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Brückenkurs Mathematik WS 2005/06 FH Düsseldorf Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik Mathematik für Ingenieure Prof. Dr. W. Scheideler Ausarbeitung: Sevda Mercan 1
- Seite 2 und 3: Inhaltsverzeichnis 1. Brüche, Pote
- Seite 4 und 5: 1. Brüche, Potenzen und Wurzel 1.1
- Seite 6 und 7: 47 ⋅ 24 36 1 ⋅ 24 24 = 47 36
- Seite 8 und 9: 5. a n b n = ⎛ a ⎞ n ⎜ ⎟
- Seite 10 und 11: 1.3. Wurzeln 1.3.1. Definition von
- Seite 12 und 13: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 ⎞ ⎟ ⎛
- Seite 14 und 15: Merke: Zur Umformung einer Gleichun
- Seite 16 und 17: ( 0 , ∞ ) = R + ( − ∞, ∞ )
- Seite 18 und 19: − 11 x + 12 = 78 ⇒ + − ( 12 )
- Seite 20 und 21: Bespielaufgaben 2.2.1.b (Ungleichun
- Seite 22 und 23: Musterlösung 2: Lösung folgender
- Seite 24 und 25: 2.3 Quadratische Gleichungen Die Al
- Seite 26 und 27: x 1, 2 = -1 ± 2 x 1 = -1 + 2 ⇒ x
- Seite 28 und 29: t 1 = 3 oder t 2 + 3 = 0 ⇒ t + 3
- Seite 30 und 31: 1 2 3 d) + - = 0 x x 2 x 3 1 2 3 e)
- Seite 32 und 33: 25 Probe: x = ist gefundene Lösung
- Seite 34 und 35: 2⋅ t = t - 3 ⇒ () 2 Achtung!!!:
- Seite 36 und 37: Bespielaufgaben 2.4 (Wurzelgleichun
- Seite 38 und 39: für y = 0 x + y = 1 ⇒ x + 0 = 1
- Seite 40 und 41: Ergebnisse : x = −1 y z = = −4
- Seite 42 und 43: 3.2. Winkelmaße (Grad- und Bogenma
- Seite 44 und 45: v 1 ß -ß P P' x u - x Bild 3.3.1.
- Seite 46 und 47: 3.5. Wichtige Beziehungen zwischen
- Seite 48 und 49: Musterlösung 1: Gegeben: sin ( α
- Seite 50 und 51: α + β + θ = 180° ⇒ (Winkel Su
Brückenkurs Mathematik<br />
WS 2005/06<br />
FH Düsseldorf<br />
Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik<br />
Mathematik für Ingenieure<br />
Prof. Dr. W. Scheideler<br />
Ausarbeitung: Sevda Mercan<br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
1. Brüche, Potenzen und Wurzel 4<br />
1.1. Brüche 4<br />
1.1.1 Definition von Brüchen 4<br />
1.1.2. Rechenregeln für Brüche 4<br />
1.2. Potenzen 7<br />
1.2.1. Definition von Potenzen 7<br />
1.2.2. Rechenregeln für Potenzen 7<br />
1.3. Wurzeln 10<br />
1.3.1. Definition von Wurzeln 10<br />
1.3.2. Rechenregeln für Wurzeln 10<br />
2. Gleichungen 12<br />
2.1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen 12<br />
2.2. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen 17<br />
(Bruchgleichungen)<br />
2.2.1. Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine 17<br />
Variablen enthalten<br />
2.2.2 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten 20<br />
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen 20<br />
2.3 Quadratische Gleichungen 24<br />
2.4. Wurzelgleichungen 30<br />
2.5. Lineare Gleichungssysteme 36<br />
2
3. Trigonometrische Funktionen 41<br />
3.1. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck 41<br />
3.2. Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß) 42<br />
3.3. Drehsinn eines Winkels 43<br />
3.4. Darstellung des Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis 44<br />
3.5. Wichtige Beziehungen zwischen den 46<br />
trigonometrischen Funktionen<br />
3.5.1. Trigonometrischer Pythagoras 46<br />
3.5.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion 46<br />
3.5.3. Sinussatz 47<br />
3.5.4. Kosinussatz 47<br />
4. Exponential- und Logarithmusgleichungen 53<br />
4.1. Rechenregeln für Logarithmus 54<br />
4.2. Spezielle Logarithmen 55<br />
4.3. Basiswechsel 56<br />
5. Lösungen von Beispielaufgaben 61<br />
3
1. Brüche, Potenzen und Wurzel<br />
1.1. Brüche<br />
1.1.1. Definition von Brüchen<br />
a ÷ b ; der Quotient a ÷ b ist die Bruchzahl<br />
a<br />
b<br />
( a, b ∈ Z; b ≠ 0 und b ≠ ∞<br />
)<br />
Die Bruchzahl b<br />
a ist eine ganze Zahl, wenn a ein Vielfaches von b ist.<br />
a bezeichnet man auch als Bruch; a Zähler, b der Nenner, der Nenner gibt an, in wie viel gleiche<br />
b<br />
Teile eine Einheit zerlegt wurde. Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an.<br />
1.1.2. Rechenregeln für Brüche:<br />
1. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert wird:<br />
a<br />
b<br />
=<br />
a<br />
b<br />
⋅<br />
⋅<br />
k<br />
k<br />
( k<br />
≠<br />
0 )<br />
z.B.:<br />
2<br />
5<br />
=<br />
2<br />
5<br />
⋅<br />
⋅<br />
3<br />
3<br />
=<br />
6<br />
15<br />
2. Die gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert:<br />
z.B.:<br />
1<br />
7<br />
+<br />
9<br />
7<br />
−<br />
2<br />
7<br />
=<br />
1<br />
+<br />
9<br />
7<br />
− 2<br />
=<br />
8<br />
7<br />
Falls die Brüche nicht gleichnamig sind, sie müssen vor dem Addieren oder Subtrahieren<br />
gleichnamig gemacht werden, indem man sie durch Erweitern auf den kleinsten gemeinsamen<br />
Nenner bringt:<br />
z.B.:<br />
13<br />
6<br />
+<br />
5<br />
3<br />
−<br />
7<br />
18<br />
=<br />
3⋅(13 )<br />
+<br />
6 ⋅( 5 )<br />
18<br />
−1⋅(7 )<br />
⇒<br />
4
39<br />
+ 30<br />
18<br />
−7<br />
=<br />
62<br />
18<br />
3. Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden:<br />
a<br />
b<br />
c a ⋅ c<br />
⋅ = ( b ⋅ d ≠ 0 und<br />
d b ⋅ d<br />
b ⋅ d<br />
≠<br />
∞ )<br />
z.B.:<br />
10<br />
23<br />
⋅<br />
2<br />
7<br />
=<br />
10 ⋅ 2<br />
23 ⋅7<br />
=<br />
20<br />
161<br />
4. Brüche werden dividiert, indem der Bruch in Nenner eliminiert wird. Dies geschieht durch<br />
Erweitern von Zähler und Nenner mit einem geeigneten Wert:<br />
z.B.:<br />
3<br />
7<br />
5<br />
8<br />
=<br />
3<br />
7<br />
5<br />
8<br />
⋅8<br />
⋅8<br />
⇒<br />
3 ⋅ 8<br />
7<br />
5<br />
=<br />
24<br />
7<br />
5 ⋅<br />
1<br />
⋅<br />
5<br />
1<br />
5<br />
=<br />
24 ⋅ 1<br />
7 ⋅ 5<br />
=<br />
24<br />
35<br />
Musterlösung 1:<br />
3<br />
4<br />
2<br />
3<br />
+<br />
-<br />
5<br />
9<br />
5<br />
8<br />
=<br />
?<br />
⇒<br />
9 ⋅ 3<br />
9 ⋅ 4<br />
8 ⋅ 2<br />
8 ⋅ 3<br />
+<br />
-<br />
4 ⋅ 5<br />
4 ⋅ 9<br />
3 ⋅ 5<br />
3 ⋅ 8<br />
=<br />
27 + 20<br />
36<br />
16 − 15<br />
24<br />
=<br />
47<br />
36<br />
1<br />
24<br />
⇒<br />
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 36 und 24.)<br />
5
47<br />
⋅ 24<br />
36<br />
1<br />
⋅ 24<br />
24<br />
=<br />
47<br />
36<br />
⋅ 24<br />
=<br />
47 ⋅ 2<br />
3<br />
=<br />
94<br />
3<br />
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 24 und Kürzen mit dem Wert 12)<br />
Musterlösung 2:<br />
1<br />
a<br />
1<br />
+<br />
1<br />
b<br />
=<br />
?<br />
⇒<br />
1<br />
b + a<br />
a ⋅ b<br />
=<br />
1⋅<br />
ab<br />
b + a<br />
ab<br />
⋅ab<br />
=<br />
ab<br />
b + a<br />
Beispielaufgaben 1.1. (Brüche):<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
+<br />
b a<br />
a) = ?<br />
1 1<br />
+<br />
a b<br />
1 1<br />
-<br />
s<br />
2<br />
- 1 s<br />
2<br />
b) = ?<br />
1 1<br />
2 + -<br />
s - 1 s + 1<br />
u<br />
c) 1 -<br />
= ?<br />
u<br />
1 -<br />
u + 1<br />
11a - 3 7 a - 4 5 a - 6<br />
d) -<br />
+<br />
= ?<br />
3 x + 3 2 x + 2 6 x + 6<br />
6
1.2. Potenzen<br />
1.2.1. Definition von Potenzen<br />
In der Potenz<br />
4<br />
3 heißt 3 Grundzahl oder Basis, 4 Hochzahl oder Exponent. Der Exponent gibt<br />
an, wievielmal die Basis als Faktor gesetzt werden soll. Das ausgerechnete Produkt heißt<br />
Potenzwert. Eine Summe von gleichen Summanden ergibt ein Produkt. Ein Produkt von gleichen<br />
Faktoren ergibt eine Potenz.<br />
a<br />
n<br />
=<br />
a ⋅ a ⋅ a ⋅......<br />
⋅ a<br />
( n<br />
Faktoren )<br />
Ist die n-te Potenz von a,<br />
a nennt man Basis und n Exponent.<br />
1.2.2. Rechenregeln für Potenzen:<br />
Im Folgenden sei m,<br />
n ∈<br />
N<br />
1.<br />
m n m + n<br />
a ⋅ a = a ( Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis )<br />
a<br />
m<br />
m - n<br />
2. = a<br />
(Division von Potenzen mit gleicher Basis)<br />
a<br />
n<br />
-n 1 ⎛ 1 ⎞<br />
negativer Exponent a = =<br />
n<br />
