Der Casimir Effekt in der Geometrie Kugel–Platte

Der Casimir Effekt in der Geometrie
Kugel–Platte
Fachpraktikumsbericht
vorgelegt von
Michael Hartmann
Institut für Physik
Theoretische Physik I
Prof. Dr. Gert-Ludwig Ingold
Augsburg, 12. November 2013

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Maxwell-Gleichungen in homogenen dielektrischen Medien 2
3. Ebene Wellen- und Multipol-Basis 4
3.1. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Ebene Wellen-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3. Multipol-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4. Matrixelemente für Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte 11
4.1. Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2. Round-Trip–Operator M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3. Reflexionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4. Determinante der Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5. Matsubara-Frequenz n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Numerik 25
5.1. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Berechnung des Logarithmus der Determinante der Streumatrix . . . . . . . . . . . 26
5.3. Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4. Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Zusammenfassung und Ausblick 27
A. Normierung 29
B. Spezielle Funktionen 31
B.1. Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
B.2. Zugeordnete Legendrepolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.3. Modifizierte Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.4. Wigner-D–Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C. Streuung an einer Kugel und Faktor −2 37
D. Rechnungen für ξ → 0 39
D.1. Integration über B (m)
l 1 l 2
für ξ → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii

Inhaltsverzeichnis
D.2. Determinante von M (m) (P, P) für ξ → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
E. Rechnungen und mathematische Umformungen 41
E.1. Determinante einer Blockmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
E.2. Äquivalenz der Matrixelemente mit Canaguier-Durand et. al. . . . . . . . . . . . . . 41
iv

1. Einleitung
1948 sagte Hendrik Casimir für zwei unendlich ausgedehnte, parallele und perfekt leitende Platten
im Vakuum bei T = 0 eine anziehende Kraft voraus. [Casimir1948] Diese Kraft wurde erstmals
1956 von Derjaguin, Abrikosova und Lifshitz [DerjaguinAbrikosovaLifshits1956], sowie 1958 von
Sparnaay [Sparnaay1958] experimentell nachgewiesen. Seitdem wurde die Genauigkeit in Experimenten
von Gruppen um Mohideen [Mohideen2000, Mohideen1998, Mohideen1999], Lamoreaux
[Lamoreaux1997, Lamoreaux2011] und Decca [Decca2003, Decca20072, Decca2007, Decca2005,
Decca20052, Decca2008] immer weiter verbessert, so dass die Messfehler für kleine Abstände teils
unter 1% liegen. Diese Experimente werden üblicherweise für die Geometrie Kugel–Platte durchgeführt,
um Verkippungen zwischen den Platten in der ursprünglichen Casimir-Geometrie zu vermeiden,
die zu Messfehlern führen.
Casimir nahm an, dass virtuelle Teilchen innerhalb der Platten auf Grund der Randbedingungen nur
mit quantisierten Wellenlängen auftreten, während im Außenraum Vakuumfluktuationen beliebiger
Wellenlänge auftreten. Durch das Einbringen der Platten wird das Vakuum verändert und die Platten
ziehen sich an. Dieser Effekt tritt beispielsweise auch für Wasserwellen auf. [denardo:2009]
Die Casimir-Kraft ist der zugänglichste Effekt von Vakuumfluktuationen. Da Vakuumfluktuationen
zu Problemen an den Grenzflächen von Quanten- und Gravitationstheorie führen [cugnon], ist eine
genaue experimentelle und theoretische Beschreibung wichtig. Da die Casimir-Kraft die dominierende
Kraft im Nano- bis Milimeter-Bereich ist, ist ein genaues Verständnis für Kraftmessungen in
diesem Bereich notwendig. Über Messungen in diesem Bereich können experimentelle Grenzen für
von vereinheitlichten Theorien vorhergesagte Kräfte oder Abweichungen vom Newtonschen Gravitationsgesetz
bestimmt werden. [Onofrio2006]
In dieser Arbeit wird der Streuformalismus auf die Geometrie Kugel–Platte bei endlichen Temperaturen
angewendet. Wir folgen dabei in weiten Teilen der Argumentation von Canaguier-Durand et
al. [Durand, ThermalCasimirEffect], versuchen aber die Herleitung stringenter und ausführlicher
darzustellen. Insbesondere werden die Ergebnisse für die Matrixelemente des Streuoperators in einer
Form präsentiert, die ohne Wigner-D–Symbole auskommt und dessen Symmetrien deutlicher erkennen
lässt. Dazu wird gezeigt, dass die Maxwell-Gleichungen für dieses Problem äquivalent mit der
vektoriellen Helmholtz-Gleichung sind. Als Lösungen werden die ebene Wellen- und die Multipol-
Basis vorgestellt, die für die Darstellung des Streuoperators verwendet werden. Außerdem werden die
Symmetrien und Eigenschaften des Streuoperators, sowie dessen Verhalten für die erste Matsubara-
Frequenz untersucht. Die vorgestellten Rechnungen dienen somit als Vorbereitung für eine numerische
Implementation.
1

2. Maxwell-Gleichungen in homogenen
dielektrischen Medien
In diesem Kapitel wird gezeigt, dass innerhalb eines geschlossenen Bereiches eines homogenen, linearen
und zeitunabhängigen Mediums ohne Quellen die Felder E und B die vektorielle Helmholtz-
Gleichung erfüllen. Das hier vorgestellte Vorgehen wird in [bohrenhuffman, jackson, mueller, stratton]
diskutiert.
Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen lauten [jackson]:
∇ · D(r, t) = ρ (2.1)
∇ · B(r, t) = 0 (2.2)
∇ × E(r, t) = − ∂B
∂t
∇ × H(r, t) = j + ∂D
∂t
Die Größen E und B entsprechen den elektrischen und magnetischen Feldern, D = ɛ 0 E + P und
H = 1 µ 0
B − M bezeichnen die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke, wobei P der
makroskopischen Polarisation und M der makroskopischen Magnetisierung entsprechen. In diesem,
sowie in allen folgenden Kapiteln, wird ausschließlich das SI-System verwendet.
Für ein lineares, homogenes und zeitunabhängiges dielektrisches Medium ist die makroskopische
Polarisation proportional zum elektrischen Feld P = ɛ 0 χE. Das Medium sei weiter unmagnetisch,
so dass die Magnetisierung M verschwindet. Daraus ergibt sich für die elektrische Flussdichte D =
ɛ 0 (1 + χ)E und für die magnetische Feldstärke H = 1 µ 0
B. Somit lassen sich die Maxwell-Gleichungen
in diesem Medium in der gleichen Form wie die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen schreiben,
wenn man die Ersetzung ɛ 0 → ɛ = ɛ 0 (1 + χ) vornimmt. Somit vereinfachen sich die Gleichungen
(2.1)–(2.4) zu
(2.3)
(2.4)
∇ · E(r, t) = 0 (2.5)
∇ · B(r, t) = 0 (2.6)
∇ × E(r, t) = − ∂B
∂t
(2.7)
∇ × B(r, t) = µ 0 ɛ ∂E
∂t , (2.8)
wenn außerdem keine freien Ladungsträger und Ströme vorhanden sind.
2

Aus der Anwendung der Rotation auf das Induktionsgesetz (2.7) folgt
∇ × (∇ × E) = − ∂ ∂t ∇ × B = −µ 0ɛ ∂2 E
∂t 2 , (2.9)
andererseits gilt auf Grund der Vektoridentität ∇ × ∇× = ∇∇ − ∆
∇ × (∇ × E) = ∇ (∇ · E) − ∆E = −∆E. (2.10)
Aus den Gleichungen (2.9) und (2.10) erhält man somit einen zu (2.5)–(2.8) äquivalenten Satz an
Gleichungen:
(∆ − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
E(r, t) = 0 (2.11)
∇ · E(r, t) = 0 (2.12)
Hierbei entspricht c = (µ 0 ɛ) −1/2 der Lichtgeschwindigkeit im betrachteten Medium.
Auf Grund der Linearität der Wellengleichung (2.11) können Felder beliebiger Zeitabhängigkeit aus
harmonischen Lösungen konstruiert werden. Daher nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
für die Zeitabhängigkeit den Faktor e −iωt an [bohrenhuffman, jackson, stratton]. Durch Einsetzen
in die Wellengleichung (2.11) erhält man die vektorielle Helmholtz-Gleichung, wobei die Lösungen
divergenzfrei sein müssen:
(
∆ + k
2 ) E(r) = 0 (2.13)
∇ · E(r) = 0 (2.14)
Alle Schritte lassen sich analog für das magnetische Feld B durchführen, so dass die Gleichungen
(2.13) und (2.14) auch für dieses gelten. Elektrische und magnetische Felder lassen sich über
die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (2.7) und (2.8) ineinander umrechnen:
∇ × E = − ∂B
∂t
∇ × B = µ 0 ɛ ∂E
∂t
= iωB ⇒ B = − i ω ∇ × E (2.15)
= −iωµ 0 ɛE ⇒ E =
i
ωµ 0 ɛ ∇ × B (2.16)
Im folgenden Kapitel werden als Lösungen der Helmholtz-Gleichung die ebene Wellen-Basis und die
Multipol-Basis vorgestellt.
3

3. Ebene Wellen- und Multipol-Basis
In diesem Kapitel werden die ebene Wellen-Basis und die Multipol-Basis als Lösung der vektoriellen
Helmholtz-Gleichung (2.13) vorgestellt. Beide Basen werden im nächsten Kapitel zur Darstellung des
Roundtrip-Operators verwendet.
3.1. Notation
Zunächst soll die Notation dem Problem angepasst werden. Wir orientieren uns dabei an Canaguier-
Durand et al. [Durand, ThermalCasimirEffect].
Der bisherige Wellenvektor k wird nun mit K bezeichnet, mit dem Vektor k soll die Komponente des
Wellenvektors in der xy-Ebene bezeichnet werden. Die z-Komponente des Wellenvektors K z ergibt
sich dann über die Dispersionsrelation
ω 2 = c 2 (K 2 x + K 2 y + K 2 z ) = c 2 (k 2 + K 2 z ), (3.1)
aus der Frequenz ω und der Propagationsrichtung φ in positiver oder negativer z-Richtung. Mit k z
wird die vorzeichenlose z-Komponente des Wellenvektors bezeichnet, diese ist K z = +k z , wenn sich
die Welle in +z-Richtung ausbreitet, und K z = −k z , falls sie sich in −z-Richtung fortpflanzt. Analog
bezeichne R nun den Vektor (x, y, z) und r den Vektor (x, y).
Zusammengefasst definieren wir:
R = (x, y, z) , r = (x, y) , r =
√
x 2 + y 2 (3.2)
K = ( k x , k y , φk z
)
, k =
(
kx , k y
)
, k =
√k 2 x + k 2 y (3.3)
K z = φk z = φ
√
ω 2
c 2 − k2 , φ = ±1, k z =
√
ω 2
c 2 − k2 (3.4)
In Kugelkoordinaten lässt sich der Wellenvektor K als
K = ( ) ω (
k x , k y , ±k z = sin θ ± cos ϕ, sin θ ± sin ϕ, φ cos θ ±) (3.5)
c
schreiben, θ ± und ϕ entsprechen dem Azimut- und Polarwinkel im k-Raum. Insbesondere hängt der
Winkel θ ± von der Ausbreitung der Welle in ±z-Richtung ab. Sinus und Cosinus des Polarwinkels θ ±
4

