1 Vektorrechnung 1.1 Skalare und Vektoren

In[1]:=
Out[1]=
$PrePrint = MatrixForm
MatrixForm
Dieser Befehl bewirkt dass alle Matrizen in MatrixForm ausgegeben werden.
Das vorliegende Skriptum entstand aus einer Fachbereichsarbeit und orientiert sich am
Buch von E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Ed. John Wiley 1999.
1 Vektorrechnung
1.1 Skalare und Vektoren
Man kann die Begriffe Skalar und Vektor am besten anhand von physikalischen
Beispielen veranschaulichen. Eine skalare Größe ist eine Größe, die durch eine einzige
reelle Zahl bestimmt wird. Beispiele dafür sind: die Masse eines Körpers, das Volumen
eines Körpers, die Temperatur, der Widerstand usw.
Aber meistens reicht eine einzige Zahl für die Beschreibung eine Größe nicht aus. In
der Mechanik zur Charakterisierung einer Kraft etwa verwendet man einen Vektor.
Ein Vektor entspricht einer gerichteten Strecke, die nicht nur die Stärke angeben kann,
sondern auch die Richtung in der die Kraft wirkt.
1.2 Komponenten eines Vektors
Es sei Ø a ein Vektor in einem kartesischen Koordinatensystem, der durch eine gerichtete
Strecke PQ, wobei P der Anfangspunkt und Q der Endpunkt ist, gegeben ist. Die
Koordinaten vom Punkt P sind (x 1 ,y 1 ), die vom Punkt Q sind (x 2 ,y 2 ). Die Komponenten
des Vektors Ø a erhält man indem man von der Spitze (dem Endpunkt P), den
Schaft (den Anfangspunkt Q), abziehen.
a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 .
Die Länge des Vektors |a Ø | ist der Abstand der Punkte P und Q voneinander und ist
daher (Pythagoras)
|a Ø | = è!!!!!!!!!!!!!!!!!! a 12 + a 22 .
Beispiel 1:
Der Vektor a Ø hat den Anfangspunkt P = (1,2) und Endpunkt Q = (3,4). Die Komponenten
sind daher
a 1 = 3 - 1 = 2, a 2 = 4 - 2 = 2

2 LineareAlgebra.nb
und die Länge von a Ø ist
|a Ø | = è!!!!!!!!!!!!!! 2 2 + 2 2 = è!!! 8.
Beispiel 1: Länge von Vektoren mit Mathematica
In[2]:=
vektornorm@v__D := HSum@v@@iDD 2 , 8i, 1, Length@vD

LineareAlgebra.nb 3
1.3 Addition von Vektoren und Multiplikation
mit Skalaren
Addition von Vektoren
Die Vektoraddition ist eine Basisrechenoperation in der Vektorrechnung. Wenn man
zwei Vektoren Ø a Ø und b addieren will, muß man die einzelnen Komponenten miteinander
addieren. Der Anfangspunkt des daraus folgenden Vektors Ø c ist der Anfangspunkt
von a Ø und der Endpunkt von c Ø ist der Endpunkt von b Ø .
Ø Ø Ø a 1
a + b = c, J N + J b 1
N = J a 1 + b 1
N = J c 1
N.
a 2 b 2 a 2 + b 2 c 2
Für die Vektoraddition gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, daß
ist.
Ø Ø Ø Ø
a + b = b + a
Aus der Skizze unten ist dies ersichtlich.
Die Vektoraddition unterliegt auch dem Assiozativgesetz welches aussagt, daß
(a Ø + b Ø ) + c Ø = a Ø + (b Ø + c Ø ).
Zu jedem Vektor a Ø gibt es einen inversen Vektor -a Ø , sodaß gilt
Ø Ø Ø
a + (-a) = 0.