⎜ ⎟ ( a ≠ 0 und a ≠ ∞ )<br />
a<br />
n ⎝ a ⎠<br />
3.<br />
m n n m m ⋅ n<br />
⎜<br />
⎛ a ⎟<br />
⎞ = ⎜<br />
⎛a<br />
⎟<br />
⎞ = a<br />
( Potenzieren von Potenzen )<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
n<br />
n<br />
n<br />
4. a ⋅ b = ( a ⋅ b) (Multiplikation von Potenzen bei gleichen Exponenten)<br />
7
5.<br />
a<br />
n<br />
b<br />
n<br />
=<br />
⎛ a ⎞ n<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
( b ≠ 0<br />
(Division<br />
und<br />
von<br />
b ≠ ∞ )<br />
Potenzen bei<br />
gleichen<br />
Exponenten)<br />
6. a<br />
0<br />
= 1<br />
Musterlösung 1:<br />
Vereinfachung eines algebraischen Ausdrucks:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
-3<br />
⎞ -3<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
?<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
-3<br />
⎞ -3<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
-3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3<br />
=<br />
1<br />
3<br />
() 1<br />
(-3)<br />
3<br />
=<br />
1<br />
1<br />
- 27<br />
⇒<br />
1⋅27<br />
1<br />
− ⋅27<br />
27<br />
=<br />
− 27<br />
Musterlösung 2:<br />
Vereinfachung eines algebraischen Ausdrucks:<br />
1<br />
12 y<br />
x<br />
2<br />
8 z<br />
2<br />
3<br />
1 1<br />
4 z 6<br />
y<br />
2<br />
z<br />
3<br />
⋅ ÷<br />
= ?<br />
1 1<br />
3 2 z<br />
x<br />
5<br />
y<br />
4<br />
⇒<br />
8
12 y<br />
3<br />
⋅ x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
8 z<br />
2<br />
⋅ x<br />
2<br />
⋅<br />
4 z<br />
⋅<br />
y<br />
2<br />
3<br />
x<br />
5<br />
x<br />
5<br />
3<br />
x<br />
5<br />
⋅<br />
3<br />
÷<br />
6<br />
z<br />
3<br />
2 z<br />
y<br />
4<br />
⋅<br />
y<br />
4<br />
⋅<br />
2 ⋅ z<br />
y<br />
4<br />
2 ⋅ z<br />
⇒<br />
12 y<br />
3<br />
8 z<br />
2<br />
x<br />
2<br />
4 z x<br />
5<br />
⋅<br />
3 y<br />
2<br />
÷<br />
6 y<br />
4<br />
2 z<br />
4<br />
⇒<br />
12 y<br />
3<br />
8 z<br />
2<br />
x<br />
2<br />
4 z x<br />
5<br />
⋅<br />
3 y<br />
2<br />
⋅<br />
2 z<br />
4<br />
6 y<br />
4<br />
⇒<br />
2<br />
3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
z x<br />
y<br />
⎞ 3<br />
⎟<br />
⎠<br />
Beispielaufgaben 1.2. (Potenzen):<br />
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:<br />
-4<br />
9b<br />
3<br />
20b<br />
a) ⋅<br />
= ?<br />
-4<br />
16 a<br />
2<br />
25 a<br />
2 - m 3m m + n 3 - m<br />
4 x ⋅ y 5 z ⋅ x<br />
b) ÷<br />
= ?<br />
m - n<br />
1 - 2 m<br />
7 z<br />
14 y<br />
3 z 5 a<br />
c) ÷ = ?<br />
x<br />
2<br />
- y<br />
2 x + y<br />
9
1.3. Wurzeln<br />
1.3.1. Definition von Wurzeln<br />
Unter der Quadratwurzel aus x verstehen wir diejenige Zahl, deren Quadrat x ergibt.<br />
Ist<br />
x n = a = a für a ≥ 0,<br />
dann heißt x die n-te Wurzel aus a.<br />
Schreibweisen:<br />
x =<br />
n a (Wurzelschreibweise) oder x =<br />
1<br />
a n (exponentielle Schreibweise). a heißt<br />
Radikant, n Wurzelexponent.<br />
1.3.2. Rechenregeln für Wurzeln:<br />
1.<br />
n<br />
a<br />
m<br />
=<br />
a<br />
m<br />
n<br />
=<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝<br />
a<br />
⎞ m<br />
⎟ ⎠<br />
2.<br />
1<br />
1 ⎛ 1 ⎞ 1<br />
m n m<br />
⎜ ⎟<br />
m<br />
n n m n<br />
a = a = ⎜a<br />
⎟<br />
⋅<br />
= a =<br />
m ⋅ n<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 1 1<br />
n a n<br />
a ⋅ b<br />
3. ⋅ b = a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n =<br />
n<br />
a<br />
n a<br />
4. n a<br />
=<br />
für b > 0; alle m, n ∈ N<br />
n b b<br />
Binomische Formeln:<br />
1.<br />
(a<br />
±<br />
b)<br />
2<br />
=<br />
a<br />
2<br />
±<br />
2 ab<br />
+<br />
b<br />
2<br />
2.<br />
(a +<br />
b)(a<br />
-<br />
b)<br />
=<br />
a<br />
2<br />
-<br />
b<br />
2<br />
10
Achtung!!!:<br />
( 2u − 3v)<br />
2<br />
≠ ( 2u)<br />
2<br />
− ( 3v)<br />
2<br />
≠ 4u<br />
2<br />
−<br />
9<br />
2<br />
v<br />
!!!<br />
sondern ( 2u − 3v)<br />
2<br />
= ( 2u)<br />
2<br />
− 2⋅2u⋅3v<br />
+ ( 3v)<br />
2<br />
= 4u<br />
2<br />
− 12u v + 9 v<br />
2<br />
!!!<br />
4 t<br />
2<br />
− 9 z<br />
2<br />
≠ 4 t<br />
2<br />
− 9 z<br />
2<br />
≠ 2t −<br />
3 z<br />
!!!<br />
sondern 4 t<br />
2<br />
− 9 z<br />
2<br />
!!!<br />
Dieser Ausdruck kann nicht vereinfach werden!!!<br />
Musterlösung 1:<br />
Vereinfachung der Gleichung:<br />
8<br />
8<br />
-<br />
+<br />
2<br />
2<br />
=<br />
?<br />
⇒<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
-<br />
+<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
-<br />
+<br />
2<br />
2<br />
=<br />
3<br />
2<br />
2<br />
=<br />
1<br />
3<br />
Musterlösung 2:<br />
Vereinfachung der Gleichung:<br />
2<br />
3<br />
5<br />
2<br />
( 8 ) ⋅ ( 4 ) = ? ⇒<br />
11
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎞<br />
⎟<br />
( 2 ) ⎟ ⋅ ⎜( 2) ⎟ = ( 2) ⋅ ( 2) ⇒<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
3<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
5<br />
2<br />
3<br />
2<br />
⋅<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
⋅<br />
5<br />
2<br />
5<br />
5 2 + 5 7<br />
1 +<br />
2 ⋅ 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 =<br />
2<br />
7<br />
Beispielaufgaben 1.3. (Wurzeln):<br />
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:<br />
2<br />
⎛ a b ⎞<br />
a) ⎜ + ⎟<br />
= ?<br />
b a<br />
⎝<br />
⎠<br />
1<br />
b)<br />
4<br />
⎜<br />
⎛ 8 ⎟<br />
⎞ 3<br />
⎝ ⎠<br />
= ?<br />
7<br />
3 10<br />
-<br />
+<br />
c) 16 4<br />
10 3<br />
= ?<br />
d) 5 ⋅<br />
= ?<br />
3 2<br />
-<br />
2 3<br />
2. Gleichungen<br />
2.1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen<br />
Werden zwei Terme<br />
T und<br />
1<br />
wir diese Verbindung eine Gleichung.<br />
T durch das Gleichheitszeichen „ = “ verbunden werden, so nennen<br />
2<br />
T<br />
1<br />
=<br />
T<br />
2<br />
z.B.: T = 3 x + 4<br />
1<br />
12
T<br />
2<br />
=<br />
12<br />
-<br />
x<br />
T = T ergibt dann 3 x + 4 = 12 - x<br />
1 2<br />
Werden zwei Terme<br />
T und<br />
1<br />
so nennt man diese Verbindung eine Ungleichung.<br />
T durch das Zeichen „ < “, „ > “, „ ≤ “ oder „ ≥ “ verbunden,<br />
2<br />
T <<br />
1<br />
T<br />
2<br />
T ≤<br />
1<br />
T<br />
2<br />
T ><br />
1<br />
T<br />
2<br />
T ≥<br />
1<br />
T<br />
2<br />
z.B.:<br />
3 x + 4 ≤<br />
12<br />
-<br />
x<br />
3 x + 4 ><br />
12<br />
-<br />
x<br />
Musterlösung 1 für lineare Gleichung:<br />
Lösung folgender Gleichungen:<br />
a) 11 - 2 x = 6 = ? ⇒<br />
11 - 2 x = 6 ⇒ −<br />
( 11 )<br />
− 2 x = 6 − 11<br />
⇒<br />
− 2 x = −5<br />
⇒<br />
: −<br />
( 2 )<br />
x<br />
=<br />
5<br />
2<br />
13
Merke: Zur Umformung einer Gleichung in eine einfachere äquivalente Gleichung darf<br />
auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl<br />
(z) multipliziert oder dividiert werden, aber z ≠ 0 und z ≠ ∞ .<br />
b) 8 x - ( 2 x - 4) = 3 ⇒<br />
8 x<br />
-<br />
2 x<br />
+<br />
4<br />
=<br />
3<br />
⇒<br />
6 x<br />
+<br />
4<br />
=<br />
3<br />
⇒<br />
6 x + 4 = 3 ⇒<br />
-<br />
( 4 )<br />
6 x<br />
=<br />
3<br />
-<br />
4<br />
⇒<br />
6 x = -1 ⇒<br />
:<br />
( 6 )<br />
x<br />
=<br />
-<br />
1<br />
6<br />
Merke:<br />
a<br />
a<br />
− ( −b<br />
+ c ) = a + b − c a + ( b − c ) = a + b − c<br />
+ ( −b<br />
− c ) = a − b − c a + ( b + c ) = a + b + c<br />
a − ( b − c ) = a − b + c a + ( −b<br />
+ c ) = a − b + c<br />
a − ( −b<br />
− c ) = a + b + c a − ( b + c ) = a − b − c<br />
14
Musterlösung 2 für lineare Ungleichung:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichungen:<br />
Merke:<br />
Zusammenstellung der wichtigsten Intervalle<br />
Bei der Beschreibung der Definitions- und Wertebereiche von Funktionen benötigen wie<br />
spezielle, als Intervalle bezeichnete Teilmengen von R<br />
1. Endliche Intervalle ( a < b)<br />
[ a,<br />