3.2. Ebene Wellen-Basis
sind mit den Größen ω/c, k und k z über die Relationen
verknüpft.
sin θ ± = ck ω ,
cos θ± = ± ck z
ω
(3.6)
3.2. Ebene Wellen-Basis
Die Helmholtz-Gleichung (2.13) stellt in jeder Komponente von E eine Wellengleichung dar. Daher
erhält man in kartesischen Koordinaten als Lösung eine Überlagerung von ebenen Wellen
∫
E(R) = d 3 K A(K) e iK·R , (3.7)
wobei A(K) eine beliebige komplexe vektorwertige Funktion ist. Auf Grund der Divergenzfreiheit
(2.14) sind aber nur zwei Komponenten des elektrischen Feldes E voneinander unabhängig und der
Wellenvektor steht senkrecht auf dem Vektor A:
∇ · E = 0 ⇔ K · A = 0 (3.8)
Durch die Dispersionsrelation (3.1) wird die z-Komponente des Wellenvektors K z = φk z bis auf ein
Vorzeichen festgelegt. Die Lösung lässt sich somit als
∑ ∑ ∫
E(R) = d 2 k α φ,p (k) A ê p e i(k·r+φk zz)
(3.9)
p
φ=±1
darstellen, wobei ê p den beiden orthonormierten Polarisationsvektoren und α φ,p den dazugehörigen
Entwicklungskoeffizienten entsprechen. Die Basisfunktionen haben dann die Form
〈R | k, ω, φ, p〉 := E k,ω,φ,p (R) = A ê p e i(k·r+φk zz)
(3.10)
und hängen von der Ausbreitungsrichtung φ der Welle in ±z-Richtung, dem Polarisationsvektor ê p ,
sowie dem Wellenvektor in der xy-Ebene k ab. Die Normierungskonstante A lässt sich bis auf einen
willkürlichen Phasenfaktor aus der Normierungsbedingung
〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | k, ω, φ, p〉 = ! δ pp ′ δ φφ ′ δ ( k − k ′) ( ) ω
δ
c − ω′
c
bestimmen. Die Rechnung wird in Anhang A ausgeführt, als Ergebnis erhält man
A =
(3.11)
√∣
1 ∣∣∣∣
∣
ω ∣∣∣∣
(2π) 3/2 . (3.12)
ck z
Im Folgenden wird das elektrische Feld in einen transversal-elektrischen (TE) Anteil mit E z = 0 und
einen transversal-magnetischen (TM) Anteil mit B z = 0 aufgespalten. Somit lassen sich die Polari-
5

3. Ebene Wellen- und Multipol-Basis
sationsvektoren ê p bestimmen. Durch eine Fourier-Transformation erhält man schließlich die ebene
Wellen-Basis im k-Raum.
3.2.1. TE-Moden
Die Forderung E z = 0 in Gleichung (3.10) kann nur für (ê TE ) z = 0 erfüllt werden. Auf Grund der
Divergenzfreiheit (3.8) besitzt der Polarisationsvektor ê TE nur noch eine unabhängige Komponente
ê TE · K = (ê TE ) x k x + (ê TE ) y k y = 0
⇒ (ê TE ) y = − (ê TE) x k x
k y
, (3.13)
die durch die Normierung von ê TE festgelegt wird. Durch Einsetzen in (3.10) erhält man
〈R | k, ω, φ, TE〉 = A −k
k x
⎜⎝
0
⎛
k y
⎞
e i(k·r+φkzz) =
⎟⎠
ê ϕ
(2π) 3/2 √∣ ∣∣∣∣ ω
ck z
∣ ∣∣∣∣
e i(k·r+φk zz) . (3.14)
3.2.2. TM-Moden
Die Bestimmung der Basis-Funktionen für TM-Moden verläuft analog zu den TE-Moden. Aus der
Forderung B z = 0 und der Divergenzfreiheit folgt
(ê TM ) y = − (ê TM) x k x
k y
(3.15)
und somit erhält man für das magnetische Feld
1
⎞
B k,ω,φ,TM (R) = A(ê TM ) x −k x /k y
e
⎛⎜⎝
i(k·r+φkzz) . (3.16)
⎟⎠
0
Daraus lässt sich über Gleichung (2.16) das elektrische Feld berechnen
〈R | k, ω, φ, TM〉 =
i
ωµ 0 ɛ ∇ × B k,ω,φ,TM =
√∣
ê θ ∣∣∣∣
∣
ω ∣∣∣∣
(2π) 3/2 e i(k·r+φkzz) , (3.17)
ck z
wobei (ê TM ) x aus dem Vergleich mit (3.11) folgt. Der Polarisationsvektor ê θ hängt von der Ausbreitungsrichtung
φ ab.
3.2.3. Fourier-Transformation
Zur Berechnung der Matrixelemente für den Übergang von ebener Wellen-Basis zu Multipol-Basis
werden später die Fouriertransformierten der ebenen Wellen-Basis benötigt. Diese ergeben sich nach
6

3.2. Ebene Wellen-Basis
kurzer Rechnung zu
∫
√ ∣∣∣∣∣∣ 〈K | k ′ , ω ′ , φ ′ 1
, p〉 =
(2π) 3/2 d 3 R
êp
ei(k′·r+φ ′ k zz) ′ e
−iK·R ω ′
(2π) 3/2 ck z
′ ∣
∫
√ ∣∣∣∣∣∣ = êp
(2π) 3 d 3 ω
R
′
ck z
′ ∣ −k)·r ei(k′ e iz(φ′ k z−K ′ z)
√ ∣∣∣∣∣∣ ω
=
′
∣ êp δ ( k − k ′) δ ( )
K z − φ ′ k z
′ , (3.18)
ck ′ z
wobei ê p dem jeweiligen Vektor für TE- und TM-Polarisation entspricht.
3.2.4. Zusammenfassung
Die Basisfunktionen
|k, ω, φ, TE〉 , |k, ω, φ, TM〉 (3.19)
sind normiert und orthogonal
〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | k, ω, φ, p〉 = δ pp ′δ φφ ′ δ ( k − k ′) δ
( ) ω
c − ω′
. (3.20)
c
Die divergenzfreien Lösungen der vektoriellen Helmholtz-Gleichung lassen sich über
∑ ∫
E(R) = d 2 k α φ,p (k) 〈R | k, ω, φ, p〉 (3.21)
φ,p
und
∑ ∫
E(K) =
φ ′ ,p
d 2 k ′ β φ ′ ,p(k ′ ) 〈K | k ′ , ω ′ , φ ′ , p〉 (3.22)
in dieser Basis entwickeln.
Die Basisfunktionen |k, ω, φ, p〉 der ebenen Wellen Basis sind Eigenfunktionen des Energieoperators
Ê und des Impulsoperators ˆp i = −i∂ i , i = x, y, z:
Ê |k, ω, φ, p〉 = ω |k, ω, φ, p〉 (3.23)
ˆp i |k, ω, φ, p〉 = K i |k, ω, φ, p〉 (3.24)
7

3. Ebene Wellen- und Multipol-Basis
3.3. Multipol-Basis
Neben der ebenen Wellen-Basis lässt sich die Multipol-Basis konstruieren, deren Basisfunktionen
durch die Frequenz ω, dem Gesamtdrehimpuls l(l + 1), der z-Komponente des Drehimpulses m und
der Parität eindeutig festgelegt werden.
Im reziproken Raum lauten die Funktionen für die Multipol-Basis [PhotonsAndAtoms]:
〈K | ω ′ , l, m, M〉 = c (
ω ′ δ K − ω′
c
= c (
ω ′ δ K − ω′
〈K | ω ′ , l, m, E〉 = c ω ′ δ (
K − ω′
= c ω ′ δ (
K − ω′
c
)
X lm (θ, ϕ)
) (
ê ϕ ∂ θ −
c
)
Z lm (θ, ϕ)
c
) (
ê θ ∂ θ +
êθ
sin θ ∂ ϕ
êϕ
sin θ ∂ ϕ
)
Ylm (θ, ϕ)
√ (3.25)
l(l + 1)
)
Ylm (θ, ϕ)
√ (3.26)
l(l + 1)
Die Vektorkugelflächenfunktionen X lm und Z lm bilden ein Orthonormalsystem auf der Kugeloberfläche
∫
∫
d 2 ˆK X ∗ lm ( ˆK) · X l ′ m ′( ˆK) = d 2 ˆK Z ∗ lm ( ˆK) · Z l ′ m ′( ˆK) = δ ll ′ δ mm ′ (3.27)
∫
d 2 ˆK X ∗ lm ( ˆK) · Z l ′ m ′( ˆK) = 0 (3.28)
und werden in der Literatur üblicherweise mit unterschiedlichen Definitionen als Vector Spherical
Harmonics (VSH) bezeichnet. [biedenharn, bohrenhuffman, VSH1, VSH2] Für l = 1, m = 0 und
l = 2, m = 1 sind die entsprechenden Vektorfelder in Abbildung 3.1 dargestellt.
Die Basisfunktionen der Multipol-Basis sind Eigenfunktionen zu Ê, Ĵ 2 , ˆ J z und ˆP
Ê |ω, l, m, P〉 = ω |ω, l, m, P〉 (3.29)
Ĵ 2 |ω, l, m, P〉 = l(l + 1) |ω, l, m, P〉 (3.30)
Jˆ
z |ω, l, m, P〉 = m |ω, l, m, P〉 (3.31)
ˆP |ω, l, m, P〉 = ± |ω, l, m, P〉 , (3.32)
die divergenzfreien Lösungen der Helmholtz-Gleichung lassen sich über
E(K) =
∑
∞∑
P=E,M l=1 m=−l
in der Multipol-Basis entwickeln.
l∑
α l,m,P 〈K | ω, l, m, P〉 (3.33)
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3.3. Multipol-Basis
(a) Re X 10 (θ, ϕ) (b) Re Z 10 (θ, ϕ)
(c) Re X 21 (θ, ϕ) (d) Re Z 21 (θ, ϕ)
Abbildung 3.1.: Realteil der Funktionen X lm und Z lm für l = 1, m = 0 und l = 2, m = 1.
Der rote Punkt entspricht dem Nordpol. Für m = 0 sind die Funktionen X lm und Z lm rein
reell.
9

3. Ebene Wellen- und Multipol-Basis
3.4. Matrixelemente für Basiswechsel
Die Matrixelemente für den Wechsel zwischen ebene Wellen- und Multipol-Basis lassen sich am
einfachsten durch die Darstellung der Basen im Fourierraum berechnen. Für den Übergang von TEpolarisierter
ebener Wellen zu elektrischer Multipol-Welle erhält man nach Einschieben des Einheitsoperators
∫
〈k, ω, ±, TE | ω ′ , l, m, E〉 = d 3 K ′ 〈k, ω, ±, TE | K ′ 〉 〈K ′ | ω ′ , l, m, E〉
∫ √∣ ∣∣∣∣
∣
= d 3 K ′ ω ∣∣∣∣
δ ( k ′ − k ) δ ( )
( )
K z ′ c
∓ k z
ck z ω ′ δ K ′ − ω′ (
ê ϕ · Z lm θ ′ , ϕ ′)
c
∫
=
d 3 K ′
√∣
c ∣∣∣∣
∣
ω ∣∣∣∣
ω ′ δ ( k ′ − k ) δ ( )
(
K z ′ ∓ k z δ K ′ − ω′
ck z c
)
∂ ϕ Y lm (θ ′ , ϕ ′ )
sin θ ′ √ l(l + 1) . (3.34)
Im letzten Schritt wurde das Skalarprodukt ausgewertet. Hier bietet es sich an das Integral in Kugelkoordinaten
umzuschreiben. Die Delta-Funktionen transformieren sich dabei zu
δ ( k ′ − k ) δ ( )
( )
K z ′ ∓ k z δ K ′ − ω′
c
= δ ( θ ′ − θ ±) δ (ϕ′ − ϕ) δ ( K ′ − )
ω )
c δ
(K ′ − ω′
, (3.35)
ω 2
sin θ
c ± c
2
wobei die Integration nun über K ′ , θ ′ , ϕ ′ erfolgt. Die Integration über den Winkelanteil führt zu den
Ersetzungen θ ′ → θ ± und ϕ ′ → ϕ, die Integration über den Radialanteil erzeugt aus den zwei Delta-
Funktionen δ (K ′ − ω/c) und δ (K ′ − ω ′ /c) eine Delta-Funktion δ (ω/c − ω ′ /c). Außerdem kürzt sich
das Volumenelement der Kugelkoordinaten nach Ausführen der Integration mit dem Nenner von Gleichung
(3.35). Mit diesen Überlegungen erhält man für (3.34)
〈k, ω, ±, TE | ω ′ , l, m, E〉 = c √∣ ∣∣∣∣
∣ (
ω ∣∣∣∣ ω
′
ω ′ δ
ck z c − ω ) (
∂ ϕ Y lm θ ± , ϕ )
c sin θ √ ± l(l + 1)
= im √∣ ∣∣∣∣
∣ ( )
ω ∣∣∣∣ ω
δ
k ck z c − ω′ Ylm (θ ± , ϕ)
√ . (3.36)
c l(l + 1)
Im letzten Schritt wurde die Ableitung der Kugelflächenfunktion ausgeführt und die Identität k =
ω/c sin θ ± ausgenutzt.
Analog folgt für den Übergang von TE-polarisierter Welle zu magnetischer Multipol-Welle
〈k, ω, ±, TE | ω ′ , l, m, M〉 = c ω
√∣ ∣∣∣∣
∣ ( )
ω ∣∣∣∣ ω
δ
ck z c − ω′ ∂θ Y lm (θ ± , ϕ)
√ ,
c l(l + 1)
für die beiden verbleibenden Matrixelemente findet man
〈k, ω, ±, TM | ω ′ , l, m, M〉 = − 〈k, ω, ±, TE | ω ′ , l, m, E〉 (3.37)
〈k, ω, ±, TM | ω ′ , l, m, E〉 = 〈k, ω, ±, TE | ω ′ , l, m, M〉 . (3.38)
10