4 LineareAlgebra.nb
Es gilt auch
Ø Ø Ø
a + 0 = a.
Zusammengefaßt kann man sagen, daß die Vektoren bezüglich der Vektoraddition eine
kommutative Gruppe bilden.
Beispiel 3: Addition von Vektoren mit Mathematica
In[10]:= J a 1
a 2
N + J b 1
b 2
N
Out[10]= J a 1 + b 1
a 2 + b 2
N
Multiplikation mit Skalaren
Man kann einen Vektor Ø a mit einem Skalar l, also einer reellen Zahl, multiplizieren.
Die Komponenten des Vektors la Ø lauten (la 1 , l a 2 ). Bei der Multiplikation mit
Skalaren l, m gelten jetzt folgende Gesetze
(i) l(ma Ø ) = (lm)a Ø gemischtes Assoziativgesetz
(ii) 1a Ø = Ø
a
(iii) l(a Ø + Ø b)= la Ø + lb Ø gemischtes Distributivgesetz
(iv) (l + m)a Ø = la Ø + mb Ø
Wenn der Skalar eine negative Zahl ist, wird die Orientierung des Vektors umgekehrt.
Beispiel 4: Multiplikation mit Skalaren mit Mathematica

LineareAlgebra.nb 5
In[11]:= l*J a 1
a 2
N
Out[11]= J l a 1
l a 2
N
1.4 Vektorräume
Ein Vektorraum oder auch linearer Raum besteht aus der Menge aller Elemente die er
beinhaltet. Die Definition eines reellen Vektorraumes lautet: Gegeben sei eine Menge
deren Elemente sämtliche Rechenregeln der Vektoraddition und der Multiplikation mit
einem Skalar wie im Kapitel 1.3 befolgen. Diese Elemente bilden dann einen Vektorraum
und heißen Vektoren. Statt der reellen Zahlen können auch in analoger Weise
Vektorräume über den komplexen Zahlen definiert werden.
Lineare Abhänigkeit und Unabhänigkeit:
Ø Ø
Die Vektoren v 1,
..., vm
nennt man linear unabhängig, wenn gilt
Ø Ø Ø
l 1 v 1 + l2 v 2 + ... + lm v m = 0 fl l1 = l 2 = ... = l m = 0.
In einer linear abhängigen Menge von Vektoren eines Vektorraumes kann man mindestens
einen der Vektoren durch eine lineare Kombination der anderen darstellen. Bei
einer linear unahängigen Menge funktioniert das nicht.
Die maximale Anzahl n von linear unabhängigen Vektoren eines Vektorraumes nennt
man seine Dimension n und eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren eine
Basis des Vektorraumes. Jeder Vektor kann dann durch eine lineare Kombination der
Basisvektoren gebildet werden.
Beispiel 5: Lineare Abhänigkeit und Unabhänigkeit mit Mathematica:
In[12]:= a = 81, 2, 3<
b = 84, 5, 6

6 LineareAlgebra.nb
In[18]:= Solve@l 1 a +l 2 b +l 3 c2 ã d, 8 l 2 , l 3 , l 1

LineareAlgebra.nb 7
Ø
a
b
Ø
= |a
Ø
| |b
Ø
'|,
Ø Ø Ø Ø
a b = |a| |b| cos j.
Für das skalare Produkt von a Ø und b Ø sind auch noch folgende Schreibweisen üblich
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
a b = Äa, bê = (a, b).
Bei der skalaren Multiplikation werden die Vektoren wie folgt multipliziert:
J a 1
a 2
NJ b 1
b 2
N = a 1 b 1 + a 2 b 2
Ø Ø Ø
a = a1 e x + a2 e y ,
Ø Ø
b = b1 e x
Ø
+ b2 e y,
Ø Ø Ø Ø
da e x ex = 1 und ex ey = 0 ist.
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
a b = (a 1 e x + a2 e y)
( b1 e x + b2 e y)
= a 1 b 1 + a 2 b 2 ,
Beispiel 6: Skalares Produkt mit Mathematica
In[20]:=
Out[20]= 5.48
Dot@81.2, 1.1, 1

