Vektorrechnung 1.¨Ubungsblatt

9. Der Satz von Pappus Sei ABC ein Dreieck und A ′ ∈ BC, B ′ ∈ AC, C ′ ∈ AB andere
Punkte als die Spitzen des Dreiecks, so dass
A ′ B
A ′ C = B′ C
B ′ A = C′ A
C ′ B = λ
gilt. Dann besitzen die Dreiecke ABC und A ′ B ′ C ′ denselben Schwerpunkt.
10. Ist I der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC und P ein beliebiger Punkt im
euklidischen Raum, dann ist
P I =
1
(aP A + bP B + cP C)
a + b + c
(Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden für die Innenwinkel
des Dreiecks).
11. Im Dreieck ABC bezeichnet man mit H den Orthozentrum (Höhenschnittpunkt), mit
O den Umkreismittelpunkt (der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und mit G den
Schwerpunkt. Dann gelten:
(a) OA + OB + OC = OH;
(b) HA + HB + HC = 2HO;
(c) HA + HB + HC = 3HG;
(d) die Punkte H, G, O sind kollinear (sie bilden die sogenannte Eulergerade). Im Fall
eines gleichseitigen Dreiecks fallen die drei Punkte übereinander, was dazu führt,
dass die Eulergerade nicht existiert.