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
In diesem Kapitel wenden wir den Streuformalismus auf die
Geometrie Kugel–Platte an. Zunächst werden die Matrixelemente
des Streuoperators in der Multipol-Basis bestimmt.
Nach einer Wick-Rotation lässt sich dann in diesem Formalismus
die Freie Energie F in Abhängigkeit von Temperatur,
Reflexionsverhalten von Kugel und Platte, deren Abstand
und dem Radius der Kugel berechnen. Kraft F und Entropie
S sind mit der Freien Energie über
F = − ∂F
∂L ,
S = −∂F ∂T
(4.1)
verknüpft. Als Modell für die dielektrische Funktion von Kugel
und Platte werden das Drude- und das Plasma-Modell,
sowie das Modell perfekter Spiegel vorgestellt. Aus der dielektrischen
Funktion folgt das Reflexionsverhalten von Kugel
und Platte.
z
R
L
L
Abbildung 4.1.: Geometrie Kugel–Platte.
Wir folgen in diesem Kapitel in weiten Teilen der Argumentation aus [Durand, ThermalCasimirEffect],
versuchen aber die Herleitung ausführlicher und stringenter darzustellen. Die Matrixelemente für den
Round-Trip–Operator werden in einer etwas anderen Form präsentiert, die ohne Wigner-D–Symbole
auskommt und dessen Symmetrien deutlicher erkennen lässt. Außerdem wird das Verhalten für die
erste Matsubara-Frequenz genauer untersucht.
Zunächst soll die Geometrie festgelegt werden: Die Platte liege bei z = 0, sei in der x-y–Ebene
unendlich ausgedehnt und so dick, dass keine Wellen vom oberen in den unteren Halbraum gelangen
und umgekehrt. Im Abstand L zur Platte befinde sich die Kugel mit Radius R. Der Abstand zwischen
Platte und Kugelzentrum betrage L = L + R. Die Geometrie ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
4.1. Freie Energie
Die Streuformel für die Freie Casimir-Energie bei endlicher Temperatur lautet [Durand, ThermalCasimirEffect]
F = k B T
∞∑
n=0
′
log det D(ω n ) (4.2)
11

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
mit den Matsubara Frequenzen
ω n = 2πnk BT
. (4.3)
Der Streuoperator wird mit D bezeichnet, das gestrichene Summenzeichen bedeutet, dass der Term für
n = 0 mit einem Faktor 1/2 gewichtet werden muss. Der Streuformalismus wird in [CasimirWithinScatteringTheory,
ScatterinTheoryApproach] ausführlicher dargestellt.
4.2. Round-Trip–Operator M
Der Streuoperator D ist mit dem Round-Trip–Operator M über
D(ω) = 1 − M(ω) (4.4)
verknüpft. In der Geometrie Kugel–Platte besteht der Round-Trip–Operator aus dem Translationsoperator
von der Kugel zur Platte T P←S , dem Reflexionsoperator an der Kugel R P , dem Translationsoperator
von der Platte zur Kugel T S←P und dem Reflexionsoperator an der Kugel R S :
M(ω) = R S (ω)T S←P (ω)R P (ω)T P←S (ω) (4.5)
Der Round-Trip–Operator entspricht anschaulich einem Durchgang durch das System. Mit Ausnahme
der Temperatur steckt die komplette Information über das physikalische System im Round-Trip–
Operator M: Der Abstand zwischen Kugel und Platte geht in die Translationsoperatoren T S←P und
T P←S ein, der Radius und die Reflexionseigenschaften der Kugel in den Reflexionsoperator R S , die
Reflexionseigenschaften der Platte stecken im Operator R P .
Der Round-Trip–Operator ist nur bis auf zyklische Vertauschungen der Operatoren eindeutig. Aus der
Linearen Algebra ist bekannt, dass
det (1 − AB) = det (1 − BA) (4.6)
gilt, so dass der Beitrag zur Freien Energie wie erwartet invariant unter zyklischen Vertauschungen
der Operatoren des Round-Trip–Operators ist.
4.2.1. Round-Trip–Operator in Multipol-Basis
Im Folgenden soll der Round-Trip–Operator in der Multipol-Basis dargestellt werden:
M 1;2 (ω) = 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P R P T P←S | l 2 , m, P 2 〉 (4.7)
Da das betrachtete System zeitunabhängig ist, bleibt die Frequenz während der Streuprozesse unverändert.
Wegen der Rotationssymmetrie um die z-Achse kommutiert der Round-Trip–Operator außerdem
12

4.2. Round-Trip–Operator M
mit dem Drehimpulsoperator ˆ J z . Somit ist der Round-Trip–Operator bezüglich ω und m blockdiagonal.
Da die Basisfunktionen der ebenen Wellen-Basis Eigenfunktionen des Impulsoperators sind, sind die
Translationsoperatoren und der Reflexionsoperator an der Platte in dieser Basis diagonal. Die Translation
ebener Wellen erzeugt einen Phasenfaktor
T P←S | k, p, φ〉 = e −iφk zL | k, p, φ〉 (4.8)
T S←P | k, p, φ〉 = e +iφk zL | k, p, φ〉 (4.9)
und die Reflexion an der Platte ist ebenfalls diagonal
R P | k, p, +〉 = 0 (4.10)
R P | k, p, −〉 = r p (ω, k) | k, p, +〉 (4.11)
mit den Fresnel-Koeffizienten r p . Da die Platte als beliebig dick angenommen wird, gelangen keine
Wellen aus dem unteren in den oberen Halbraum.
Um diese Eigenschaften ausnutzen zu können, wird der Einheitsoperator in ebener Wellen-Basis in
den Ausdruck (4.7) eingefügt:
∑ ∫
M 1;2 (ω) = d 2 k 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P R P T P←S | k, p, φ〉 〈k, p, φ | l 2 , m, P 2 〉 (4.12)
p,φ
Damit lässt sich die Translation von der Kugel zur Platte mit (4.8) auswerten:
∑ ∫
M 1;2 (ω) = d 2 k 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P R P T P←S | k, p, φ〉 〈k, p, φ | l 2 , m, P 2 〉
p,φ
∑ ∫
=
p,φ
d 2 k e −φik zL 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P R P | k, p, φ〉 〈k, p, φ | l 2 , m, P 2 〉 (4.13)
Da nur Wellen aus dem oberen Halbraum reflektiert werden, also Wellen, die sich in −z-Richtung
ausbreiten, liefert die Summation über φ nur für φ = −1 einen Beitrag. Wertet man außerdem noch
den Translationsoperator von Platte zu Kugel aus, erhält man:
∑ ∫
M 1;2 (ω) = d 2 k e ikzL 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P R P | k, p, −〉 〈k, p, − | l 2 , m, P 2 〉
p
∑ ∫
=
p
∑ ∫
=
p
d 2 k r p (ω, k) e ik zL 〈l 1 , m, P 1 | R S T S←P | k, p, +〉 〈k, p, − | l 2 , m, P 2 〉
d 2 k r p (ω, k) e 2ik zL 〈l 1 , m, P 1 | R S | k, p, +〉 〈k, p, − | l 2 , m, P 2 〉 (4.14)
Durch Einfügen des Einheitsoperators in der Multipol-Basis lässt sich das Matrixelement für die
13

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
Streuung an der Kugel zu
〈l, m, P | R S | k, +, p〉 =
∞∑
l ′ ∑
∑
l ′ =1 m ′ =−l ′ P ′ =E,M
〈l, m, P | R S | l ′ , m ′ , P ′ 〉 〈l ′ , m ′ , P ′ | k, +, p〉
= 〈l, m, P | R S | l, m, P〉 〈l, m, P | k, +, p〉 (4.15)
vereinfachen. Der Reflexionsoperator R S ist diagonal in der Multipol-Basis [SphereSphere] mit den
Mie-Koeffizienten a l und b l als Matrixelemente:
〈l, m, E | R S | l, m, E〉 = −2a l (ω) (4.16)
〈l, m, M | R S | l, m, M〉 = −2b l (ω) (4.17)
Eine noch unbefriedigende Diskussion über den Faktor −2 in den oberen Matrixelementen findet sich
in Anhang C.
Letztlich erhält man also für den Round-Trip–Operator in der Multipol-Basis
∑ ∫
M 1;2 (ω) = d 2 k r p (ω, k) e 2ikzL 〈l 1 , m, P 1 | R S | l 1 , m, P 1 〉
p=TE,TM
× 〈l 1 , m, P 1 | k, p, +〉 〈k, p, − | l 2 , m, P 2 〉 , (4.18)
den wir in Form der Blockmatrix
⎛
M (m) M (m) (E, E) M (m) (E, M)
(ω) = ⎜⎝
M (m) (M, E) M (m) (M, M)
⎞
⎟⎠ (4.19)
schreiben. Die Formel für die Freie Energie vereinfacht sich zu
∞∑
′ ∞∑
F = k B T
n=0 m=−∞
′
log det [ 1 − M (m) (ω n ) ] . (4.20)
In den nächsten Abschnitten leiten wir für den Round-Trip–Operator explizite Ausdrücke her.
4.2.2. Physikalische Interpretation
Der Ausdruck (4.18) besitzt von rechts nach links gelesen eine einfache physikalische Interpretation,
die in Abbildung 4.2 veranschaulicht ist:
1 〈k, p, − | l 2 , m, P 2 〉
Die Multipol-Welle |l 2 , m, P 2 〉 wird in ebene Wellen |k, p, −〉 zerlegt, die sich in −z-Richtung
ausbreiten.
14