8 LineareAlgebra.nb
1.6 Innere Produkträume
Ein reeller Vektorraum wird dann ein reeller (innerer Produktraum) oder Vektorraum
mit Skalarprodukt genannt, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden: Zu jedem Paar
von Vektoren a Ø und b Ø gibt es eine zugehörige reelle Zahl genannt inneres Produkt
(skalares Produkt).
1.7 Vektorprodukte
Das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt oder Dachprodukt genannt gibt es nur im — 3 .
Das Produkt a Ø ä b Ø (bzw. a Ø fl b Ø ) zweier Vektoren a Ø und b Ø ergibt einen Vektor v Ø , der
auf die Ebene, die a Ø und b Ø bilden, normal steht. Der Betrag des Vektors v Ø ist die
Fläche des von a Ø und b Ø aufgepannten Parallelogramms. a Ø , b Ø und v Ø bilden ein Rechtssystem.
Es gilt
|a Ø ä b Ø | = |v Ø | = |a Ø | |b Ø | sin j.
Vektorprodukte erfüllen nicht das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Durch
die Rechtsschraubenregel kann man b Ø ä a Ø aus a Ø ä b Ø bestimmen.
(a Ø ä Ø b) ä Ø c ≠ Ø a ä (b Ø ä Ø c),
Ø Ø Ø Ø
a ä b = - b ä a .
Daraus folgt: sind die Vektoren a Ø und b Ø parallel, so gilt
Für eine orthonormale Basis gilt
Ø Ø Ø
a ä b = 0.
Ø Ø Ø
e x ä ey = ez.

LineareAlgebra.nb 9
1.8 Vektorprodukte durch ihre Komponenten
ausgedrückt
Um mit Vektorprodukten rechnen zu können muß man wissen, daß
i v 1 y i a 1 y i b 1 y i a 2 b 3 - a 3 b 2 y i Ø
e
Æ x e Æ y ez
y
Ø
v = v 2
j z = a 2
j z ä b 2
j z = -a 1 b 3 + a 3 b 1
j
k v 3 { k a 3 { k b 3 { k a 1 b 2 - a 2 b 1 {
z = det a 1 a 2 a 3
j z .
k b 1 b 2 b 3 {
Dies folgt unmittelbar aus der Darstellung
Ø Ø Ø Ø
a = a1 e x + a2 e y + a3 e z,
Ø Ø
b = b1 e x
Ø Ø
+ b2 e y + b3 e z,
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
a äb = (a 1 e x + a2 e y + a3 e z)
ä ( b1 e x + b2 e y + b3 e z)
Ø
= (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) e x
Ø
+ (a3 b 1 - a 1 b 3 ) e y
Ø
+ (a1 b 2 - a 2 b 1 ) e z.
Zwecks Vollständigkeit wurde hier bereits die Formel mit der Determinante angegeben,
obwohl deren Definition erst im nächsten Kapitel erfolgt.
Beispiel: Abstand zweier windschiefer Geraden.
Ø
Der Vektor a äb Ø
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Ø
a äb Ø steht normal auf die Geraden GØ, GØ mit den Richtungsvektoren
a b
ƒ ƒ
Ø Ø
a und b und hat die Länge eins. Der Abstand d ist dann gegeben durch das
Skalarprodukt
d = Ä aØ äb Ø
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , Ø cê
a
ƒ
Ø
äb Ø ƒ
wobei der Vektor c Ø ein beliebiger Vektor ist, dessen Anfangspunkt auf der Geraden
GØ und dessen Endpunkt auf der Geraden GØ liegt.
a b
Beispiel 7: Vektorprodukt mit Mathematica
In[26]:=
Out[26]=
Cross@81.2, 1.1, 0

