y0<br />
und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• an der Stelle x<br />
0 einen Wendepunkt / eine Wendetangente mit der Steigung m<br />
besitzt ...<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
einen Wendepunkt / eine Wendetangente mit der Steigung m<br />
besitzt ...<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = m und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
f (x<br />
0)<br />
= y 0 und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = m und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• an der Stelle x<br />
0 eine Wendetangente mit<br />
t (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x<br />
0<br />
) = t(x<br />
0)<br />
und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = m und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• an der Stelle x<br />
0 einen Sattel-/Terrassenpunkt besitzt ... f ′(x<br />
0<br />
) = 0 und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
• im Punkt ( x<br />
0<br />
| y0)<br />
einen Sattel-/Terrassenpunkt besitzt ... f (x<br />
0)<br />
= y0<br />
und<br />
f ′(x<br />
0<br />
) = 0 und<br />
f ′′(x<br />
0<br />
) = 0<br />
2011 Thomas Unkelbach Seite 3 von 3