4.2. Round-Trip–Operator M
|l 2 , m, P 2 〉
|l 1 , m, P 1 〉
|k, p, −〉
1○
6○
5○
|k, p, +〉
|k, p, −〉
2○
3○
4○
|k, p, +〉
Abbildung 4.2.: Darstellung der Faktoren des Round-Trip–Operators. Für die Translation
und die Reflexion an der Platte werden ebene Wellen verwendet, für die Reflexion an der
Kugel Multipol-Wellen. (nach [Durand])
2 e ik zL
Die ebenen Wellen |k, −, p〉 werden um die Distanz L in −z-Richtung von der Kugel zur Platte
verschoben.
3 r p (ω, k)
Die ebenen Wellen |k, p, −〉 werden an der Platte reflektiert. Die Reflexion erhält den Wellenvektor
k in der xy-Ebene und die Polarisation p, kehrt aber die Propagationsrichtung um. Der
Reflexionskoeffizient ist durch den Fresnel-Koeffizient r p gegeben.
4 e ik zL
Die ebenen Wellen |k, +, p〉 werden um die Distanz L in +z-Richtung von der Platte zur Kugel
verschoben.
5 〈l 1 , m, P 1 | k, p, +〉
Die ebenen Wellen |k, +, p〉 werden in Multipol-Wellen |l 1 , m, P 1 〉 zerlegt.
6 〈l 1 , m, P 1 | R S | l 1 , m, P 1 〉
Die Multipol-Wellen werden an der Kugel reflektiert; Polarisation, Gesamtdrehimpuls und z-
Komponente des Drehimpulses bleiben dabei erhalten.
15

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
4.2.3. Matrixelemente
Zunächst ist es zweckmäßig die Kugelflächenfunktionen in den Matrixelementen für den Basiswechsel
durch assoziierte Legendrepolynome zu ersetzen:
Y lm (θ ± , ϕ) = N lm P m l (cos θ± ) eimϕ
√
2π
= N lm P m l
∂ θ Y lm (θ ± , ϕ) = N lm P m l
′ (cos θ ± )(− sin θ ± ) eimϕ
√ = − ck
2π ω N lmP m ′
l
(
± ck )
z e
imϕ
√ (4.21)
ω 2π
(
± ck )
z e
imϕ
√ (4.22)
ω 2π
Die assoziierten Legendrepolynome, die verwendete Phasenkonvention und der Normierungsfaktor
N lm werden in Anhang B.2 vorgestellt.
Nach Übergang in Polarkoordinaten lassen sich die Matrixelemente (4.18) ausrechnen. Die Matrixelemente
sind unabhängig von ϕ, so dass die Integration leicht ausgeführt werden kann. Man erhält
für die Matrixelemente
M (m) (E, E) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1 (ω) [ A (m)
l 1 l 2 ,TE(ω) + B(m)
l 1 l 2 ,TM (ω)] (4.23)
M (m) (M, M) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
b l1 (ω) [ A (m)
l 1 l 2 ,TM(ω) + B(m)
l 1 l 2 ,TE (ω)] (4.24)
M (m) (E, M) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1 (ω) [ C (m)
l 1 l 2 ,TE(ω) + D(m)
l 1 l 2 ,TM (ω)] (4.25)
M (m) (M, E) l1 l 2
= −Λ (m)
l 1 l 2
b l1 (ω) [ C (m)
l 1 l 2 ,TM(ω) + D(m)
l 1 l 2 ,TE (ω)] (4.26)
mit dem Vorfaktor
Λ (m)
l 1 l 2
=
und den Integralen
A (m)
l 1 l 2
(ω) =
B (m)
l 1 l 2
(ω) =
C (m)
l 1 l 2
(ω) =
D (m)
l 1 l 2
(ω) =
√
−2 N l1 m N l2 m
√
l1 (l 1 + 1) l 2 (l 2 + 1) = − (2l 1 + 1) (2l 2 + 1) (l 1 − m)! (l 2 − m)!
(l 1 + m)! (l 2 + m)! l 1 (l 1 + 1) l 2 (l 2 + 1) . (4.27)
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
dk m2
ck
dk c3 k 3
ω 4
dk imck
ω 2
dk imck
ω 2
∣ ( ω ∣∣∣∣ ∣ r p (ω, k) e 2ikzL P m ckz
l
k 1 z ω
∣ ∣∣∣∣
∣ ( )
ω ∣∣∣∣
r p (ω, k) e 2ikzL P m ′ ckz
l
k 1 z ω
∣ ∣∣∣∣
∣ ( )
ω ∣∣∣∣
r p (ω, k) e 2ikzL P m ckz
l
k 1 z ω
∣ ∣∣∣∣
∣ (
ω ∣∣∣∣
r p (ω, k) e 2ikzL P m ′ ckz
l
k 1 z ω
) (
P m l 2
− ck z
ω
)
(
P m ′
l 2
− k )
z
ω
(
P m ′
l 2
− ck )
z
ω
) (
P m l 2
− ck z
ω
(4.28)
(4.29)
(4.30)
)
. (4.31)
An dieser Stelle zeigt sich auch formal, dass der Round-Trip–Operator diagonal bezüglich m ist. Berechnet
man den Round-Trip–Operator allgemein in Abhängigkeit von m 1 und m 2 , geht also zunächst
davon aus, dass der Operator D nicht diagonal bezüglich m ist, findet man, dass die Matrixelemente
(4.18) proportional zu e i(m 2−m 1 )ϕ sind. Die Integration über ϕ liefert dann nur für m 1 = m 2 einen
Beitrag. Mathematisch ist der Round-Trip–Operator also wegen der Orthogonalität der ebenen Wellen
diagonal bezüglich m.
16

4.2. Round-Trip–Operator M
4.2.4. Wick-Rotation
Die Integrale in den Gleichungen (4.28)–(4.31) oszillieren und sind numerisch schwer zu berechnen.
Da die Integranden in der oberen komplexen Halbebene analytisch sind [LossyOpticalCavities], kann
die Integration nach dem Satz von Couchy entlang der Achse der imaginären Frequenzen ω = iξ mit
ξ ∈ R erfolgen. Da für den longitudinalen Wellenvektor
k 2 z = ω2
c 2 − k2 = − ξ2
c 2 − k2 (4.32)
gilt, wird k z ebenfalls imaginär. Daher definieren wir
k z = iκ, κ =
√
ξ 2
c 2 + k2 . (4.33)
Die Wick-Rotation bewirkt die Ersetzungen ω → iξ und k z → iκ in den Integranden. Nach der Wick-
Rotation erhält man
M (m) (E, E) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1 (iξ) [ A (m)
l 1 l 2 ,TE(ξ) + B(m)
l 1 l 2 ,TM (ξ)] (4.34)
M (m) (M, M) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
b l1 (iξ) [ A (m)
l 1 l 2 ,TM(ξ) + B(m)
l 1 l 2 ,TE (ξ)] (4.35)
M (m) (E, M) l1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1 (iξ) [ C (m)
l 1 l 2 ,TE(ξ) + D(m)
l 1 l 2 ,TM (ξ)] (4.36)
M (m) (M, E) l1 l 2
= −Λ (m)
l 1 l 2
b l1 (iξ) [ C (m)
l 1 l 2 ,TM(ξ) + D(m)
l 1 l 2 ,TE (ξ)] (4.37)
für die Matrixelemente des Round-Trip–Operators mit den Integralen
A (m)
l 1 l 2
(ξ) = m2 ξ
c
∫ ∞
∫ ∞
B (m)
l 1 l 2
(ξ) = c3
ξ 3
C (m)
l 1 l 2
(ξ) = − imc
ξ
D (m)
l 1 l 2
(ξ) = − imc
ξ
0
dk k3
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
dk 1 ( ) ( κc
kκ r p(iξ, k) e −2κL P m l 1
P m l
ξ 2
− κc )
ξ
( ) (
κ r p(iξ, k) e −2κL P m ′ κc
l 1
P m ′
l
ξ 2
− κc )
ξ
dk k ( ) ( κc
κ r p(iξ, k) e −2κL P m l 1
P m ′
l
ξ 2
− κc )
ξ
dk k ( ) (
κ r p(iξ, k) e −2κL P m ′ κc
l 1
P m l
ξ 2
− κc
ξ
(4.38)
(4.39)
(4.40)
)
. (4.41)
Die abfallende Exponentialfunktion sorgt jetzt für eine schnelle numerische Konvergenz und für das
Argument der assoziierten Legendrepolynome gilt nun κc
ξ
≥ 1. Da die Mie-Koeffizienten nicht von k
abhängen, können sie vor das Integral gezogen werden.
Die abgeleiteten Matrixelemente sind äquivalent zu denen aus [Durand, ThermalCasimirEffect],
wie anhand eines Beispiels in E.2 gezeigt wird. Insbesondere kommen die hier dargestellten Matrixelemente
ohne Wigner-D–Symbole aus.
17

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
4.2.5. Symmetrien
Der in Gleichung (4.27) definierte Normierungsfaktor ist symmetrisch bezüglich Vertauschungen von
l 1 und l 2
Λ (m)
l 2 l 1
= Λ (m)
l 1 l 2
. (4.42)
Mit dieser Symmetrie und der Parität der zugeordneten Legendrepolynome (B.9) lässt sich zeigen:
A (m)
l 2 l 1 ,p = (−1)l 1+l 2
A (m)
l 1 l 2 ,p
(4.43)
B (m)
l 2 l 1 ,p = (−1)l 1+l 2
B (m)
l 1 l 2 ,p
(4.44)
D (m)
l 1 l 2 ,p = (−1)l 1+l 2 +1 C (m)
l 2 l 1 ,p
(4.45)
Unter Ausnutzung dieser Relationen müssen für eine Blockmatrix M (m) (P 1 , P 2 ) der Dimension N nur
N 2 + N anstatt 2N 2 Integrale berechnet werden. Für die Reflexionskoeffizienten perfekter Spiegel an
der Platte gilt außerdem r TM = −r TE = 1, wie später gezeigt wird. In diesem Fall unterscheiden sich
die Integrale für unterschiedliche Polarisation gerade durch ihr Vorzeichen
X l1 ,l 2 ,TE = −X l1 ,l 2 ,TM, (4.46)
wobei X = A, B, C, D. Für perfekte Spiegel müssen also nur (N 2 + N)/2 Integrale berechnet werden.
4.2.6. Negative Werte von m
Für negative Werte von m gilt nach Gleichung (B.3)
Λ (−m)
l 1 l 2
= (l 1 + m)! (l 2 + m)!
(l 1 − m)! (l 2 − m)! Λ(m) l 1 l 2
, (4.47)
und mit (B.7) folgt für die Integrale (4.38)–(4.41) mit X = A, B, C, D
X (−m)
l 1 l 2
= (l 1 − m)! (l 2 − m)!
(l 1 + m)! (l 2 + m)! X(m) l 1 l 2
. (4.48)
Für negative Werte von m kürzen sich die Vorfaktoren aus den Gleichungen (4.47) und (4.48), so dass
man
M (−m)
l 1 l 2
(E, E) = M (m)
l 1 l 2
(E, E) (4.49)
M (−m)
l 1 l 2
(M, M) = M (m)
l 1 l 2
(M, M) (4.50)
M (−m)
l 1 l 2
(E, M) = −M (m)
l 1 l 2
(E, M) (4.51)
M (−m)
l 1 l 2
(M, E) = −M (m)
l 1 l 2
(M, E) (4.52)
für die Blockmatrizen der Round-Trip–Matrix erhält.
18