b ] = { x a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall<br />
[ a, b ) = { x a ≤ x < b }<br />
( a, b ] = { x a < x ≤ b }<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
halboffenes<br />
Intervalle<br />
( a , b ) = { x a < x < b } offenes Intervalle<br />
2. Unendliche Intervalle<br />
[ a, ∞ ) = { x a ≤ x < ∞ }<br />
( a, ∞ ) = { x a < x < ∞ }<br />
( − ∞, b ] = { x −∞ < x ≤ b }<br />
( − ∞, b ) = { x − ∞ < x < b }<br />
( −∞,<br />
0 ) = R<br />
−<br />
15
( 0 , ∞ ) = R<br />
+<br />
( − ∞, ∞ ) = R<br />
Offene Intervalle können mit „ ( )“ oder nach außen gerichteten „ ][“ gekennzeichnet<br />
sein!!!<br />
a) 5 - x > 2 ⇒<br />
5 - x > 2 ⇒<br />
−<br />
( 5 )<br />
− x > 2 − 5<br />
⇒<br />
− x<br />
><br />
− 3<br />
⇒<br />
⋅<br />
( −1<br />
)<br />
x <<br />
3<br />
Merke:<br />
Durch die Multiplikation oder Division mit der negativen Zahl ändern alle Zahlen<br />
ihre Vorzeichen. Dabei behalten sie zwar ihren Wert aber die Richtung ändert sich:<br />
z.B.: 2 x + 3 y < 6 ⇒ ⋅ ( − 1 )<br />
− 2 x − 3 y > −6<br />
Beispielaufgaben 2.1 (Lineare Gleichungen):<br />
Lösen Sie die Gleichungen:<br />
a) 3 x - 18 = - x + 6<br />
b) x - 3 = 8<br />
c) 24 - 7 x = 3<br />
d) 19 - 2 x = 5 x - 16<br />
16
e) 5 x - ( 3 + 2 x) = 9<br />
f) ( a - b)( x - c) - ( a + b)( x + c) + 2 a ( b + c) = 0<br />
2.2. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen (Bruchgleichungen)<br />
2.2.1 Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen<br />
enthalten<br />
Die Regel für Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen<br />
gelten auch für Gleichungen mit rationalen Zahlen:<br />
Zur Umformung einer Gleichung und Ungleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert<br />
oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Die Division durch<br />
null ist nicht möglicht.<br />
Musterlösung 1 für Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten:<br />
Lösung folgender Gleichungen:<br />
7 x + 6<br />
5 x - 2<br />
a) - x = 4 -<br />
⇒<br />
9<br />
6<br />
7 x +<br />
9<br />
6<br />
-<br />
x<br />
=<br />
4<br />
-<br />
5 x -<br />
6<br />
2<br />
⇒<br />
⋅<br />
( 18)<br />
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 18 multiplizieren)<br />
( 7 x + 6 ) - 18 x = 18⋅( 4 ) - 3⋅( 5 x - ) ⇒<br />
2 ⋅ 2<br />
14 x<br />
+<br />
12<br />
-<br />
18 x<br />
=<br />
72<br />
-<br />
15 x<br />
+<br />
6<br />
⇒<br />
− 4 x + 12 = 78 - 15 x ⇒<br />
+<br />
( 15 x )<br />
17
− 11 x + 12 = 78 ⇒<br />
+ −<br />
( 12 )<br />
−11<br />
x = 78 − 12<br />
⇒<br />
− 11 x = 66 ⇒<br />
: −<br />
( 11)<br />
x<br />
=<br />
6<br />
5 x<br />
2 x<br />
b) + 2 = 5 - ⇒<br />
6<br />
3<br />
5 x<br />
6<br />
+<br />
2<br />
=<br />
5<br />
-<br />
2 x<br />
3<br />
⇒<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 x<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
5 x<br />
6<br />
+<br />
2 x<br />
3<br />
+<br />
2<br />
=<br />
5<br />
⇒<br />
-<br />
( 2)<br />
5 x<br />
+ 2 ⋅ 2 x<br />
6<br />
=<br />
5<br />
-<br />
2<br />
⇒<br />
9 x<br />
6<br />
=<br />
3<br />
⇒<br />
⋅<br />
( 6 )<br />
9 x<br />
=<br />
6 ⋅ 3<br />
⇒<br />
9 x = 18 ⇒<br />
:<br />
( 9)<br />
x =<br />
2<br />
18
Beispielaufgaben 2.2.1.a (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen<br />
enthalten):<br />
Lösen Sie die Gleichungen:<br />
x<br />
x<br />
9 x + 1 3 x + 4<br />
a) - 3 = − 5<br />
b) -<br />
= 0<br />
3<br />
5<br />
4<br />
5<br />
5 x<br />
3 x<br />
c) + 2 = + 3<br />
8<br />
4<br />
Musterlösung 1 für Ungleichung mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten:<br />
Lösung folgender Gleichung:<br />
3 x<br />
4<br />
-<br />
7<br />
8<br />
<<br />
x<br />
-<br />
2<br />
3<br />
⇒<br />
3 x<br />
4<br />
-<br />
7<br />
8<br />
<<br />
x<br />
-<br />
2<br />
3<br />
⇒<br />
⋅<br />
( 24 )<br />
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 24 multiplizieren)<br />
18 x<br />
-<br />
21<br />
< 24 x - 16<br />
⇒<br />
18 x - 21 < 24 x - 16 ⇒<br />
−<br />
( 24 x )<br />
− 6 x - 21 < -16 ⇒<br />
+<br />
( 21 )<br />
−6<br />
x < -16 + 21<br />
⇒<br />
( 6 )<br />
− 6 x < 5 ⇒<br />
: −<br />
x<br />
><br />
−<br />
5<br />
6<br />
19
Bespielaufgaben 2.2.1.b (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen<br />
enthalten):<br />
Lösen Sie folgende Ungleichungen:<br />
a)<br />
3<br />
( x - 2) 4 ( x + 1) 5( x - 3)<br />
4<br />
-<br />
3<br />
≤<br />
6<br />
-<br />
x<br />
1<br />
b) 3 x + 2 < x<br />
4<br />
x - 1 x - 3<br />
c) + > 0<br />
2 4<br />
x - 1 x - 3<br />
d) +<br />
> 0<br />
7<br />
8<br />
2.2.2. Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten<br />
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen<br />
Bei Bruchgleichungen kommen die Variablen auch im Nenner vor,<br />
2 x - 3<br />
z.B.: = 4,<br />
x + 3<br />
x<br />
x<br />
-<br />
-<br />
2<br />
a<br />
=<br />
1<br />
a<br />
Stehen Variablen im Nenner eines Bruchterms, so kann es vorkommen, dass beim Einsetzen von<br />
Zahlen für die Variablen der Nenner den Wert 0 annimmt. Der Term geht in diesem Fall nicht in<br />
eine Zahl über, weil die Division durch null nicht definiert ist. Die Zahlen, die beim Einsetzen für<br />
die Variablen den Term nicht in eine Zahl überführen, gehören nicht zum Definitionsbereich des<br />
Terms.<br />
In der Gleichung<br />
2<br />
x + 1<br />
=<br />
1<br />
x - 2<br />
nimmt beim Einsetzen von - 1 (x + 1 = 0 ) dem<br />
Nenner des linken Bruchterms T den Wert 0 an, beim Einsetzen von 2 (x - 2 = 0 ) wird<br />
1<br />
der Nenner des rechten Bruchterms<br />
T gleich null. Beide Zahlen gehören deshalb nicht zum<br />
2<br />
20
Definitionsbereich D der Gleichung!!!. Die Lösung einer Gleichung mit Brüchen, deren Nenner<br />
Variablen enthalten, beginnt mit der Festlegung des Definitionsbereiches D der Gleichung.<br />
Musterlösung 1 :<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung?<br />
x<br />
1<br />
+<br />
( x + 3) x ( x - 3)<br />
1<br />
=<br />
2<br />
x<br />
2<br />
-<br />
9<br />
⇒<br />
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { − 3, 0, 3 }<br />
In der Gleichung (oben) wird durch Einsetzen von { 3, 0, 3 }<br />
− der Nenner des Bruchterms<br />
gleich null. Aber ein Nenner darf nicht null sein ( Nenner ≠ 0 und Nenner ≠ ∞ ). Daher<br />
dürfen { 3, 0, 3 }<br />
− nicht zur Lösungsmenge der Gleichung gehören.<br />
x<br />
1<br />
+<br />
1<br />
( x + 3) x ( x - 3) ( x + 3)( x - 3)<br />
=<br />
2<br />
⇒<br />
⋅ x( x<br />
−<br />
3 )( x<br />
+<br />
3 )<br />
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner x ( x 3)( x + 3)<br />
− multiplizieren)<br />
( x - 3) + ( x + 3) = 2 x ⇒<br />
x<br />
-<br />
3<br />
+<br />
x<br />
+<br />
3<br />
=<br />
2 x<br />
⇒<br />
2 x = 2 x<br />
14243<br />
⇒<br />
L<br />
=<br />
R<br />
\<br />
{ − 3, 0, 3 }<br />
21
Musterlösung 2:<br />
Lösung folgender Gleichung:<br />
3<br />
x<br />
-<br />
1<br />
=<br />
5<br />
2 x<br />
⇒<br />
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { 0 }<br />
3<br />
x<br />
-<br />
1<br />
=<br />
5<br />
2 x<br />
⇒<br />
⋅<br />
( 2 x )<br />
( 2) - 1 ⋅ ( 2 x) = ⇒<br />
3 ⋅ 5<br />
6 - 2 x = 5 ⇒<br />
-<br />
( 6 )<br />
- 2 x<br />
=<br />
5<br />
-<br />
6<br />
⇒<br />
- 2 x = - 1 ⇒<br />
:<br />
( - 2 )<br />
x<br />
=<br />
1<br />
2<br />
Musterlösung 3:<br />
Lösung folgender Gleichung:<br />
x<br />
x<br />
-<br />
-<br />
5<br />
2<br />
=<br />
1<br />
-<br />
x<br />
x<br />
+ 1<br />
- 2<br />
⇒<br />
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { 2 }<br />
22
x<br />
x<br />
-<br />
-<br />
5<br />
2<br />
+<br />
x<br />
x<br />
+ 1<br />
- 2<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
⋅<br />
( x - 2 )<br />
( x - 5) + ( x + 1) = x - 2 ⇒<br />
2 x<br />
-<br />
4<br />
=<br />
x<br />
-<br />
