Vektorrechnung 1.¨Ubungsblatt
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9. Der Satz von Pappus Sei ABC ein Dreieck und A ′ ∈ BC, B ′ ∈ AC, C ′ ∈ AB andere<br />
Punkte als die Spitzen des Dreiecks, so dass<br />
A ′ B<br />
A ′ C = B′ C<br />
B ′ A = C′ A<br />
C ′ B = λ<br />
gilt. Dann besitzen die Dreiecke ABC und A ′ B ′ C ′ denselben Schwerpunkt.<br />
10. Ist I der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC und P ein beliebiger Punkt im<br />
euklidischen Raum, dann ist<br />
P I =<br />
1<br />
(aP A + bP B + cP C)<br />
a + b + c<br />
(Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden für die Innenwinkel<br />
des Dreiecks).<br />
11. Im Dreieck ABC bezeichnet man mit H den Orthozentrum (Höhenschnittpunkt), mit<br />
O den Umkreismittelpunkt (der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und mit G den<br />
Schwerpunkt. Dann gelten:<br />
(a) OA + OB + OC = OH;<br />
(b) HA + HB + HC = 2HO;<br />
(c) HA + HB + HC = 3HG;<br />
(d) die Punkte H, G, O sind kollinear (sie bilden die sogenannte Eulergerade). Im Fall<br />
eines gleichseitigen Dreiecks fallen die drei Punkte übereinander, was dazu führt,<br />
dass die Eulergerade nicht existiert.