4.3. Reflexionskoeffizienten
ɛ(iξ)
7.5 · 10 3
5 · 10 3
Drude
Plasma
Drude
ω 2 P /γξ
Plasma
ω 2 P /ξ2
10 8
10 6
10 4
ɛ(iξ)
2.5 · 10 3
10 2
0
a)
1 · 10 4 2.5 · 10 14 5 · 10 14 7.5 · 10 14 1 · 10 15
ξ in s −1
b)
10 11 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 10 0
ξ in s −1
Abbildung 4.3.: Drude- und Plasma-Modell am Beispiel von Silber mit ω P = 1.32 ·
10 16 s −1 und γ = 6.90 · 10 13 s −1 . [PhysRevB.65.165432] Die dielektrischen Funktionen
für Drude- und Plasma-Modell sind in a) mit linearer Skala etwa im sichtbaren Bereich
und in b) zusammen mit den Näherungen in logarithmischer Skala aufgetragen.
Somit bleiben die Diagonalblöcke von D (m) invariant für m → −m, während die Nebendiagonalblöcke
ihr Vorzeichen ändern. Wie in Gleichung (E.3) gezeigt, bleibt dabei der Wert der Determinante
unverändert, so dass die Summation in der Formel für die Freie Energie in Gleichung (4.20) nur über
nichtnegative Werte von m durchgeführt werden kann, wobei alle Terme außer für m = 0 mit einem
Faktor 2 gewichtet werden müssen:
F = 2k B T
∞∑
′ ∞∑
′
log det [ 1 − M (m) (ξ n ) ] (4.53)
n=0 m=0
4.3. Reflexionskoeffizienten
In diesem Abschnitt werden die Fresnel-Koeffizienten r p für die Reflexion an der Platte und die Mie-
Koeffizienten a l , b l für die Reflexion an der Kugel eingeführt. Die Fresnel- und Mie-Koeffizienten
hängen von der dielektrischen Funktion des Metalls ab. Für die dielektrische Funktion werden das
Drude- und das Plasma-Modell, sowie das Modell perfekter Spiegel vorgestellt.
4.3.1. Dielektrische Leitfähigkeit für Metalle
Das Drude-Modell ist ein einfaches Modell für die Beschreibung des optischen Verhaltens dissipativer
Metalle. Für das Drude-Modell lautet die dielektrische Funktion [jackson]
ɛ Drude (iξ) = 1 +
ω 2 P
ξ(ξ + γ)
(4.54)
19

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
für imaginäre Frequenzen ω = iξ mit der Plasma-Frequenz ω P und der Relaxations-Frequenz γ. Durch
den Grenzübergang γ → 0 erhält man aus dem Drude-Modell die dielektrische Funktion
ɛ Plasma (iξ) = 1 + ω2 P
ξ 2 (4.55)
des dissipationsfreien Plasma-Modells. Mit dem weiteren Grenzwert ω P → ∞ folgt daraus das Modell
für perfekte Spiegel, das einer dielektrischen Funktion ɛ perf (iξ) = ∞ für beliebige Frequenzen entspricht.
Bei niedrigen Frequenzen lassen sich die dielektrischen Funktionen für Drude- und Plasma-
Modell durch
ɛ Drude (iξ) ≃ ω2 P
γξ ,
ɛPlasma (iξ) ≃ ω2 P
ξ 2 (4.56)
nähern und divergieren für ξ → 0. Für große Frequenzen nähern sich die dielektrischen Funktionen
von Drude- und Plasma-Modell asymptotisch der 1 an. Metalle werden im Drude- und Plasma-Modell
für hochfrequente Strahlung transparent. Abbildung 4.3 zeigt einen Vergleich der dielektrischen Funktionen
von Drude- und Plasma-Modell, sowie deren Verhalten bei niedrigen Frequenzen für Silber.
4.3.2. Fresnel-Koeffizienten
Die Fresnel-Koeffizienten für die Reflexion einer ebenen Welle an einer ebenen Grenzfläche lauten
[jackson]
r TE (iξ, k) = 1 − β
1 + β , r TM(iξ, k) = ɛ(iξ) − β
ɛ(iξ) + β
(4.57)
mit
β =
√
1 + ɛ(iξ) − 1
cos 2 θ ±
√
= 1 + ξ2 [ ] ɛ(iξ) − 1 , (4.58)
c 2 κ 2
wobei nach dem zweiten Gleichheitszeichen (3.6) ausgenutzt wurde. Mit dem Grenzwert ɛ → ∞
vereinfachen sich die Reflexionskoeffizienten zu
r perf
TM = −rperf TE = 1 (4.59)
für perfekte Spiegel.
Da später das Verhalten der Fresnel-Koeffizienten für ξ → 0 benötigt wird, soll dieser Fall hier untersucht
werden. Für ξ → 0 vereinfacht sich im Plasma-Modell die Wurzel (4.58) zu
√
1 + ξ2
c 2 κ 2 [ ɛ(iξ) − 1
] =
√
1 + ω2 P
c 2 κ 2 (4.60)
20

4.3. Reflexionskoeffizienten
und die Koeffizienten nehmen die Gestalt
√
lim
ξ→0 rPlasma TE
= 1 − 1 + ω2 P
c 2 κ 2
ω P L
c ≫1
√ = −1
1 + 1 + ω2 P
c 2 κ 2
(4.61)
lim
ξ→0 rPlasma TM
= 1 (4.62)
an. Durch die Exponentialfunktion e −2κL in den Integranden (4.38)–(4.41) trägt nur der Bereich 0 ≤
κ 1/L zum Wert des Integrals bei. Gilt in diesem Bereich ω P /cκ ≫ 1, also ω P L/c ≫ 1, vereinfacht
sich der Reflexionskoeffizient in Gleichung (4.61) für die TE-Mode weiter zu r TE = −1.
Für das Drude-Modell vereinfachen sich die Reflexionskoeffizienten für ξ → 0 zu
lim
ξ→0 rDrude TE
= 0, lim
ξ→0
r Drude
TM = 1 (4.63)
und sind ohne weitere Näherungen unabhängig von κ und γ. Insbesondere vertauschen die Grenzwerte
ξ → 0 und γ → 0 nicht für die TE-Mode:
lim lim
ξ→0 γ→0 rDrude TE
= lim r Plasma
ξ→0
TE
√
= 1 − 1 + ω2 P
1 +
c 2 κ 2
√
1 + ω2 P
c 2 κ 2 (4.64)
lim lim
γ→0 ξ→0 rDrude TE
= 0 (4.65)
Beim Casimir-Effekt gibt es keinen kontinuierlichen Übergang zwischen Drude- und Plasma-Modell.
Die experimentellen Daten bewegen sich gegenwärtig in einem Bereich, wo sich Drude- und Plasma-
Modell aber kaum voneinander unterscheiden. [ThermalCasimirEffect]
4.3.3. Mie-Koeffizienten
Die Mie-Koeffizienten für komplexe Frequenzen lauten [bohrenhuffman, Durand, ThermalCasimirEffect]
a l (i˜ξ) = π 2
n 2 s (a)
l
n 2 s (c)
l
− s (b)
l
− s (d)
l
, b l (i˜ξ) = π 2
s (a)
l
s (c)
l
− s (b)
l
− s (d)
l
(4.66)
mit den Ausdrücken
s (a)
l
= I l+1/2 (n˜ξ) [ I l+1/2 (˜ξ) − ˜ξI l−1/2 (˜ξ) ] (4.67)
s (b)
l
= I l+1/2 (˜ξ) [ I l+1/2 (n˜ξ) − n˜ξI l−1/2 (n˜ξ) ] (4.68)
s (c)
l
= I l+1/2 (n˜ξ) [ K l+1/2 (˜ξ) + ˜ξK l−1/2 (˜ξ) ] (4.69)
s (d)
l
= K l+1/2 (˜ξ) [ I l+1/2 (n˜ξ) − n˜ξI l−1/2 (n˜ξ) ] (4.70)
21

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
und dem Brechungsindex der Kugel n = √ ɛ, sowie ˜ξ = ξR/c. Die Eigenschaften der modifizierten
Bessel-Funktionen I ν (x) und K ν (x) werden in Anhang B.3 kurz dargestellt. Insbesondere sind die Mie-
Koeffizienten unabhängig von k, weshalb die Mie-Koeffizienten in den Gleichungen (4.34)–(4.37) vor
das Integral gezogen werden konnten.
Für perfekte Spiegel lassen sich die Mie-Koeffizienten vereinfachen, indem man den Grenzwert ɛ → ∞
ausführt:
a perf
l
(iξ) = π l I l+1/2(˜ξ) − ˜ξ I l−1/2 (˜ξ)
2 (−1)l+1 l K l+1/2 (˜ξ) + ˜ξ K l−1/2 (˜ξ)
b perf
l
(iξ) = π I l+1/2(˜ξ)
2 (−1)l+1 K l+1/2 (˜ξ)
(4.71)
(4.72)
4.4. Determinante der Streumatrix
Die Produkte aus assoziierten Legendrepolynomen und deren Ableitungen für gleiche Werte von m
und für x ≥ 1 sind entweder rein reell oder imaginär. In Anhang B.2 wird gezeigt, dass
P m l 1
(x) P m l 2
(x), P m l 1 ′ (x) P m l 2 ′ (x) ∈ R (4.73)
P m l 1
(x) P m l 2 ′ (x) ∈ iR (4.74)
gilt. Da alle Größen in den Integranden mit Ausnahme der assoziierten Legendrepolynome rein reell
sind, sind wegen (4.73) die Integrale A (m)
l 1 l 2
und B (m)
l 1 l 2
ebenfalls rein reell. Daraus folgt, dass die Blockmatrizen
M (m) (E, E) und M (m) (M, M) ebenfalls rein reell sind. Analog folgt mit Gleichung (4.74),
dass die Integrale C (m)
l 1 l 2
und D (m)
l 1 l 2
, sowie die Blockmatrizen M (m) (E, M) und M (m) (M, E) rein imaginär
sind. Nach Gleichung (E.2) lässt sich die Streumatrix mit rein reellen Einträgen schreiben:
⎛
det D (m) 1 − M (m) (E, E) −Im [ M (m) (E, M) ] ⎞
= ⎜⎝
Im [ M (m) (M, E) ] 1 − M (m) (M, M)
⎟⎠
Insbesondere ist damit klar, dass die Determinante der Streumatrix immer rein reell ist.
(4.75)
4.5. Matsubara-Frequenz n = 0
Für die erste Matsubara-Frequenz ξ = 0 divergieren zunächst die Integrale (4.38)–(4.41). Es wird sich
aber zeigen, dass der Beitrag zur Freien Energie für den Grenzwert ξ → 0 endlich ist. Im Folgenden
wird angenommen, dass die Fresnel-Koeffizienten r p für ξ → 0 unabhängig von k sind. Diese Annahme
ist für perfekte Spiegel und Drude-Spiegel, sowie für Plasma-Spiegel im Grenzfall ω P L/c ≫ 1
erfüllt. Da für perfekte, Plasma- und Drude-Spiegel die dielektrische Funktion für ξ → 0 divergiert,
also ɛ → ∞, reicht es für die folgende Diskussion, die Mie-Koeffizienten für perfekte Spiegel zu
betrachten.
22