2<br />
⇒<br />
2 x - 4 = x - 2 ⇒<br />
-<br />
( x )<br />
2 x - x -<br />
4<br />
=<br />
- 2<br />
⇒<br />
x<br />
-<br />
4<br />
=<br />
- 2<br />
⇒<br />
+<br />
( 4 )<br />
x = 2<br />
dieses Element gehört nicht zur Definitionsmenge<br />
daher: L = { }<br />
Bespielaufgaben 2.2.2. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):<br />
Lösen Sie folgende Gleichungen:<br />
9 x - 7 4 x - 5<br />
a) -<br />
= 1<br />
3 x - 2 2 x - 3<br />
x<br />
b) - b = 0<br />
a<br />
x + a x + b<br />
c) +<br />
= 2<br />
x - b x - a<br />
23
2.3 Quadratische Gleichungen<br />
Die <strong>Allgemein</strong>e Form einer quadratischen Gleichung lautet:<br />
a x<br />
2<br />
+ b x + c = 0 ≠<br />
( a 0 )<br />
Erstens Lösungsverfahren (sog p, q – Formel):<br />
Sie läßt sich stets in die Normalform<br />
x<br />
2<br />
+<br />
p x<br />
+<br />
q<br />
=<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
=<br />
b<br />
a<br />
,<br />
q<br />
=<br />
c<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
überführen. Die (formalen) Lösungen dieser Gleichung lauten (sog p, q – Formel):<br />
Lösungen einer in der Normalform x<br />
2<br />
+ p x + q = 0 gegebenen quadratischen Gleichung<br />
(sog p, q – Formel)<br />
x<br />
1, 2<br />
=<br />
p<br />
-<br />
2<br />
±<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
2<br />
⎞ 2<br />
⎟ ⎠<br />
-<br />
q<br />
Das bedeutet 1. Lösung von x<br />
x<br />
1<br />
=<br />
p<br />
-<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
2<br />
⎞ 2<br />
⎟ ⎠<br />
-<br />
q<br />
p ⎛ p ⎞<br />
2. Lösung von x x = - -<br />
2<br />
⎜ ⎟ - q<br />
2 2 ⎝ 2 ⎠<br />
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante<br />
D<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
2<br />
⎞ 2<br />
⎟ ⎠<br />
-<br />
q<br />
wie folgt vorgenommen:<br />
24
D > 0 : Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
D = 0 : Eine reelle Lösung<br />
D < 0 : Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert)<br />
komplexe Zahlen.)<br />
Musterlösung 1:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
- 2 x<br />
2<br />
-<br />
4 x<br />
+<br />
6<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
- 2 x<br />
2<br />
- 4 x + 6 = 0 ⇒<br />
:<br />
(- 2 )<br />
x<br />
2<br />
+ 2 x - 3 = 0 ⇒<br />
( p = 2, q = -3 )<br />
D<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
q<br />
⇒<br />
D<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
(-3<br />
) ⇒<br />
D = 4 > 0 ⇒ Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1,<br />
2<br />
=<br />
-<br />
p<br />
2<br />
±<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
q<br />
⇒<br />
( p = 2, q = -3 )<br />
x<br />
1,<br />
2<br />
=<br />
-<br />
2<br />
2<br />
±<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
(-3<br />
) ⇒<br />
x<br />
1,<br />
2<br />
=<br />
-1<br />
±<br />
4<br />
⇒<br />
25
x<br />
1,<br />
2<br />
=<br />
-1<br />
±<br />
2<br />
x<br />
1<br />
=<br />
-1<br />
+ 2<br />
⇒<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
oder<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-1<br />
− 2<br />
⇒<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-3<br />
Lösungen: x = 1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-3<br />
Musterlösung 2:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
3 z<br />
2<br />
+<br />
9 z<br />
+<br />
6, 75<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
3 z<br />
2<br />
+ 9 z + 6, 75 = 0 ⇒<br />
:<br />
( 3 )<br />
z<br />
2<br />
+<br />
3 z<br />
+<br />
2,25<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
⎛ 3 ⎞<br />
D =<br />
2<br />
⎜ ⎟ -<br />
=<br />
⎝ 2 ⎠<br />
( 2,25) ⇒<br />
( p = 3, q 2,25 )<br />
D<br />
= 0<br />
⇒<br />
Eine<br />
reele<br />
Lösung<br />
26
z<br />
1<br />
=<br />
-<br />
3<br />
2<br />
±<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
-<br />
3<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
( 2,25 )<br />
⇒<br />
Lösung: z = 1, 5<br />
1<br />
Musterlösung 3:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung ?<br />
y<br />
2<br />
- 4 y + 13 = 0 ⇒<br />
=<br />
( p = − 4, q 13 )<br />
D<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
-4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
( 13 ) = -9 < 0 ⇒<br />
D<br />
<<br />
0<br />
keine<br />
reellen<br />
Lösungen<br />
Zweitens Lösüngsverfahren mit der binomischen Formel:<br />
a<br />
2<br />
-<br />
b<br />
2<br />
=<br />
( a - b )( a + b )<br />
Musterlösung 1:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
t<br />
2<br />
-<br />
9<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
( t - 3 )( t + 3 ) = 0 ⇒<br />
( t - 3 ) = 0 ⇒<br />
1<br />
t - 3 = 0 ⇒<br />
1<br />
+<br />
( 3 )<br />
27
t<br />
1<br />
=<br />
3<br />
oder<br />
t<br />
2<br />
+<br />
3<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
t + 3 = 0 ⇒<br />
2<br />
-<br />
( 3 )<br />
t<br />
2<br />
=<br />
-3<br />
Lösungen: t = 3<br />
1<br />
t<br />
2<br />
=<br />
-3<br />
Drittens Lösüngsverfahren mit quadratische Ergänzung:<br />
Wie kann man eine quadratische Gleichung in eine Binomische Form bringen?<br />
Musterlösung 1:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung ?<br />
x<br />
2<br />
+<br />
6 x<br />
+<br />
5<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
x<br />
2<br />
+<br />
6 x<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
⎠<br />
-<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
⎠<br />
+<br />
5<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
x<br />
2<br />
+<br />
6 x<br />
+<br />
2<br />
2<br />
( 3 ) - ( 3 ) + 5 = 0 ⇒<br />
2<br />
( x + 3 ) - 9 + 5 = 0 ⇒<br />
2<br />
( x + 3 ) - 4 = 0 ⇒<br />
28
2<br />
( x + 3 ) - 2 = 0 ⇒<br />
2<br />
( x + 3 - 2 )( x + 3 + 2 ) = 0 ⇒<br />
( x + 3 - 2 ) = 0 ⇒<br />
x + 1 = 0 ⇒<br />
1<br />
-<br />
( 1 )<br />
x<br />
1<br />
=<br />
−1<br />
oder ( x + 3 + 2 ) = 0 ⇒<br />
x<br />
2<br />
+<br />
5<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
−<br />
( 5 )<br />
x<br />
2<br />
=<br />
−5<br />
Lösungen: x = −1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
=<br />
−5<br />
Bespielaufgaben 2.3. (quadratische Gleichungen):<br />
Lösen Sie folgende Gleichungen:<br />
a) - 2 x<br />
2<br />
- 4 x + 6 = 0<br />
2<br />
b) ( 5 x + 3 ) - ( 4 x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) - 21<br />
2<br />
2<br />
c) 3 x<br />
2<br />
- 27 x + 54 = 0<br />
29
1 2 3<br />
d) + - = 0<br />
x x<br />
2<br />
x<br />
3<br />
1<br />
2 3<br />
e) +<br />
- = 0<br />
x - 4 x - 3 x - 1<br />
f) x<br />
2<br />
- 27 = 8<br />
g)<br />
4 x<br />
x - 3<br />
=<br />
3 x + 5<br />
x + 2<br />
+<br />
12<br />
x - 3<br />
1 1 1<br />
h) x<br />
2<br />
+ x - = 0<br />
3 4 12<br />
2.4 Wurzelgleichungen<br />
In Wurzelgleichungen tritt die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdrücken<br />
auf<br />
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, die man mit sich selbst<br />
multiplizieren muss, um a zu erhalten.<br />
a = b , wenn b<br />
2<br />
= a ( a, b ∈ R )<br />
z.B.:<br />
b<br />
2<br />
= 9<br />
⇒<br />
b<br />
= 3⋅3<br />
oder b = ( −3<br />
)( ⋅ −3<br />
)<br />
b =<br />
3<br />
Nach der Definition (so.) ist die Quadratwurzel stets positiv. Es ist deshalb<br />
a<br />
2<br />
= a , weil<br />
das Quadrieren Vorzeichnen von a eliminieren. Berücksichtigen wir bei einer ganzen Zahl nur die<br />
Länge ihres Pfeils, also nicht seine Richtung, so spricht man vom Betrag der Zahl. Wir bezeichnen<br />
30
den Betrag der Zahl a mit a und lesen „ Betrag von a “. a ist daher niemals negativ. Es ist<br />
demnach:<br />
-3<br />
-2 -1 0 1 2 3<br />
-3<br />
+3<br />
a = a bei a > 0 z.B. : + 5 = 5<br />
a -a<br />
< z.B. : - -<br />
= bei a 0<br />
( 5 ) = 5<br />
a = 0 bei a = 0 z.B. : 0 = 0<br />
