Vektorrechnung 1.¨Ubungsblatt

Vektorrechnung
1.Übungsblatt
1. Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke [P 1 P 2 ] sind (−1, −4, 8), wobei P 1 (x 1 , y 1 , z 1 )
und P 2 (2, 3, 6). Findet die Koordinaten von P 1 .
2. Im Dreieck ABC wählt man auf BC einen Punkt A ′ , der die Strecke in dem Verhältnis
BA ′
A ′ C = λ teilt. Dann gilt, für einen beliebigen Punkt P ∈ E 3 die vektorielle Gleichung:
P A ′ = 1
1 + λ P B + λ
1 + λ P C.
3. Lehrsatz der Winkelhalbierenden. Es sei das Dreieck ABC und D ∈ (BC) gegeben.
[AD ist genau dann die Winkelhalbierende des Winkels ̂BAC, wenn BD
DC = AB
AC .
4. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, der sich in
einem Abstand von 2/3 von der Ecke und 1/3 von der Basis befindet. Der Schnittpunkt
der Seitenhalbierenden heißt Schwerpunkt des Dreiecks.
5. In einem Dreieck ABC ist BC = a, CA = b, AB = c. Die Winkelhalbierende des
Innenwinkels A schneidet BC in A 1 , dann gilt für alle Punkte M aus dem euklidischen
Raum E 3 die Beziehung
MA 1 =
b
b + c MB +
c
b + c MC.
6. In einem konvexen Viereck ABCD, sei M der Mittelpunkt von AB, N der Mittelpunkt
von CD und P der Mittelpunkt von MN. Dann ist P A + P B + P C + P D = 0.
7. Gegeben wird ein Tetraeder ABCD und A ′ der Schwerpunkt des Dreiecks BCD. Dann
gilt
AA ′ = 1 (AB + AC + AD).
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8. Es sei S die Spitze der Pyramide, deren Grundfläche ein Parallelogramm ABCD ist. Die
Diagonalen des Parallelogramms schneiden sich im Punkt M. Dann gilt
SA + SB + SC + SD = 4SM.

9. Der Satz von Pappus Sei ABC ein Dreieck und A ′ ∈ BC, B ′ ∈ AC, C ′ ∈ AB andere
Punkte als die Spitzen des Dreiecks, so dass
A ′ B
A ′ C = B′ C
B ′ A = C′ A
C ′ B = λ
gilt. Dann besitzen die Dreiecke ABC und A ′ B ′ C ′ denselben Schwerpunkt.
10. Ist I der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC und P ein beliebiger Punkt im
euklidischen Raum, dann ist
P I =
1
(aP A + bP B + cP C)
a + b + c
(Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden für die Innenwinkel
des Dreiecks).
11. Im Dreieck ABC bezeichnet man mit H den Orthozentrum (Höhenschnittpunkt), mit
O den Umkreismittelpunkt (der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und mit G den
Schwerpunkt. Dann gelten:
(a) OA + OB + OC = OH;
(b) HA + HB + HC = 2HO;
(c) HA + HB + HC = 3HG;
(d) die Punkte H, G, O sind kollinear (sie bilden die sogenannte Eulergerade). Im Fall
eines gleichseitigen Dreiecks fallen die drei Punkte übereinander, was dazu führt,
dass die Eulergerade nicht existiert.