4.5. Matsubara-Frequenz n = 0
Für ξ → 0 lassen sich die Mie-Koeffizienten a l und b l durch die Näherungen der Bessel-Funktionen
(B.22) zu
a perf
l
≃ a perf
l,0
( ξR
) 2l+1
, b perf
2c
l
≃ b perf
l,0
( ξR
) 2l+1
(4.76)
2c
vereinfachen, wobei
a perf
l,0 = π 4Γ ( ) ( )
l + 3
2 (−1)l 2 − 2l Γ l +
1
2
l Γ ( l + 2) 1 2 ( )
Γ l +
3
2
(4.77)
b perf
l,0 = π 2
2 (−1)l+1 Γ ( ( )
l + 2) 1 Γ l +
3
(4.78)
Vorfaktoren darstellen, die von l abhängen.
2
Die Argumente der assoziierten Legendrepolynome in den Integralen (4.38)–(4.41) werden für ξ → 0
groß und lassen sich durch (B.15) und (B.16) nähern. Es zeigt sich, dass die Integrale wie
A (m)
l 1 l 2
∼ ξ −l 1−l 2 +1 ,
B (m)
l 1 l 2
∼ ξ −l 1−l 2 −1 ,
C (m)
l 1 l 2
∼ D (m)
l 1 l 2
∼ ξ −l 1−l 2
(4.79)
und die Matrixelemente des Round-Trip–Operators wie
M (m) (E, E) l1 l 2
∼ M (m) (M, M) l1 l 2
∼ ξ l 1−l 2
, (4.80)
M (m) (E, M) l1 l 2
∼ M (m) (M, E) l1 l 2
∼ ξ l 1−l 2 +1
(4.81)
skalieren. Die Integrale A (m)
l 1 l 2
, C (m)
l 1 l 2
und D (m)
l 1 l 2
sind um mindestens eine Potenz von ξ größer als B (m)
l 1 l 2
und können daher vernachlässigt werden. Somit liefern die Nebendiagonalblöcke M (m) (E, M) und
M (m) (M, E) keinen Beitrag. Die Integrale für die Diagonalblöcke lassen sich für ξ → 0 analytisch
bestimmen:
M (m) (E, E) ξ→0
l 1 l 2
M (m) (M, M) ξ→0
l 1 l 2
= r ξ→0
TM Λ(m)
= r ξ→0
TE
Λ(m)
l 1 l 2
∫ ∞
0
l 1 l 2
∫ ∞
0
dk a perf
l 1
B (m)
l 1 l 2
= Ξ (m)
dk b perf
l 1
B (m)
l 1 l 2
= Ξ (m)
l 1 l 2
r ξ→0
TM
l 1 l 2
r ξ→0
TE
aperf l 1 ,0
bperf l 1 ,0
( R
) l1 +l 2 +1 ( ξR
L c
( R
) l1 +l 2 +1 ( ξR
L c
) l1 −l 2
(4.82)
) l1 −l 2
(4.83)
mit dem etwas sperrigen Vorfaktor
Ξ (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+1 (2l 1 )! (2l 2 )! (l 1 + l 2 )!
4 2l 1+l 2 +1 (l 1 − 1)! (l 2 − 1)! (l 1 − m)! (l 2 − m)! . (4.84)
Die Rechnung wird in Anhang D.1 ausgeführt.
Es zeigt sich also, dass die Matrixelemente unterhalb der Diagonalen verschwinden, auf der Diagonalen
endlich sind und oberhalb divergieren. Die Determinante besitzt aber trotzdem einen endlichen
Wert, wie in Anhang D.2 gezeigt wird.
23

4. Streuformel in der Geometrie Kugel–Platte
Zusammengefasst erhält man für ξ → 0 für die Determinante der Streumatrix
det D (m) = det [ 1 − M (m) (E, E) ] det [ 1 − M (m) (M, M) ] (4.85)
mit den Matrixelementen
M (m) (E, E) ξ→0
l 1 l 2
M (m) (M, M) ξ→0
l 1 l 2
= Ξ (m)
= Ξ (m)
l 1 l 2
r ξ→0
TM
l 1 l 2
r ξ→0
TE
aperf l 1 ,0
bperf l 1 ,0
( R
L) l1 +l 2 +1
(4.86)
( R
L) l1 +l 2 +1
. (4.87)
Für perfekte Spiegel und Plasma-Spiegel im Grenzfall ω P L/c ≫ 1 gilt r TM = −r TE = 1 und somit
M (m) (E, E) ξ→0
l 1 l 2
M (m) (M, M) ξ→0
l 1 l 2
(
= +Ξ (m)
l 1 l 2
a perf R l1 +l 2 +1
l 1 ,0
L)
= −Ξ (m)
l 1 l 2
b perf
l 1 ,0
(4.88)
( R
L) l1 +l 2 +1
, (4.89)
für Drude-Spiegel gilt mit dem Ausdruck für M (m) (E, E) aus Gleichung (4.88):
det D (m) = det ( 1 − M (m) (E, E) ) (4.90)
24

5. Numerik
5.1. Integration
Um die Integrale ... zu berechnen ist es geschickt, für ξ 0 zu substituieren:
Daraus:
k =
√
x 2
4L 2 + ξx
Lc
ξ
(5.1)
c
dk =
L + x
dx (5.2)
2L
√4L ξ c x + x2
x = 2κL − 2L ξ c
κ =
x
2L + ξ c
(5.3)
(5.4)
Man erhält:
A (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+m m 2 ˜ξe −˜ξ
∫ ∞
B (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+m+1 e−˜ξ ∫ ∞
˜ξ 3
C (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+m+1
e−˜ξ im˜ξ
D (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+m
e−˜ξ im˜ξ
0
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e −x
dx
x 2 + 2˜ξx Pm l 1
(1 + x˜ξ
dx ( x 2 + 2˜ξx ) e −x P m l 1
′
) (
P m l 2
1 + x˜ξ
)
(
1 + x˜ξ
(
dx e −x P m l 1
1 + x˜ξ
) (
P m ′
l 2
1 + x˜ξ
)
(
dx e −x P m ′
l 1
1 + x˜ξ
) (
P m l 2
1 + x˜ξ
)
) (
P m ′
l 2
1 + x˜ξ
)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
wobei
˜ξ = 2L ξ c
(5.9)
25

5. Numerik
( ) ( )
P m l 1
1 + x˜ξ P m l 2
1 + x˜ξ
( ) m
− 2x
˜ξ − x2
˜ξ
=
2
x 2 + 2˜ξx 2 l 1+l 2 l1 ! l 2 !(x 2 + 2˜ξx)
( ) m−1
(−1) m x 2
+ ˜ξ 2x (
=
2 ˜ξ d
l 1 +m
2 l 1+l 2 l1 ! l 2 ! ˜ξ 2 dx l 1+m (x2 − 1) l 1
( d
l 1 +m
dx l 1+m (x2 − 1) l 1
) ( d
l 2
)
+m
·
dx l 2+m (x2 − 1) l 2
) ( d
l 2
)
+m
·
dx l 2+m (x2 − 1) l 2
(5.10)
(5.11)
A (m)
l 1 ,l 2
B (m)
l 1 ,l 2
C (m)
l 1 ,l 2
größte Potenz l 1 + l 2 − 2 l 1 + l 2 l 1 + l 2 − 1
kleinste Potenz m − 1 |m − 1| m − 1
α m − 1 |m − 1| m − 1
N ⌈(l 1 + l 2 − m)/2⌉ ⌈(l 1 + l 2 − |m − 1| + 1)/2⌉ ⌈(l1 + l2 − m + 1)/2⌉
5.2. Berechnung des Logarithmus der Determinante der Streumatrix
Um die Freie Casimir Energie zu berechnen, muss der Logarithmus der Determinante der Streumatrix
D = 1−M berechnet werden. Da die Matrixelemente des Round-Trip–Operators M sehr klein werden
kann, treten bei der naiven Berechnung der Differenz 1−M Auslöschungen auf. Diese Auslöschungen
können dazu führen, dass numerisch der Beitrag zur Freien Energie verschwindet:
log [ det ( 1 − M (m))] = 0 (5.12)
Um dieses Problem zu vermeiden, ist es sinnvoll den Logarithmus der Determinante über die Taylor-
Reihe des Logarithmus zu berechnen:
log [det (1 − M)] =
∞∑ (−1) n+1
Spur ( M n) (5.13)
n
n=1
In dieser Reihe muss die Differenz D = 1 − M nicht explizit ausgewertet und das Problem von Auslöschungen
tritt nicht auf. Da die Matrixelemente von M typischerweise sehr klein sind, konvergiert
die Reihe in den meißten Fällen bereits nach wenigen Termen.
5.3. Konvergenz
5.4. Komplexität
26

6. Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurde der Streuformalismus für den Casimir-Effekt auf die Geometrie Kugel–Platte
bei endlichen Temperaturen angewendet. Dazu wurde gezeigt, dass die Maxwell-Gleichungen äquivalent
zur vektoriellen Helmholtz-Gleichung sind und als Lösungen die ebene Wellen- und die Multipol-
Basis vorgestellt. Damit konnten die Matrixelemente des Streuoperators in der Multipol-Basis bestimmt
werden. Durch Untersuchung der Symmetrien der Streumatrix ließ sich die Summation auf
nichtnegative Werte von m begrenzen und die Anzahl der Integrale, die für die Streumatrix berechnet
werden müssen, verringern. Außerdem wurde gezeigt, dass die Streumatrix mit rein reellen Elementen
geschrieben werden kann und daher insbesondere ihre Determinante reell ist. Für die erste Matsubara-
Frequenz wurde das Verhalten der Streumatrix und der Beitrag zur Freien Energie genauer untersucht.
Für die Matrixelemente der Streumatrix konnte in diesem Fall ein analytischer Ausdruck angegeben
werden.
Im Hinblick auf die Master-Arbeit muss das Problem zunächst sinnvoll skaliert und die Numerik für
400
30
T in K
300
200
0
-2
S in 10 −26 J/K
100
-4
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
L/R
Abbildung 6.1.: Entropie für die Geometrie Kugel–Platte im Bereich 2K ≤ T ≤ 400K
und 0.19 ≤ L/R ≤ 4 für R = 1µm und perfekte Spiegel. Über weite Bereiche wird die
Casimir-Entropie negativ. Aus Gründen der Darstellung wurde für positive und negative
Entropien unterschiedliche Farbpaletten und Skalierungen gewählt.
27

6. Zusammenfassung und Ausblick
Drude-, Plasma- und perfekte Spiegel implementiert werden. Damit lässt sich dann beispielsweise das
Verhalten bei niedrigen Temperaturen oder das Problem negativer Entropien (siehe Abbildung 6.1),
sowie das Zusammenspiel zwischen Dissipation, Geometrie und endlicher Leitfähigkeit untersuchen.
Außerdem muss die Frage, wieso im Matrixelement 〈l, m, P | R S | l, m, P〉 der Faktor 2 auftaucht,
noch bis zur Master-Arbeit beantwortet werden.
28

A. Normierung
In diesem Abschnitt wird der Normierungsfaktor A bestimmt, so dass
〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | k, ω, φ, p〉 ! = δ pp ′ δ φφ ′ δ ( k − k ′) δ
( ) ω
c − ω′
c
gilt. Durch Einfügen des Einheitsoperators in Ortsbasis erhält man:
∫
〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | k, ω, φ, p〉 = d 3 R 〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | R〉 〈R | k, ω, φ, p〉
∫
= d 3 R AA ( ) ∗ ê p ′ · ê p e
i(k·r+φk z z) e −i(k′·r+φ ′ k zz)
′
∫
= |A| 2 δ pp ′ d 3 R e i(k−k′ )·r e i(φk z−φ ′ k z)·z ′
= |A| 2 (2π) 3 δ pp ′δ ( k − k ′) δ ( )
φk z − φ ′ k z
′
⎛
= |A| 2 (2π) 3 δ pp ′δ ( √ √
k − k ′) ω 2
δ ⎜⎝ c 2 − k2 − φ′ ω ′2
φ c
⎞⎟⎠ 2 − k2
(A.1)
(A.2)
In der letzten Zeile wurde ausgenutzt, dass die Delta-Funktion gerade ist.
Um Gleichung (A.2) auf die Form von Gleichung (A.1) zu bekommen, muss die zweite Delta-Funktion
umgeschrieben werden. Dazu wird die Identität
∑
δ ( f (x)) =
i
δ (x − x i )
| f ′ (x i )|
benutzt, wobei x i die Nullstellen von f (x) bezeichnen. In diesem Fall gilt
(A.3)
( ω
)
√ √
ω 2
f =
c c 2 − k2 − φ′ ω ′2
φ c 2 − k2 , (A.4)
( ω
)
f ′ ω
= √ = ω .
(A.5)
c ω
c
2
− k
c 2 ck z 2
Da ω und ω ′ nichtnegativ sind, hat f genau eine Nullstelle bei ω c = ω′
c
für φ = φ′ . Für φ φ ′ besitzt
29