Musterlösung 1:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
2 ⋅ x = 5<br />
⇒<br />
2 ⋅ x =<br />
2<br />
quadrieren<br />
14243<br />
T T<br />
1 2<br />
{<br />
5 ⇒<br />
() ( )<br />
4 x = 25 ⇒<br />
:<br />
( 4 )<br />
x<br />
=<br />
25<br />
4<br />
Probe bei Wurzelgleichungen unbedingt durchführen!!!<br />
auch wenn kein Rechenfehler vorliegt!!!<br />
31
25<br />
Probe: x = ist gefundene Lösung. Ist sie aber Lösung der vorgegebenen<br />
4<br />
Wurzelgleichung? Diese Frage kann nur durch eine Probe, d.h. durch Einsetzen von den<br />
gefundenen Werten in die Wurzelgleichung entschieden werden:<br />
⋅ 25<br />
2<br />
=<br />
{<br />
5 ⇒<br />
144<br />
243<br />
4 4 T<br />
T<br />
2<br />
1<br />
⎛ 5 ⎞<br />
2 ⋅<br />
2<br />
⎜ ⎟ = 5<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⇒<br />
5<br />
2 ⋅ = 5<br />
2<br />
⇒<br />
5 = 5 ⇒ T =<br />
1<br />
T<br />
2<br />
25<br />
x = ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.<br />
4<br />
L<br />
=<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
25<br />
4<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
Musterlösung 2:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
2 ⋅ t = -5<br />
⇒<br />
2⋅<br />
t = ⇒<br />
14243<br />
T T<br />
1 2<br />
{<br />
-5<br />
() 2<br />
32
4 t = 25 ⇒<br />
:<br />
( 4 )<br />
t<br />
=<br />
25<br />
4<br />
Probe:<br />
25<br />
2 ⋅<br />
4<br />
1 44243 4<br />
T<br />
1<br />
=<br />
-5<br />
213<br />
T<br />
2<br />
⇒<br />
⎛ 5 ⎞<br />
2 ⋅<br />
2<br />
⎜ ⎟ = -5<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⇒<br />
5<br />
2 ⋅ = -5<br />
2<br />
⇒<br />
5 ≠ -5 ⇒ T ≠<br />
1<br />
T<br />
2<br />
25<br />
t = ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung!!!<br />
4<br />
L<br />
=<br />
{}<br />
Musterlösung 3:<br />
Lösungsmenge folgender Gleichung:<br />
2 ⋅<br />
t<br />
+<br />
3<br />
=<br />
t<br />
⇒<br />
2 ⋅ t + 3 =<br />
{<br />
t<br />
144<br />
243<br />
4<br />
⇒<br />
T<br />
T<br />
1<br />
2<br />
33
2⋅<br />
t = t - 3 ⇒<br />
() 2<br />
Achtung!!!:<br />
( 5 − 2 )<br />
2<br />
≠ 5<br />
2<br />
− 2<br />
2<br />
≠ 25 − 4 ≠<br />
21<br />
sondern<br />
( 5<br />
−<br />
2 )<br />
2<br />
=<br />
5<br />
2<br />
−<br />
2⋅5⋅2<br />
+<br />
2<br />
2<br />
⇒<br />
( 5 − 2 )<br />
2<br />
= 25 − 20 + 4 =<br />
9<br />
4t<br />
= t<br />
2<br />
- 6 t + 9 ⇒<br />
-<br />
( 4t )<br />
t<br />
2<br />
- 10t + 9 = 0 ⇒ (quadratische Ergänzung)<br />
t<br />
2<br />
-<br />
10t<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
10<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
-<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
10<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+<br />
9<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
t<br />
2<br />
-<br />
10t<br />
+<br />
2<br />
2<br />
( 5 ) - ( 5 ) + 9 = 0 ⇒<br />
t<br />
2<br />
-<br />
10t<br />
+<br />
25<br />
-<br />
25<br />
+<br />
9<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
2<br />
( t - 5 ) - 16 = 0 ⇒ + ( 16 )<br />
t<br />
-<br />
5<br />
=<br />
± 16<br />
⇒<br />
t<br />
-<br />
5<br />
=<br />
± 4<br />
⇒<br />
34
t − 5 = 4<br />
+<br />
1<br />
t<br />
1<br />
=<br />
9<br />
( 5 )<br />
oder t - 5 = - 4 ⇒<br />
+ ( 5 )<br />
2<br />
t<br />
2<br />
=<br />
1<br />
Probe 1: für t = 9<br />
1<br />
2 ⋅ 9 +<br />
= {<br />
9<br />
144<br />
2443<br />
⇒<br />
T<br />
T<br />
1<br />
2<br />
9 = 9 ⇒ T =<br />
1<br />
T<br />
2<br />
t = 9 ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.<br />
1<br />
Probe 2: für t = 1<br />
1<br />
2 ⋅ 1 +<br />
= {<br />
1<br />
144<br />
2443<br />
⇒<br />
T<br />
T<br />
1<br />
2<br />
5 ≠ 1 ⇒ T ≠<br />
1<br />
T<br />
2<br />
t = 1 ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung<br />
2<br />
L =<br />
{ 9 }<br />
35
Bespielaufgaben 2.4 (Wurzelgleichungen):<br />
Lösen Sie folgende Gleichungen:<br />
a) 7 + x = 12<br />
b) 56 - x = x<br />
c) 2 x + 5 - 4 x - 4 + 1 = 0<br />
d) 9 x - 2 = 25 x - 1 - 4 x + 1<br />
2.5 Lineare Gleichungssysteme<br />
In diesem Abschnitt behandeln wir unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus bekannte<br />
Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.<br />
Der Gaußsche Algorithmus:<br />
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannte<br />
Größen x , x ,..., .<br />
1 2 xn<br />
Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in linearer Form, d.h. in der 1.<br />
Potenz auf, versehen noch mit einem konstanten Koeffizienten.<br />
Definition:<br />
Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten<br />
bestehende System vom Typ<br />
x ,<br />
1<br />
x ,...,x<br />
2 n<br />
a x + a x + ... + a x =<br />
11 1 12<br />
1n n<br />
c<br />
1<br />
a x<br />
21 1<br />
+ a x<br />
22 2<br />
+ ... + a x<br />
2n n<br />
=<br />
M<br />
M<br />
a x<br />
m1 1<br />
+ a x<br />
m2 2<br />
+ ... + a x<br />
mn n<br />
=<br />
c<br />
2<br />
c<br />
m<br />
36
heißt ein lineares Gleichungssystem. Die reellen Zahlen a ik sind die<br />
Koeffizienten des Systems, die Zahlen c i werden als Absolutglieder<br />
bezeichnet (i = 1, 2,…, m; k = 1, 2,.., n)<br />
Musterlösung 1:<br />
Lösung für x und y zu bestimmen:<br />
(I) 2 x - 5 y = 2<br />
(II) x + y = 1<br />
ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten Größen x und y.<br />
Das von Gauß stammende Verfahren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist ein<br />
Eliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch<br />
eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten übrig bleibt. In unserem Bespiel eliminieren wir<br />
zunächst die unbekannte Größe x wie folgt:<br />
Wir addieren zur I. Gleichung das -2-fache der II. Gleichung. Bei der Addition fällt dann jeweils<br />
die Unbekannte Größe x heraus:<br />
( I ) 2 x - 5 y =<br />
2<br />
( II<br />
)<br />
x<br />
+<br />
y<br />
=<br />
1<br />
( I ) 2 x - 5 y =<br />
2<br />
( 2⋅<br />
I )<br />
- 2 x<br />
-<br />
2 y<br />
=<br />
- 2<br />
(I + 2⋅I)<br />
- 7 y = 0 ⇒ y =<br />
0<br />
Durch Ersetzen dieses Wert ( y = 0 ) in eine darüber stehende Gleichung erhält man den Wert<br />
für x. Ersetzen wir y = 0 in II. Gleichung:<br />
37
für y = 0<br />
x<br />
+ y = 1<br />
⇒<br />
x<br />
+ 0 = 1<br />
⇒<br />
x =<br />
1<br />
Ergebnisse :<br />
x<br />
=<br />
1<br />
y<br />
=<br />
0<br />
Musterlösung 2:<br />
Lösung für x, y und z zu bestimmen:<br />
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Größen x, y und z.<br />
( I<br />
)<br />
- x<br />
+<br />
y<br />
+<br />
z<br />
=<br />
0<br />
( II<br />
)<br />
x<br />
-<br />
3 y<br />
-<br />
2 z<br />
=<br />
5<br />
( III<br />
)<br />
5 x<br />
+<br />
y<br />
+<br />
4 z<br />
=<br />
3<br />
Eliminationsverfahren:<br />
Wir addieren zur II. Gleichung die I. Gleichung und zur III.<br />
Gleichung das 5-fache der I. Gleichung. Bei der Addition fällt dann<br />
jeweils die Unbekannte Größe x heraus:<br />
( II<br />
)<br />
x<br />
-<br />
3 y<br />
-<br />
2 z<br />
=<br />
5<br />
(I) - x + y + z =<br />
0<br />
(I + II) - 2 y - z =<br />
5<br />
38
(III)<br />
5 x<br />
+<br />
y<br />
+<br />
4 z<br />
=<br />
3<br />
( 5⋅<br />
I) -5 x + 5 y + 5 z =<br />
0<br />
(III + 5⋅I)<br />
6 y + 9 z =<br />
3<br />
Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden<br />
Unbekannten y und z reduziert:<br />
(I + II)<br />
- 2 y - z =<br />
5<br />
(III + 5⋅I)<br />
6 y + 9 z =<br />
3<br />
Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur<br />
Gleichung (III + 5⋅I)<br />
das 3 fache der Gleichung (I + II)<br />
(III + 5⋅I)<br />
6 y + 9 z =<br />
3<br />
3 ⋅ (I + II)<br />
-6 y - 3 z =<br />
15<br />
( III + 5⋅I<br />
) + ( 3⋅(<br />
I + II ))<br />
6 z =<br />
18<br />
Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und<br />