10 LineareAlgebra.nb
In[27]:= 81.2, 1.1, 0< ä 85.4, -2, 1.2<
Out[27]=
i 1.32 y
-1.44
j z
k -8.34 {
1.9 Das gemischte Produkt dreier Vektoren
Ø Ø
i
Ø
a (b ä c) = det
j
k
a 1 a 2 a 3 y
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
Geometrisch kann das gemischte Produkt dreier Vektoren als das Volumen des von
den drei Vektoren aufgespannten Körpers (Parallelepiped) interpretiert werden.
z
{
2 Matrizen und Determinanten
2.1 Grundsätzliche Konzepte
Matrizen sind rechteckige "Felder", die aus Reihen und Spalten bestehen. Die
Reihen und Spalten beinhalten die Koeffizienten der Matrix. Matrizen werden dazu
verwendet um lineare Gleichungssysteme oder Transformationen darzustellen.
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 .
Die Koeffizienten der ersten Gleichung werden in die erste Reihe der Matrix
geschrieben, dann die der zweiten in die zweite Reihe.
A = J a 11 a 12
a 21 a 22
N.
Damit kann das obige Gleichungssystem wie folgt dargestellt werden, wenn die
Multiplikation entsprechend definiert wird. (Dies führt in weiterer Folge zur Definition
der Matrizenmultiplikation.)
J a 11 a 12
a 21 a 22
N.J x 1
x 2
N = J b 1
b 2
N
Spezielle Matrizen

LineareAlgebra.nb 11
Spezielle Matrizen sind zum Beispiel die Reihenmatrix, die nur aus einer Reihe
besteht, oder die Spaltenmatrix, die nur aus einer Spalte besteht.
H a 1 ... a n L,
i
j
k
b 1 y
:
b n
z .
{
Beispiel 8: Spaltenmatrix und Reihenmatrix mit Mathematica
In[28]:= 88x 1 ,x 2 , x 3

12 LineareAlgebra.nb
Bei der Multiplikationeiner matrix mit einer Zahl wird jede einzelne Komponente
mit der Zahl multipliziert, zum Beispiel
lA = J l a 11 l a 12
l a 21 l a 22
N.
Beispiel 9: Addition von Matrizen mit Mathematica
In[30]:= J a b
c d N + 3 J 1 1
0 1 N
Out[30]= J 3 + a 3 + b
c 3 + d N
2.3 Transponierte Matrizen
Die Transponierung A T einer Matrix A funktioniert folgendermaßen: Die Elemente
der Reihen werden mit denen der Spalten vertauscht, zum Beispiel
A = J a 11 a 12
a 21 a 22
N,
A T = J a 11 a 21
N.
a 12 a 22
Hierbei können folgende Sonderfälle auftreten:
(a) Die Symmetrische quadratische Matrix. Wenn man sie transponiert
erhält man wieder dieselbe Matrix, zum Beispiel
i 1 6 3 y
A = 6 0 -2
j z , AT = A.
k 3 -2 5 {
(b) Schiefsymmetrische quadratische Matrix. Wenn man A transponiert
erhält man -A, zum Beispiel
i 1 6 3 y
A = -6 0 -2
j z , AT = -A.
k -3 2 5 {
(c) Quadratische Dreiecksmatrix. Bei ihr besteht eine der zwei Seiten der
Hauptdiagonale nur aus Nullen, zum Beispiel
i 1 0 0y
i 1 3 -6 y
A = 8 2 0
j z oder B = 0 2 5
j z .
k -3 2 5{
k 0 0 5 {
Eine untere Dreiecksmatrix wird bei Transponierung zu einer oberen und umgekehrt.