A. Normierung
f keine Nullstelle und das Integral (A.2) verschwindet. Somit lässt sich die Delta-Funktion in
⎛ √
ω 2
δ ⎜⎝ c 2 − k2 − φ′
φ
√
ω ′2
c 2
− k2 ⎞⎟⎠ = δ φ,φ ′ ∣ ∣∣∣∣ ck z
ω
( )
ω ∣ δ c − ω′
c
(A.6)
umschreiben.
Mit der umskalierten Delta-Funktion erhält man für die Gleichung (A.2) folgenden Ausdruck:
〈k ′ , ω ′ , φ ′ , p ′ | k, ω, φ, p〉 = |A| 2 (2π) 3 δ pp ′ δ φ,φ ′ δ ( k − k ′) ∣ ( )
∣∣∣ ck z
ω ω ∣ δ c − ω′
c
= |A| 2 (2π) 3 δ pp ′ δ φ,φ ′ δ ( k − k ′) ∣ ( )
∣∣∣ ck z
ω ω ∣ δ c − ω′
c
!
= δ pp ′ δ φ,φ ′ δ ( k − k ′) ( ) ω
δ
c − ω′
c
(A.7)
Durch Vergleich lässt sich nun der Normierungsfaktor A bis auf einen Phasenfaktor zu
A =
√∣
1 ∣∣∣∣
∣
ω ∣∣∣∣
(2π) 3/2 ck z
(A.8)
bestimmen.
30

B. Spezielle Funktionen
In diesem Kapitel sollen kurz die wichtigsten Eigenschaften verschiedener spezieller Funktionen vorgestellt
werden, die für diverse Rechnungen benötigt werden. Die entsprechenden Formeln und Definitionen
finden sich u.a. in [abramowitz].
B.1. Kugelflächenfunktionen
Die Kugelflächenfunktionen
Y lm (θ, ϕ) = N lm P m l
(cos θ)
eimϕ
√
2π
(B.1)
bilden ein vollständiges orthonormales Funktionensystem auf der Kugeloberfläche. Sie hängen von
zwei Parametern l, m ab mit l ≥ 0 und −l ≤ m ≤ l. Dabei entspricht
N lm =
√
2l + 1 (l − m)!
2 (l + m)! . (B.2)
einem Normierungsfaktor und P m l
sind die zugeordneten Legendrepolynome. Der Normierungsfaktor
für negative Werte von m lässt sich durch positive Werte von m ausdrücken:
N l,−m =
(l + m)!
(l − m)! N lm (B.3)
Die Kugelflächenfunktionen sind orthogonal
∫
Y ∗ lm (θ, ϕ)Y l ′ m ′(θ, ϕ) dΩ = δ ll ′δ mm ′
(B.4)
und vollständig
∞∑ l∑
Ylm ∗ (θ′ , ϕ ′ )Y lm (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ ′ ) δ(cos θ − cos θ ′ ).
l=0 m=−l
(B.5)
Die ersten Kugelflächenfunktionen bis l = 3 sind in Tabelle B.1 aufgelistet.
31

B. Spezielle Funktionen
Y lm (θ, ϕ) l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
√
35
m = −3
64π sin3 θ e −3iϕ
√
√
15
m = −2
32π sin2 θ e −2iϕ
105
32π sin2 θ cos θ e −2iϕ
√
√
√
3
15
21
m = −1
8π
sin θ e−iϕ
8π
sin θ cos θ e−iϕ
64π sin θ ( 5 cos 2 θ − 1 ) e −iϕ
√ √
√
√
1
3
m = 0
4π 4π cos θ
5
16π (3 cos2 7
θ − 1)
16π (5 cos3 θ − 3 cos θ)
√
√
√
3
15
21
m = 1 -
8π
sin θ e−iϕ −
8π
sin θ cos θ eiϕ −
64π sin θ ( 5 cos 2 θ − 1 ) e iϕ
√
√
15
m = 2
32π sin2 θ e 2iϕ
105
32π sin2 θ cos θ e 2iϕ
√
35
m = 3
−
64π sin3 θ e 3iϕ
Tabelle B.1.: Die ersten Kugelflächenfunktionen bis l = 3.
B.2. Zugeordnete Legendrepolynome
Zugeordnete oder assoziierte Legendrepolynome sind für l > 0 und −l ≤ m ≤ l als Ableitungen
gewöhnlicher Legendrepolynome definiert
P m l (x) = (−1)m ( 1 − x 2) m/2
d m
dx m P l(x) = (−1)m ( ) 1 − x
2 m/2 d l+m (
x 2
2 l l!
dx l+m − 1 ) l
.
(B.6)
Im Gegensatz zu assoziierten Legendrepolynomen sind alle gewöhnlichen Legendrepolynome P l (x)
tatsächlich auch reine Polynome. Zugeordnete Legendrepolynome für negative Werte von m sind proportional
zu den entsprechenden Funktionen mit positiven m:
P −m
m (l − m)!
l
(x) = (−1)
(l + m)! Pm l
(x) (B.7)
Ableitungen nach zugeordneten Legendrepolynomen lassen sich als Linearkombination von zugeordneten
Legendrepolynomen schreiben:
P m l
′ (x) = (l − m + 1)Pm l+1 (x) − (l + 1)xPm l (x)
x 2 − 1
(B.8)
Für die Parität von Legendrepolynomen und deren Ableitungen gilt:
P m l (−x) = (−1)l+m P m l (x),
Pm l
′ (−x) = (−1) l+m+1 P m′ l
(x) (B.9)
Für beliebige Argumente |x| > 1 ist der Wert der zugeordneten Legendrepolynome und deren Ableitungen
für gerade m rein reell, für ungerade m rein imaginär:
P 2m
l
(x), P 2m ′
l (x) ∈ R, P
2m+1
l
(x), P 2m+1 ′
l (x) ∈ i R (B.10)
32

B.3. Modifizierte Bessel-Funktionen
Daher ist das Produkt aus Legendrepolynomen und deren Ableitungen rein reell oder imaginär:
P m l 1
(x) P m l 2
(x), P m l 1 ′ (x) P m l 2 ′ (x) ∈ R
P m l 1
(x) P m l 2 ′ (x) ∈ iR
(B.11)
(B.12)
Aus der Definition (B.6) lassen sich für gegebenes l und m die entsprechenden zugeordneten Legendrepolynome
konstruieren:
P m l
(−1)m
l∑ ( ) l d
(x) =
2 l l! (1 − x2 ) m/2 (−1) k l+m
x2l−2k
(B.13)
k dxl+m k=0
Dabei erhält man für die l + m-fache Ableitung:
d l+m
dx l+m x2l−2k =
⎧
⎪⎨ 0 für k > l−m
⎪⎩
(2l−2k)!
(l−2k−m)! xl−2k−m
sonst
2
(B.14)
Insbesondere erhält man damit für k = 0 eine Näherung für große Argumente x ≫ 1
P m l
(x) ≃
(−1)m
2 l l! (1 − x2 ) m/2 x m dl+m
dx l+m x2l ≃
und entsprechend für die Ableitungen
P m l
′ (x) ≃
(−i)m (2l)!
2 l l! (l − m)! xl , (B.15)
(−i) m (2l)!
2 l (l − 1)!(l − m)! xl−1 . (B.16)
Ableitungen gewöhnlicher Legendrepolynome lassen sich über Gegenbauer-Polynome darstellen
d m
dx m P l(x) = (2m)! 1 2 m m! C(m+ 2 )
l−m
(x) (B.17)
Da die Gegenbauer-Polynome für x = 1 den Wert
⎛
⎞
C α n + 2α − 1
n(1) = ⎜⎝
⎟⎠
n
besitzen, gilt:
(B.18)
d m
dx m P l(1) =
(l + m)!
2 m m! (l − m)!
(B.19)
33

B. Spezielle Funktionen
P m l (x) l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
√
1
m = −3
48 1 − x 2 (1 − x 2 )
1
m = −2
8 (1 − x2 1
)
8 x(1 − x2 )
m = −1
1
2
√
1 − x 2 1
2 x √ 1 − x 2 1
8
√
1 − x 2 (5x 2 − 1)
m = 0 1 x − 1 2 (1 − 3x2 )
1
2 (5x3 − 3x)
m = 1 − √ 1 − x 2 −3x √ 1 − x 2 − 3 2
√
1 − x 2 (5x 2 − 1)
m = 2 3(1 − x 2 ) 15x(1 − x 2 )
m = 3 −15 √ 1 − x 2 (1 − x 2 )
Tabelle B.2.: Die ersten assoziierten Legendre-Polynome bis l = 3.
Iν(x)
5
4
3
2
ν = 0
ν = 1 2
ν = 1
ν = 3 2
ν = 2
ν = 5 2
ν = 0
ν = 1 2
ν = 1
ν = 3 2
ν = 2
ν = 5 2
5
4
3
2
Kν(x)
1
0
0 1 2 3 4
x
a)
b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x
1
0
Abbildung B.1.: Die ersten modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung a) und zweiter
Gattung b) für niedrige halbzahlige Werte.
34

B.3. Modifizierte Bessel-Funktionen
10 6
10 3
y = I 3
2 (x)
y =
1
Γ(1+ 3 2 ) ( x
2
y =
ex
) 3
2
y = K 3
2 (x)
y = 1 2 Γ( 3 2 ) ( 2
x
y = √ π
2x e−x
) 3
2
10 4
10 0
y
10 0
√
2πx
b)
y
10 −4
10 −3
2.5 5 7.5 10 12.5 15
x
a)
2.5 5 7.5 10 12.5 15
x
10 −8
Abbildung B.2.: Vergleich zwischen Funktion und Näherungen für große und kleine Werte
von x für I 3/2 (x) (links) und K 3/2 (x) (rechts).
B.3. Modifizierte Bessel-Funktionen
Die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung I ν (x) ist definiert über die Bessel-Funktion erster
Gattung J ν (x) für imaginäre Argumente:
I ν (x) = i −n J ν (ix) =
∞∑
k=0
1
( x
) 2k+ν
(B.20)
k! Γ(k + ν + 1) 2
Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Gattung K ν (x) oder MacDonald-Funktion ist definiert über:
K ν (x) = π 2
I −ν (x) − I ν (x)
sin(νπ)
(B.21)
Für kleine Werte von x lassen sich die modifizierten Bessel-Funktionen durch
1
( x
) ν (
I ν (x) =
) + O x
ν+2
, K ν (x) = Γ(ν) ( ) ν 2
+ O ( x ν+2) (B.22)
Γ(ν + 1) 2
2 x
und für große Argumente x ≫ 1 durch
I ν (x) =
(
√
[1 ex 1
+ O , K ν (x) =
2πx x)]
√ [ ( π 1
2x e−x 1 + O
x)]
(B.23)
nähern.
35

B. Spezielle Funktionen
B.4. Wigner-D–Symbole
Mit den Gleichungen (67) und (68) aus [WignerDfunction] lässt sich
√
d l m,1 (θ) + dl m,−1 (θ) = 2
(−1)m+1 l(l + 1) (2l + 1) 2¯π lm(θ)
√
= (−1) m+1 2 2m ¯P m l (cos θ)
l(l + 1) (2l + 1) sin θ
=
− √ 8m N lm P m l
(cos θ)
√ l(l + 1) (2l + 1) sin θ
(B.24)
und
√
d l m,1 (θ) − dl m,−1 (θ) = 2
(−1)m+1 l(l + 1) (2l + 1) 2¯τ lm(θ)
√
(l − m)! dP m l
(cos θ)
= −2
l(l + 1) (l + m)! dθ
=
√
8 Nlm
√ P m′ l(l + 1) (2l + 1)
l
(cos θ) sin θ (B.25)
zeigen. Definitionen und Eigenschaften der Wigner-D–Symbole finden sich in [biedenharn, rose].
36