(I + II) bilden zusammen mit der übrig<br />
gebliebenen Gleichung (III + 5⋅I)<br />
ein sog. Gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe<br />
nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden können:<br />
(I)<br />
- x<br />
+<br />
y<br />
+<br />
z<br />
=<br />
0<br />
(I<br />
+<br />
II)<br />
- 2 y<br />
-<br />
z<br />
=<br />
5<br />
(III<br />
+<br />
5⋅I)<br />
6 z<br />
=<br />
18<br />
Aus der letzten Gleichung folgt z = 3. Durch einsetzen dieses Wertes in die darüber stehende<br />
Gleichung erhält man für y den Wert – 4. Aus der I. Gleichung schließlich ergibt sich:<br />
39
Ergebnisse :<br />
x<br />
=<br />
−1<br />
y<br />
z<br />
=<br />
=<br />
−4<br />
3<br />
Bespielaufgaben 2.5 (lineare Gleichungssysteme):<br />
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:<br />
a) 24 x + 7 y = 27<br />
8 x<br />
-<br />
33 y<br />
=<br />
115<br />
b) 2 s - t = 1<br />
- s<br />
+<br />
2t<br />
=<br />
2<br />
x + 3 y<br />
c) = 8<br />
x - y<br />
7 x - 13<br />
3 y - 5<br />
=<br />
4<br />
d) - x + x = -4<br />
1 2<br />
- x<br />
1<br />
+<br />
x<br />
2<br />
+<br />
2 x<br />
3<br />
=<br />
3<br />
2 x<br />
1<br />
+<br />
x<br />
2<br />
+<br />
3 x<br />
3<br />
=<br />
7<br />
e) 2 x - x = 1<br />
1 2<br />
- 7 x<br />
1<br />
+<br />
3,5 x<br />
2<br />
=<br />
7<br />
40
3. Trigonometrische Funktionen<br />
Trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) sind periodische Funktionen und<br />
daher zur Beschreibung und Darstellung periodischer Bewegungsabläufe besonders geeignet. z.B.<br />
Mechanische und elektromagnetische Schwingungen (z.B. Federpendel, elektromagnetischer<br />
Schwingkreis), Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen, Gekoppelte Schwingungen,<br />
Ausbreitung von Wellen.<br />
3.1. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck<br />
Die vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangen sind zunächst nur<br />
für Winkel 0° und 90° als gewisse Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck definiert.<br />
c<br />
a<br />
a: Gegenkathete<br />
b: Ankathete<br />
c: Hypotenuse<br />
ß<br />
b<br />
Trigonometrische Funktion:<br />
Umkehrfunktion im Bereich<br />
0° ≤ β ≤ 90°<br />
:<br />
sin β =<br />
Gegenkathede a<br />
⎛ a ⎞<br />
=<br />
arcsin ⎜ ⎟<br />
Hypotenuse c<br />
⎝ c ⎠<br />
= β<br />
cos β =<br />
Ankathede b<br />
⎛ b ⎞<br />
=<br />
arccos ⎜ ⎟<br />
Hypotenuse c<br />
⎝ c ⎠<br />
= β<br />
Gegenkathede a a / c<br />
tan β =<br />
= = =<br />
Ankathede b b / c<br />
sin β<br />
cos β<br />
⎛<br />
arctan ⎜<br />
⎝<br />
a<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
β<br />
Ankathede b b / c cos β<br />
cot β = = = =<br />
⎛ b ⎞<br />
arc cot ⎜ ⎟ = β<br />
Gegenkathede a a / c sin β<br />
⎝ a ⎠<br />
41
3.2. Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)<br />
Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen. Als Gradmaß verwenden wir das sog.<br />
Altgrad, d.h. eine Unterteilung des Kreises in 360 Grade. Das Bogenmaß definieren wir wie folgt:<br />
Definition:<br />
Unter dem Bogenmaß x eines Winkel β (im Gradmaß) verstehen wir die Länge<br />
desjenigen Bogens, der dem Winkel β im Einheitskreis (Radius r = 1)<br />
gegenüberliegt (Bild 3.2.1).<br />
v<br />
1<br />
ß<br />
Bogenmaß x<br />
u<br />
Bild 3.2.1.<br />
Anmerkung:<br />
Das Bogenmaß x lässt sich auch etwas allgemeiner definieren. Ist b die Länge des Bogens, der in<br />
einem Kreis vom Radius r dem Winkel β gegenüber liegt, so gilt (Bild 3.2.1.):<br />
Bogenlänge<br />
x =<br />
=<br />
Radius<br />
b<br />
r<br />
Das Bogenmaß ist demnach eine dimensionslose Größe, die „Einheit“ Radiant (rad) wird meist<br />
weggelassen.<br />
42
Zwischen Bogenmaß x und Gradmaß β besteht die lineare Beziehung :<br />
x<br />
β<br />
=<br />
2π<br />
360°<br />
=<br />
π<br />
180°<br />
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.<br />
Musterlösung 1:<br />
Umrechnung vom Gradmaß (α) ins Bogenmaß (x):<br />
x<br />
=<br />
π<br />
180°<br />
⋅α<br />
α 30° 45° 90° 180° 225° 360°<br />
x<br />
π<br />
6<br />
π<br />
4<br />
π<br />
2<br />
π<br />
5<br />
π<br />
4<br />
2 π<br />
Musterlösung 2:<br />
Umrechnung vom Bogenmaß (x) ins Gradmaß (α):<br />
α<br />
=<br />
180°<br />
π<br />
⋅ x<br />
x 0,43 0,98 1,61 2,08 4,12 π<br />
α 24,64° 56,15° 92,25° 119,18° 236,06° 180°<br />
3.3. Drehsinn eines Winkels<br />
Drehsinn eines Winkels: Im Gegenuhrzeigersinn überstrichene Winkel werden positiv (positiver<br />
Drehsinn), im Uhrzeigersinn überstrichene Winkel negativ gezählt (negativer Drehsinn) (Bild<br />
3.3.1.).<br />
43
v<br />
1<br />
ß<br />
-ß<br />
P<br />
P'<br />
x<br />
u<br />
- x<br />
Bild 3.3.1. Zur Festlegung de Drehsinns eines Winkels<br />
3.4. Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis<br />
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Ordinatenwert des zu β gehörenden<br />
Punktes P auf dem Einheitskreis (Bild 3.4.1). .Bei einem vollen Umlauf auf dem Einheitskreis (im<br />
positiven Drehsinn) durchläuft der Winkel β alle Werte zwischen 0° und 360° und die<br />
Sinusfunktion sin β dabei alle Werte im Intervall [ − 1, 1]<br />
, d.h. sin β ≤ 1.<br />
Unter dem Kosinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Abszissenwert des Punktes P auf<br />
dem Einheitskreis wieder (Bild 3.4.1.). Analoge Überlegungen wie beim Sinus führen schließlich<br />
zu der für beliebige Winkel β definierten Kosinusfunktion cos β , cos β ≤ 1 .<br />
v<br />
1<br />
ß<br />
cos ß<br />
P<br />
sin ß<br />
u<br />
Bild 3.4.1 Darstellung von Sinus und Kosinus im Einheitskreis<br />
44
Es gilt also:<br />
sin (180°<br />
− β ) = sin β<br />
Bespielaufgaben 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):<br />
Begründen Sie folgende Ausdrücke am (am Einheitskreis):<br />
sin (180° − β ) = sin β cos(180° − β ) = −cos<br />
β tan(180°<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin(180° + β ) = − sin β cos(180° + β ) = −cos<br />
β tan (180°<br />
+ β ) = tan β<br />
sin( 360° − β ) = − sin β cos ( 360° − β ) = cos β tan( 360°<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin ( 360° + β ) = sin β cos ( 360° + β ) = cos β tan ( 360°<br />
+ β ) = tan β<br />
sin(<br />
− β ) = − sin β<br />
cos ( − β ) = cos β<br />
tan(<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin( β )<br />
π<br />
π<br />
= cos( β − ) cos( β ) = sin( β + )<br />
2<br />
2<br />
Tabelle 3.4.1: Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (k Є Z)<br />
y = sin x<br />
y = cos x<br />
Definitionsbereich<br />
−∞<br />
< x < ∞ −∞<br />
< x < ∞<br />
Wertebereich − 1 ≤ y ≤ 1<br />
− 1 ≤ y ≤ 1<br />
Periode (primitive) 2 π 2 π<br />
Symmetrie ungerade gerade<br />
Nullstellen<br />
Relative Maxima<br />
Relative Minima<br />
π<br />
x k<br />
= k π<br />
x k<br />
= + k π<br />
2<br />
π<br />
x k<br />
= + k 2π<br />
x k<br />
= k 2π<br />
2<br />
3<br />
x k<br />
= π + k 2π<br />
x k<br />
= π + k 2π<br />
2<br />
45
3.5. Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen<br />
3.5.1. „Trigonometrischer Pythagoras“ (Bild 3.5)<br />
2<br />
2<br />
( sin α ) + ( cosα<br />
) = sin α + cos α = 1<br />
2<br />
2<br />
v<br />
1<br />
ß<br />
cos ß<br />
P<br />
sin ß<br />
u<br />
Bild 3.5.1. zur Herleitung des „trigonometrischen Pythagoras“<br />
3.5.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion<br />
sin<br />
( ± ) = sin ( ) cos ( ) ± cos ( ) sin( )<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
( ± ) = cos ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( )<br />
x 2<br />
cos x 1 x 2 x 1 x 2 m<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 2<br />
tan<br />
( ± )<br />
x 1<br />
x 2<br />
=<br />
1<br />
tan<br />
m<br />
( x 1 ) ± tan ( x 2 )<br />
tan ( ) tan ( )<br />
x 1<br />
x 2<br />