LineareAlgebra.nb 13
Beispiel 10: Transponierte Matrix mit Mathematica
In[31]:=
Out[31]=
i 1 0 0y
TransposeA 8 2 0
j z E
k -3 2 5{
i 1 8 -3 y
0 2 2
j z
k 0 0 5 {
2.4 Matrizenmultiplikation
Zwei Matritzen kann man nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl
der ersten mit der Zeilenanzahl der zweiten übereinstimmt. Die darausfolgende
Matrix hat dann dieselbe Anzahl an Spalten und Reihen wie die erste Matrix. Nimmt
man zwei 2 µ 2 Matrizen A und B dann ist das Produkt wie folgt definiert
J a 11 a 12
a 21 a 22
N . J b 11 b 12
b 11 b 22
N =
J a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22
a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22
N.
Um zu diesen Ergebnis zu gelangen, führt man folgende Merkregel ein. Dazu faßt
man die zwei Komponenten der Reihen von A zu jeweils einer zusammen.
A = J a 1
a 2
N
a 1 = H a 11
a 2 = H a 21
wobei
a 12 L
a 22 L
Dann faßt man die zwei Komponenten der Spalten von B zu jeweils einer
zusammen.
B = H b 1
b 2 L wobei
b 1 = J b 11
b 12
N, b 2 = J b 21
b 22
N.
Die Komponenten von C, kann man dann mit den skalaren Produkten errechnen.
Es gilt
C = J a 1.b 1 a 1 .b 2
N
a 2 .b 1 a 2 .b 2
c jk = a j .b k = a j,1 b k,1 + a j,2 b k,2 .

14 LineareAlgebra.nb
Beispiel 11: Matrizenmultiplikation mit Mathematica
Achtung: Mathematica unterscheidet natürlich normale Multiplikation "*" und
Matrizenmultiplikation "."
In[32]:= J a b
c d N.J 1 1
0 1 N
Out[32]= J a a + b
c c + d N
In[33]:= MatrixPowerAJ a b
c d N,3E
Out[33]=
i
k
j a Ha2 + bcL + b Ha c+ cdL
c Ha 2 + bcL + d Ha c+ cdL
a Ha b+ bdL + b Hb c+ d 2 L y
z
c Ha b+ bdL + d Hb c+ d 2 L {
2.5 Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix ist gegeben durch die Anzahl der linear unahängigen Reihenvektoren.
Die Nullmatrix hat zum Beispiel den Rang 0. Die folgende Matrix
i 3 0 2 2 y
A = -1 7 4 9
j
z
k 7 -7 0 -5 {
hat den Rang Ran(A) = 2. Begründet dadurch, daß die dritte Zeile eine lineare
Kombination der beiden ersten ist.
Bei Spalten gibt es auch einen Rang einer Matrix. Man kann ihn mit der Anzahl der
linear unahängigen Spaltenvektoren ermitteln.
Es gilt: Spaltenrang ist gleich Zeilenrang!
Der Rang ist daher gleich der Dimension des Bildraumes der Matrix
Beispiel 12: Rang einer Matrix mit Mathematica
In[34]:=
rang@x_D := Last@Dimensions@xDD - Length@NullSpace@xDD
i 1 0 3y
In[35]:= ma = 4 2 4
j z ;
k 7 8 9{
i 1 2 3y
In[36]:= mb = 4 5 6
j z ;
k 7 8 9{

LineareAlgebra.nb 15
In[37]:=
Out[37]=
RowReduce@maD
i 1 0 0y
0 1 0
j z
k 0 0 1{
In[38]:=
Out[38]= 3
rang@maD
In[39]:=
Out[39]=
RowReduce@mbD
i 1 0 -1 y
0 1 2
j z
k 0 0 0 {
In[40]:=
Out[40]= 2
rang@mbD
In[41]:=
Clear@ma, mbD
Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die in den Nullvektor abgebildet werden
und wird daher auch noch Nullraum genannt.
Beispiel 13: Kern einer Abbildung (Matrix) mit Mathematica
In[42]:=
Out[42]=
i 1 2 3y
TransposeANullSpaceA 4 5 6
j z EE
k 7 8 9{
i 1 y
-2
j z
k 1 {
2.6 Lineare Gleichungssysteme
Gauß'sches Eliminationsverfahren
Lineare Gleichungssysteme
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
Alle a jk und b j sind vorgegebene Zahlen. Wenn alle b j gleich Null sind, nennt man
das Gleichungssystem ein homogenes Gleichungssystem, ansonsten ein inhomogenes
Gleichungssystem. Man kann ein System auch durch eine Koeffizientenmatrix
A und durch die Erweiterte Matrix B ausdrücken.
A = J a 11 a 12
a 21 a 22
N , B = J a 11 a 12 b 1
a 21 a 22 b 2
N.