C. Streuung an einer Kugel und Faktor −2
Bei den Matrixelementen
〈l, m, E | R S | l, m, E〉 = −2a l (ω)
〈l, m, M | R S | l, m, M〉 = −2b l (ω)
(C.1)
(C.2)
fällt ein Faktor −2 auf, obwohl man zunächst nur die Mie-Koeffizienten a l und b l erwarten würde.
Hier soll die Frage nach der Herkunft des Faktors −2 soweit möglich diskutiert werden. Die Streuung
ebener Wellen an einer Kugel wird in [jackson, kerker] behandelt, wir beziehen uns aber in der
folgenden Diskussion ausschließlich auf [bohrenhuffman].
Die Absorption und Streuung elektromagnetischer Wellen an einer Kugel ist ein analytisch lösbares
Problem und wird in der Literatur häufig als Mie-Streuung bezeichnet. Üblicherweise betrachtet man
eine in x-Richtung polarisierte ebene Welle mit Ausbreitung in z-Richtung. Durch eine Drehung des
Koordinatensystems mittels Wigner-D–Matrizen [biedenharn, rose] lassen sich beliebige Polarisationen
und Einfallsrichtungen auf diesen Fall zurückführen.
Die einfallende Welle lässt sich nach Vektorkugelflächenfunktionen (VSH) entwickeln:
E i (R) =
∞∑
l=1
(
E l M
(1)
o,l1 − ) iN(1) e,l1 , El = i l 2l + 1
E 0
l(l + 1)
(C.3)
Der Faktor E 0 gibt die Amplitude der einfallenden Welle an, M und N entsprechen den VSH, die sich
aber von den in Kapitel 3.3 eingeführten VSH unterscheiden: Die VSH M und N sind im Ortsraum
definiert und besitzen daher einen Radialanteil. Die hochgestellte „1“ soll verdeutlichen, dass der
Radialanteil durch sphärische Bessel-Funktionen j l gegeben ist. Außerdem sind die VSH M und N in
gerade (Index e) und ungerade (Index o) Funktionen zerlegt und die Werte für m daher nichtnegativ.
In der Entwicklung (C.3) verschwinden alle Terme für m 1.
Die Entwicklung der gestreuten Welle ist
E s (R) = −
∞∑
l=1
E l
(
bl M (3)
o,l1 − ia liN (3)
e,l1)
, (C.4)
wobei die Hochstellung „3“ nun bedeutet, dass der Radialanteil durch sphärische Hankel-Funktionen
erster Art h (1)
l
gegeben ist.
37

C. Streuung an einer Kugel und Faktor −2
Ein Vergleich von (C.3) und (C.4) zeigt, dass das Vorzeichen in den Matrixelementen (C.1) und (C.2)
Folge der Definition der Mie-Koeffizienten ist:
R S N (1)
o,l1 = −a lN (3)
o,l1
R S M (1)
o,l1 = −b lM (3)
o,l1
(C.5)
(C.6)
Damit ist aber noch nicht der Faktor 2 erklärt. Die oberen Gleichungen stellen auch keine Eigenwertgleichung
dar, da sich die Radialanteile unterscheiden: Die einlaufenden Wellen werden durch sphärische
Bessel-Funktionen j l , die auslaufenden Wellen durch sphärische Hankel-Funktionen erster Art
h (1)
l
beschrieben. Die Hankel-Funktionen h (1)
l
müssen zuerst wieder in sphärische Besselfunktionen j l
umgerechnet werden. Dies soll für einen unterschiedlichen Ursprung möglich sein [bostroem].
Dem Autor ist aber zu diesem Zeitpunkt nicht klar, wie sich der Faktor 2 genau erklären lässt. Der
Faktor wurde für diesen Fachpraktikumsbericht in einer Art Ad-hoc-Ansatz eingeführt, um auf die
gleichen Ergebnisse wie Canaguier-Durand et al. [Durand, ThermalCasimirEffect] zu kommen.
Die genaue Argumentation wird in der Master-Arbeit nachgeliefert.
38

D. Rechnungen für ξ → 0
D.1. Integration über B (m)
l 1 l 2
für ξ → 0
Für ξ → 0 lässt sich das Integral
a perf
l 1
∫ ∞
0
dk B (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1
∫ ∞
0
dk e −2kL c3 k 2
ξ 3 Pm l 1
′
( ) ( kc
P m ′
l
ξ 2
− kc )
ξ
(D.1)
analytisch bestimmen. In diesem Fall wird das Argument der assoziierten Legendrepolynome (betragsmäßig)
groß und die Funktionen lassen sich durch die Näherung (B.16) ausdrücken:
a perf
l 1
∫ ∞
0
dk B (m)
l 1 l 2
≃ Λ (m)
l 1 l 2
a perf (−1) l2+m+1 (−i) 2m (2l 1 )! (2l 2 )!
l 1
2 l 1+l 2 (l1 − 1)! (l 2 − 1)! (l 1 − m)! (l 2 − m)!
( ) l1 +l c 2 +1 ∫ ∞
×
dk e −2kL k l 1+l 2
ξ
0
(D.2)
Das Integral in Gleichung (D.2) ergibt:
∫ ∞
0
dk e −2kL k l 1+l 2
= (l 1 + l 2 )!
(2L) l 1+l 2 +1
(D.3)
Durch Einsetzen und Zusammenfassen erhält man
mit
a perf
l 1
∫ ∞
0
(
dk B (m)
l 1 l 2
≃ Ξ (m)
l 1 l 2
a perf R
) l1 +l 2 +1 ( ξR
l,0
L c
) l1 −l 2
(D.4)
Ξ (m)
l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
(−1) l 2+1 (2l 1 )! (2l 2 )! (l 1 + l 2 )!
4 2l 1+l 2 +1 (l 1 − 1)! (l 2 − 1)! (l 1 − m)! (l 2 − m)! . (D.5)
Analog erhält man:
b perf
l 1
∫ ∞
0
(
dk B (m)
l 1 l 2
= Ξ (m)
l 1 l 2
b perf R
) l1 +l 2 +1 ( ξR
l,0
L c
) l1 −l 2
(D.6)
39

D. Rechnungen für ξ → 0
D.2. Determinante von M (m) (P, P) für ξ → 0
Für n = 0 verschwindet die Matsubara-Frequenz ξ → 0. Die Matrixelemente M (m) (E, E) l1 l 2
und
M (m) (M, M) l1 l 2
unterhalb der Diagonalen verschwindern, auf der Diagonalen sind sie endlich und
divergieren oberhalb der Diagonalen. Allgemein gilt für das Matrixelement M (m) (P, P) l1 l 2
∼ λ l 1−l 2
,
wobei hier
λ = ξR c
(D.7)
ist.
Die Matrix besitzt also folgende Struktur:
⎛
M (m) (P, P) =
⎜⎝
a 11 λ 0 a 12 λ −1 · · · a 1n λ −n+1
a 21 λ 1 a 22 λ 0 · · · a 2n λ −n+2
.
.
.. .
a n−1,1 λ n−2 a n−1,2 λ n−3 · · · a n−1,n λ
⎞⎟⎠
−1
a n1 λ n−1 a n2 λ n−2 · · · a nn λ 0
(D.8)
Um nun zu zeigen, dass die Determinante weder verschwindet noch divergiert für λ → 0, wird die
erste Zeile der Matrix mit dem Faktor λ n−1 , die zweite Zeile mit dem Faktor λ n−2 , · · · , und die vorletzte
Zeile mit dem Faktor λ 1 multipliziert. Damit sich der Wert der Determinanten nicht ändert, muss ein
entsprechender Faktor λ −1 λ −2 . . . λ −n+1 multipliziert werden:
∏n−1
det M (m) (P, P) = λ −k det
k=1
⎛
⎜⎝
a 11 λ n−1 a 12 λ n−2 · · · a 1n λ 0
a 21 λ n−1 a 22 λ n−2 · · · a 2n λ 0
.
. .. .
a n−1,1 λ n−1 a n−1,2 λ n−2 · · · a n−1,n λ 0
a n1 λ n−1 a n2 λ n−2 · · · a nn λ 0 ⎞⎟⎠
(D.9)
Multipliziert man die erste Spalte mit dem Faktor λ n−1 , die zweite Spalte mit dem Faktor, . . . , und die
vorletzte Spalte mit dem Faktor λ, hebt sich der Vorfaktor genau weg und man erhält:
⎛
a 11 a 12 · · · a 1n
det M (m) (P, P) = det
a 21 a 22 · · · a 2n
.
. .. .
(D.10)
⎜⎝
a n−1,1 a n−1,2 · · · a n−1,n
a n1 a n2 · · · a nn
⎞⎟⎠
Die Determinante ist also unabhängig von λ und somit auch unabhängig von ξ.
40

E. Rechnungen und mathematische
Umformungen
E.1. Determinante einer Blockmatrix
Seien A, B, C, D ∈ R n×n , λ ∈ C, dann gilt:
⎛
det ⎜⎝
A
1
λ C
λB
D ⎞⎟⎠ = 1 λ n det ⎛⎜⎝
λA
C
λB
D
⎞
⎟⎠ = λn
λ n det ⎛⎜⎝
A
C
B
D
⎞
⎟⎠ = det ⎛⎜⎝
A
C
B
D
⎞
⎟⎠
(E.1)
Insbesondere gelten die beiden Spezialfälle
⎛
det ⎜⎝
A
iC
iB
D
⎞
⎟⎠
⎛⎜⎝ = det
A
C
−B
D
⎞
⎟⎠
(E.2)
und
⎛
det ⎜⎝
A
−C
−B
D
⎞
⎟⎠ = det ⎛⎜⎝
A
C
B
D
⎞
⎟⎠ .
(E.3)
E.2. Äquivalenz der Matrixelemente mit Canaguier-Durand et. al.
Die in dieser Arbeit präsentierten Matrixelemente (4.34)–(4.37) unterscheiden sich zwar auf den ersten
Blick von denen aus [Durand, ThermalCasimirEffect], die jeweiligen Ausdrücke lassen sich
aber ineinander umformen. Dies wird hier an dem Beispiel für das Matrixelement M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
gezeigt.
Für M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
gilt nach [Durand, ThermalCasimirEffect]:
M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
=
√
∫
(2l 1 + 1)π
∞
l 2 (l 2 + 1) a dk
l 1
(−im)
0 κ
[
d
l 1
m,1 (θ+ ) + d l 1
m,−1 (θ+ ) ] Y l2 ,m(θ − , 0) r TE e −2κL (E.4)
41

E. Rechnungen und mathematische Umformungen
Die Summe der Wigner-D–Symbole lässt sich über Gleichung (B.24) durch ein zugeordnetes Legendrepolynom
ersetzen. Außerdem lässt sich die Kugelflächenfunktion als zugeordnetes Legendrepolynom
umschreiben:
M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
= im 2 a l1
∫ ∞
dk
×
0 κ
√
8Nl1 m
√
l2 (l 1 + 1) (2l 1 + 1)
P m (
l 1
cos θ
+ )
sin θ +
√
(2l 1 + 1) π
l 2 (l 2 + 1)
N l2 m
√
2π
P m l 2
( cos θ
+ ) r TE e −2κL
Nach der Wick-Rotation gilt analog zu (3.6) für Sinus und Cosinus des Polarwinkels:
(E.5)
sin θ ± = −ick
ξ , cos θ± = ± cκ
ξ
(E.6)
Nach Einsetzen in (E.5), Kürzen und Umsortieren erhält man
M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
= im 2 a l1
was sich weiter zu
×
∫ ∞
0
dk
κ
M (m)
TE (E, E) l 1 l 2
= Λ (m)
l 1 l 2
a l1
m 2 ξ
c
−2N l1 mN l2 m
√
l1 (l 1 + 1) l 2 (l 2 + 1)
(
ξ κc
ick r TE P m l 1
ξ
∫ ∞
0
)
P m l 2
(
− κc
ξ
)
e −2κL ,
dk 1 ( ) ( κc
κk r TE P m l 1
P m l
ξ 2
− κc )
e −2κL
ξ
(E.7)
(E.8)
umformen lässt. Der Ausdruck (E.8) ist identisch mit (4.34) für die TE-Mode.
42