Aus ihnen lassen sich weitere wichtige Beziehungen herleiten. Setzt man in den<br />
Additionstheoremen von Sinus und Kosinus jeweils x1 = x2 = x und nimmt das obere Vorzeichen,<br />
so erhält man folgende Formeln:<br />
sin<br />
( 2 x ) = 2 sin( x ) cos ( x )<br />
cos<br />
2<br />
( 2 x ) = cos ( x ) - sin ( x )<br />
2<br />
46
Aus diesen wiederum ergeben sich zusammen mit dem „trigonometrischen Pythagoras“ die<br />
Beziehungen:<br />
2<br />
sin<br />
1<br />
2<br />
( x ) = [ 1 - cos ( 2 x )]<br />
cos<br />
2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
( x ) [ 1 + cos ( 2 x )]<br />
3.5.3. Sinussatz<br />
Für ein beliebiges Dreieck gilt:<br />
a<br />
sin<br />
=<br />
b<br />
sin<br />
c<br />
sin<br />
( A ) ( B ) ( C )<br />
=<br />
B<br />
c<br />
a<br />
b<br />
C<br />
A<br />
3.5.4. Kosinussatz<br />
Für ein beliebiges Dreieck (gemäß Skizze) gelten die folgenden drei Beziehungen:<br />
a<br />
2<br />
=<br />
b<br />
2<br />
+<br />
c<br />
2<br />
-<br />
2⋅b⋅c⋅cos<br />
( A )<br />
b<br />
2<br />
=<br />
a<br />
2<br />
+<br />
c<br />
2<br />
-<br />
2 a⋅<br />
c⋅cos<br />
( B )<br />
c<br />
2<br />
=<br />
a<br />
2<br />
+<br />
b<br />
2<br />
-<br />
2⋅<br />
a⋅b⋅cos<br />
( C )<br />
47
Musterlösung 1:<br />
Gegeben: sin ( α )<br />
=<br />
3<br />
2<br />
Gesucht: cos ( α )<br />
sin<br />
2. Quadranten<br />
2 /3<br />
√3/2<br />
2<br />
1. Quadranten<br />
/3<br />
-1/2 1/2<br />
1<br />
cos<br />
3. Quadranten 4. Quadranten<br />
„Trigonometrischer Pythagoras“<br />
2<br />
( sinα<br />
) + ( cosα<br />
) = 1 ⇒<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ 2<br />
⎠<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
3<br />
+ = 1<br />
4<br />
⇒<br />
2<br />
cos α<br />
+<br />
3<br />
4<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
-<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
cos<br />
2<br />
α = 1 -<br />
3<br />
4<br />
⇒<br />
48
2<br />
cos α<br />
=<br />
4⋅<br />
( 1 ) − 4⋅( 3 )<br />
4⋅( 1 )<br />
⇒<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
4<br />
-<br />
4<br />
3<br />
⇒<br />
2<br />
cos α<br />
=<br />
1<br />
4<br />
⇒<br />
( )<br />
cos α<br />
1<br />
2<br />
( ) = ± ⇒<br />
1<br />
( α ) = ⇒ α =<br />
π + 2 k<br />
cos<br />
1<br />
π<br />
1 2<br />
3<br />
1<br />
2π<br />
( α ) = ⇒ α = + 2π<br />
k<br />
( k Z )<br />
cos<br />
2<br />
∈<br />
2 2<br />
3<br />
Musterlösung 2:<br />
Gegeben: a = 138 m, α = 64° und β = 53°<br />
Gesucht:<br />
c<br />
b<br />
h<br />
a<br />
p<br />
c<br />
q<br />
ß<br />
49
α + β + θ = 180°<br />
⇒ (Winkel Summe eines Dreiecks)<br />
θ<br />
= 180°<br />
− ( α + β )<br />
⇒<br />
θ<br />
= 63°<br />
⇒<br />
sinθ<br />
sin β<br />
=<br />
a<br />
c<br />
⇒<br />
c<br />
sinθ<br />
= ⋅a<br />
sinα<br />
⇒<br />
sin63°<br />
c = ⋅138<br />
⇒ c =<br />
sin64°<br />
136,8<br />
m<br />
Musterlösung 2:<br />
Gegeben:<br />
4<br />
3<br />
sin α = , sin ß = und a = 130 m<br />
5<br />
5<br />
Gesucht:<br />
c<br />
b<br />
a<br />
b<br />
h<br />
a<br />
c<br />
ß<br />
p<br />
c<br />
q<br />
ß<br />
50
2<br />
( sin α ) + ( cosα<br />
) = 1 ⇒<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
5<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
16<br />
25<br />
+ cos<br />
2<br />
α = 1<br />
⇒<br />
16<br />
25<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
− (<br />
16<br />
25<br />
)<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
1<br />
−<br />
16<br />
25<br />
⇒<br />
cos<br />
2<br />
α<br />
=<br />
25 −<br />
25<br />
16<br />
⇒<br />
9<br />
cos<br />
2<br />
α = ⇒ cos α =<br />
25<br />
3<br />
5<br />
gemäß Skizze<br />
cos α =<br />
3<br />
5<br />
( sin β )<br />
2<br />
+ ( cos β)<br />
2<br />
= 1<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
5<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
β<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
9<br />
25<br />
+ cos<br />
2<br />
β = 1<br />
⇒<br />
9<br />
25<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
β<br />
=<br />
1<br />
⇒<br />
−<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
9<br />
25<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
51
2<br />
cos β<br />
=<br />
1<br />
−<br />
9<br />
25<br />
⇒<br />
cos<br />
2<br />
β<br />
=<br />
25 −<br />
25<br />
9<br />
16<br />
cos<br />
2<br />
β = ⇒ cos β = ±<br />
25<br />
4<br />
5<br />
4<br />
3<br />
sin α = , sin ß = und a = 130 m<br />
5<br />
5<br />
gemäß Skizze<br />
cos β =<br />
4<br />
5<br />
b ⋅ cosα<br />
+ a ⋅ cos β =<br />
c<br />
( 1)<br />
b ⋅sinα<br />
=<br />
a⋅sin<br />
β<br />
⇒<br />
( 2)<br />
4 3<br />
b ⋅ = 130⋅<br />
⇒ b = 97,5 m<br />
(Einsetzen in (1))<br />
5 5<br />
3 4<br />
97 ,5 ⋅ + 130⋅<br />
= c ⇒ c =<br />
5 5<br />
162,5 m<br />
Bespielaufgaben 3. (Trigonometrische Funktionen):<br />
1) Wie hoch ist ein Turm, der unter dem Winkel von 2° in der Ferne erscheint und nach der<br />
Kante 5 km entfernt ist?<br />
2) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen<br />
a) sin<br />
2<br />
x + sin x = 0<br />
52
) 3 sin<br />
2<br />
x + 7 cos<br />
2<br />
x = 4<br />
3) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme:<br />
a) sin ( 2α<br />
) = 2 sin ( α ) cos ( α )<br />
2<br />
b) sin ( α ) = ( 1 - cos( 2α ))<br />
1<br />
2<br />
c) sin ( 3α<br />
) = 3 sin( α ) - 4sin<br />
( α )<br />
3<br />
d) cos ( 2α<br />
) = cos ( α ) - sin<br />
( α )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
e) cos ( α ) = ( 1 + cos( 2α ))<br />
1<br />
2<br />
4. Exponential- und Logarithmusgleichungen<br />
Eine Exponentialgleichung liegt vor, wenn die Unbekannte Größe nur im Exponenten von<br />
Potentialdrücken auftritt. Ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen dieser Art lässt sich<br />
leider nicht angeben. In vielen Fällen gelingt es jedoch, die Exponentialgleichung nach<br />
elementaren Umformungen und anschließendem Logarithmieren zu lösen.<br />
+<br />
Für alle a ∈ R gilt; a<br />
b<br />
= x ⇒ b = log x ; ( b > 0; a > 0 und a ≠ 1)<br />
a<br />
für den Exponenten x führt man die Bezeichnung „Logarithmus von x zur Basis a “ ein<br />
53
Beispiele:<br />
3<br />
(1) 10 ⇒<br />
log ( )<br />
10<br />
log 10<br />
3<br />
=<br />
10<br />
3<br />
(2) log 32 = log 2<br />
5<br />
= 5<br />
2 2<br />
(3) 0,01<br />
⇒<br />
log ()<br />
10<br />
log 10<br />
10<br />
- 2<br />
=<br />
- 2<br />
4.1. Rechenregeln für Logarithmen<br />
Für alle<br />
+<br />
a ∈ R gilt<br />
1) log ( x⋅<br />
y ) = log x + log y<br />
a<br />
a<br />
a<br />
x<br />
2) log = log x - log y<br />
a y a a<br />
3) log x<br />
n<br />
= n⋅log<br />
x<br />
a<br />
a<br />
4) log a<br />
n<br />
n⋅log<br />
a = n<br />
a<br />
a<br />
= ( log = 1 )<br />
a a<br />
5) log 1 = 0<br />
a<br />
54
Beispiele (Rechenregeln für Logarithmen):<br />
1) log ( 8⋅4 ) = log 8 + log 4 ⇒<br />
2<br />
2 2<br />
log 2<br />
3<br />
+ log 2<br />
2<br />
= 3 + 2 =<br />
2 2<br />
5<br />
⎛ 81 ⎞<br />
2) log3⎜<br />
⎟ = log 3 81 - log 3 27 ⇒<br />
⎝ 27 ⎠<br />
log 3<br />
4<br />
- log 3<br />
3<br />
= 4 − 3 =<br />
3 3<br />
1<br />
4<br />
5 125<br />
3) log = 4⋅( 125 ) ⇒<br />
log 5<br />
4 ⋅ (log 5<br />
3<br />
) = 4⋅3<br />
=<br />
5<br />
12<br />
4.2. Spezielle Logarithmen<br />
log r =<br />
e<br />
ln r<br />
(natürliche<br />
Logarithmus)<br />
log r =<br />
10<br />
lg r<br />
(Zehnerlogarithmus)<br />
log r =<br />
2<br />
lb r<br />
(Zweierlogarithmus<br />
55
4.3. Basiswechsel a b<br />
log<br />
b<br />
r<br />
=<br />
log r<br />
a<br />
log b<br />
a<br />
=<br />
1<br />
( ) ⋅log<br />
r<br />
log b a<br />
14243 a<br />
K<br />
=<br />
K ⋅log<br />
r<br />
a<br />
So gilt beispielsweise für die Umrechnung zwischen dem Zehnerlogarithmus und dem natürlichen<br />
Logarithmus:<br />
ln r<br />
=<br />
lg r<br />
lg e<br />
=<br />
lg r<br />
0,4343<br />
=<br />
2,3026 ⋅lg r<br />
lg r<br />
=<br />
ln r<br />
ln10<br />
=<br />
ln r<br />
2,3026<br />
=<br />
0,4343⋅ln r<br />
Musterlösungen 1:<br />
a) log 8 = 2 = log 2<br />
3<br />
= 3<br />
2<br />
2<br />
b) log 625 = log 5<br />
4<br />
= 4<br />
5<br />
5<br />
4<br />
c) log 0,004 = log ⇒<br />
5<br />
5 100<br />
log<br />
5<br />
1<br />
25<br />
=<br />
log<br />
5<br />
- 2<br />
5<br />
=<br />
- 2<br />
56
Musterlösung 2:<br />
5⋅<br />
2<br />
x<br />
- 3 = 7 ⇒ ( Auflösung nach<br />
x<br />
2<br />
)<br />
5⋅<br />
2<br />
x<br />
- 3 = 7 ⇒<br />
+<br />
( 3 )<br />
5 ⋅2<br />
x<br />
= 3 + 7<br />
⇒<br />
5 ⋅ 2<br />
x<br />
= 10 ⇒ :<br />
( 5 )<br />
2<br />
x<br />
= 2 ⇒<br />
log () (Logarithmieren)<br />
2<br />
log 2<br />
x<br />
= log 2 ⇒ x =<br />
2 2<br />
1<br />
Musterlösung 3:<br />
4⋅<br />
2<br />
x<br />
- 1 = 15 ⇒ ( Auflösung nach<br />
x<br />
2<br />
)<br />
4⋅<br />
2<br />
x<br />
- 1 = 15 ⇒<br />
+<br />
( 1 )<br />
4 ⋅2<br />
x<br />
= 1 + 15<br />
⇒<br />
4 ⋅ 2<br />
x<br />
= 16 ⇒ :<br />
( 4 )<br />
2<br />
x<br />
= 4 ⇒<br />
ln () (logarithmieren)<br />
ln 2<br />
x<br />
=<br />
ln 4<br />
⇒<br />
57
x ⋅ln 2 = ln4<br />
⇒<br />
ln 4<br />
x = =<br />
ln 2<br />
2<br />
Musterlösung 4:<br />
3<br />
x<br />
-<br />
4<br />
=<br />
2<br />
⇒<br />
3<br />
x<br />
3<br />
4<br />
=<br />
2<br />
⇒<br />
⋅ ⎜<br />
⎛<br />
⎝<br />
3<br />
4<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
3<br />
x<br />
=<br />
2⋅3<br />
4<br />
⇒<br />
3<br />
x<br />
= 162 ⇒ ln () (logarithmieren)<br />
x⋅<br />
ln 3<br />
=<br />
ln162<br />
⇒<br />
x<br />
=<br />
ln162<br />
ln 3<br />
Musterlösung 5:<br />
2 x<br />
e<br />
= 1<br />
⇒<br />
2 x<br />
e<br />
= 1 ⇒ ln( ) (logarithmieren)<br />
2 x<br />
⋅ lne = ln1<br />
⇒<br />
2 x<br />
⋅ log e = log 1<br />
e e<br />
⇒<br />
2 x = 0 ⇒ x =<br />
0<br />
58
Musterlösung 6:<br />
2<br />
x<br />
+<br />
- x<br />
4⋅2<br />
+ 2 = 0<br />
⇒<br />
4<br />
2<br />
x<br />
+ + 2 = 0 ⇒<br />
(Substitution<br />
2<br />
x<br />
z = 2<br />
x<br />
)<br />
z<br />
+<br />
4<br />
z<br />
+<br />
2<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
⋅<br />
( z )<br />
( z ≠ 0 und z ≠ ∞)<br />
z<br />
2<br />
+<br />
4<br />
+<br />
2 z<br />
=<br />
0<br />
⇒<br />
2<br />
( z + 2 ) = 0 ⇒<br />
z + 2 = 0 ⇒<br />
-<br />
( 2 )<br />
z = -2<br />
z<br />
= 2<br />
x<br />
⇒<br />
log () (logarithmieren)<br />
2<br />
x = log ( -2 ) ist nicht definiert!!!<br />
2<br />
daher: x = {}<br />
Weil a<br />
b<br />
= x ⇒ b = log x ( b > 0, a > 0 und a ≠ 1)<br />
a<br />
59
Bespielaufgaben 4. (Exponential- und Logarithmusgleichungen):<br />
1) Berechnen Sie mit Hilfe von lg( 3 ) = 0, 477 ohne Rechner:<br />
a) lg ( 9 ) b) lg ( 10 )<br />
c) lg ( 0,9 )<br />
⎛ 1 ⎞<br />
lg e) lg ⎜ ⎟ f)<br />
⎝ 3 ⎠<br />
d) ( 3 )<br />
10<br />
3<br />
2) Lösen Sie folgende Gleichungen:<br />
x - 1<br />
⎛ 1 ⎞<br />
a) 3 = 27<br />
b)<br />
x<br />
⎜ ⎟⎠ = 20<br />
⎝ 2<br />
c)<br />
2 x - 4<br />
256 ⋅ 0,5 = 2<br />
x<br />
d)<br />
4 x<br />
3<br />
-<br />
4<br />
=<br />
3<br />
x<br />
3<br />
+<br />
1<br />
e)<br />
⎛ 20 x<br />
⎜ b<br />
⎝<br />
-<br />
7<br />
9<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
-<br />
3 x<br />
=<br />
⎛ 15 x<br />
⎜ b<br />
⎝<br />
-<br />
3<br />
⎞ 7<br />
⎟ ⎠<br />
-<br />
4 x<br />
1<br />
f)<br />
⎛ x + 1 x - 1<br />
=<br />
⎞<br />
⎜ 8 - 8 ⎟<br />
2 ⎝<br />
⎠<br />
15 g) log ( 2 x + 3 )<br />
10<br />
=<br />
3<br />
4<br />
60
5. Lösungen von Beispielaufgaben:<br />
Beispielaufgaben 1.1. (Brüche):<br />
a)<br />
a<br />
2<br />
- ba +<br />
2<br />
b<br />
b)<br />
1<br />
2 s<br />
4<br />
c) 1 - u<br />
2<br />
- u<br />
d)<br />
x<br />
a<br />
+<br />
1<br />
Beispielaufgaben 1.2. (Potenzen):<br />
a)<br />
9 b<br />
2<br />
20 b<br />
b)<br />
m + 1<br />
8 y<br />
2m<br />
5 x z<br />
c)<br />
5a<br />
3 z<br />
( x - y )<br />
Beispielaufgaben 1.3. (Wurzeln):<br />
a)<br />
( a + b )<br />
b a<br />
2<br />
b) 16<br />
61
c)<br />
1<br />
28<br />
d) 13<br />
Beispielaufgaben 2.1 (Lineare Gleichungen):<br />
a) 6<br />
b) 11<br />
c) 3<br />
d) 5<br />
e) 4<br />
f) a<br />
Beispielaufgaben 2.2.1.a (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen<br />
enthalten):<br />
a) - 15<br />
b)<br />
7<br />
-<br />
11<br />
c) - 8<br />
62
Bespielaufgaben 2.2.1.b (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen<br />
enthalten):<br />
⎡ 4<br />
a) ⎢-<br />
⎣ 5<br />
,<br />
⎞<br />
∞ ⎟<br />
⎠<br />
⎛ 8 ⎞<br />
b) ⎜-<br />
∞, - ⎟<br />
⎝ 11 ⎠<br />
⎛ 5 ⎞<br />
c) ⎜ , ∞ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛ 29 ⎞<br />
d) ⎜ , ∞ ⎟<br />
⎝ 15 ⎠<br />
Bespielaufgaben 2.2.2. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):<br />
a) 1<br />
b) b a<br />
1<br />
2<br />
c) ( a + b )<br />
Bespielaufgaben 2.3. (quadratische Gleichungen):<br />
a) Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1<br />
=<br />
-3<br />
x =<br />
2<br />
1<br />
63
) Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert) komplexe Zahlen.)<br />
x = -1 +<br />
1<br />
2i<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-1<br />
-<br />
2i<br />
c) Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1<br />
=<br />
6<br />
x<br />
2<br />
=<br />
3<br />
d) Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-3<br />
e) Eine reelle Lösung<br />
x<br />
1<br />
=<br />
25<br />
7<br />
f) Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1<br />
=<br />
35<br />
x = -<br />
2<br />
35<br />
64
g) Eine reelle Lösung<br />
x<br />
1<br />
=<br />
-3<br />
h) Zwei verschiedene reelle Lösungen<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
4<br />
x = - 1<br />
2<br />
Bespielaufgaben 2.4 (Wurzelgleichungen):<br />
a) x = 25<br />
b) x = 49<br />
c) x = 10<br />
d) x = 2<br />
Bespielaufgaben 2.5 (lineare Gleichungssysteme):<br />
a) x = 2<br />
y<br />
=<br />
-3<br />
b)<br />
s<br />
=<br />
4<br />
3<br />
t<br />
=<br />
5<br />
3<br />
65
c) x = 11<br />
y<br />
=<br />
7<br />
d)<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
6<br />
x<br />
2<br />
=<br />
-<br />
23<br />
6<br />
x<br />
3<br />
=<br />
7<br />
2<br />
e) keine Lösung<br />
Bespielaufgaben 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):<br />
sin (180° − β ) = sin β cos(180° − β ) = − cos β tan(180°<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin(180° + β ) = − sin β cos(180° + β ) = −cos<br />
β tan (180°<br />
+ β ) = tan β<br />
sin( 360° − β ) = − sin β cos ( 360° − β ) = cos β tan( 360°<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin ( 360° + β ) = sin β cos ( 360° + β ) = cos β tan ( 360°<br />
+ β ) = tan β<br />
sin(<br />
− β ) = − sin β<br />
cos ( − β ) = cos β<br />
tan(<br />
− β ) = −tan<br />
β<br />
sin( β )<br />
π<br />
π<br />
= cos( β − ) cos( β ) = sin( β + )<br />
2<br />
2<br />
Bespielaufgaben 3. (Trigonometrische Funktionen):<br />
1) 174 , 6<br />
2) a)<br />
lsg . :<br />
=<br />
0,<br />
-<br />
π<br />
2<br />
66
)<br />
π π 2π<br />
lsg.<br />
: , - , , -<br />
3 3 3<br />
2π<br />
3<br />
3) a) sin ( 2α<br />
) = 2 sin ( α ) cos ( α )<br />
2<br />
b) sin ( α ) = ( 1 - cos( 2α ))<br />
1<br />
2<br />
c) sin ( 3α<br />
) = 3 sin( α ) - 4sin<br />
( α )<br />
3<br />
d) cos ( 2α<br />
) = cos ( α ) - sin<br />
( α )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
e) cos ( α ) = ( 1 + cos( 2α ))<br />
1<br />
2<br />
Bespielaufgaben 4. (Exponential- und Logarithmusgleichungen):<br />
1) a) 0 , 954<br />
b) 1<br />
c) - 0, 046<br />
d) 0 , 24<br />
e) - 0, 48<br />
f) 4 , 8<br />
2) a) 4<br />
b)<br />
-<br />
ln( 20 )<br />
ln( 2 )<br />
67
c) 4<br />
d) 2<br />
e)<br />
1<br />
2<br />
f)<br />
40<br />
ln( )<br />
11<br />
3ln( 2 )<br />
68