16 LineareAlgebra.nb
Gauß'sches Eliminationsverfahren
Nicht alle linearen Gleichungssysteme haben eine Lösung und manche haben sogar
mehrere Lösungen. Mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahren kann man nun
versuchen das Gleichungsystem zu lösen. Ein Beispiel:
-x 1 + x 2 + 2x 3 = 2
3x 1 - x 2 + x 3 = 6
-x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 4
i -1 1 2 2y
3 -1 1 6
j
z
k -1 3 4 4{
Zuerst muß man x 1 aus der 2. und 3. Gleichung eliminieren indem man eine jeweils
entsprechende Linearkombination der 1. Gleichung addiert. Drei mal die Erste
addiert zur Zweiten und minus ein mal die Erste addiert zur Dritten ergibt
-x 1 + x 2 + 2x 3 = 2
2x 2 + 7x 3 = 12
2x 2 + 2x 3 = 2,
i -1 1 2 2
0 2 7 12
j
k 0 2 2 2
y
z
{
Als Zweites muß man x 2 aus der 3. Gleichung eliminieren indem man eine passende
Linearkombination der 2. Gleichung addiert.
-x 1 + x 2 + 2x 3 = 2
2x 2 + 7x 3 = 12
-5x 3 = -10,
i
j
k
-1 1 2 2
0 2 7 12
y
z
0 0 -5 -10 {
Es ergibt sich
x 3 = 2; x 2 = -1; x 2 = 1.

LineareAlgebra.nb 17
Mit der 3. Gleichung beginnend kann man jetzt dieses Gleichungssystem lösen.
Beim Lösen von anderen Gleichungssystemen kann mann nach demselben Schema
vorgehen.
Existenz und Eigenschaften von Lösungen
(1) Homogene lineare Systeme:
(a) Es existiert immer eine Lösung, nämlich die triviale, das heißt, daß
alle Variablen 0 sind.
(b) Ist der Rang r der Koeffizientenmatrix A, kleiner als die Anzahl der
Variablen n (rank(A) = r < n), so existieren nichttriviale Lösungen.
(2) Inhomogene lineare Systeme:
(a) Eine Lösung eines linearen inhomogenen Gleichungssystems
existiert nur, wenn die Koeffizientenmatrix A den gleichen Rang r hat
wie die erweiterte Matrix B.
(b) Wenn der Rang r der Matrix A mit der Anzahl der Unbekannten n
übereinstimmt, hat das Gleichungssystems genau eine Lösung.
(c) Wenn der Rang r kleiner als die Anzahl der Unbekannten n ist, gibt
es unendlich viele Lösungen.
Wenn eine Lösung existiert, kann man sie mit Hilfe des Gauß'sches Eliminationsverfahrens
bekommen.
In einem inhomogenen Gleichungsystem kann die Lösungsgesamtheit als Summe
einer Lösung x 0 der inhomogenen Gleichung plus aller Lösungen des dazugehörigen
homogenen Gleichungsystem dargestellt werden
x = x 0 + x h .
Beispiel 14: Lineare Gleichungssysteme mit Mathematica
Die Lösung von Gleichungssytemen ist auf mehrere Arten möglich.
Solve liefert alle Lösungen, LinearSolve nur eine spzielle Lösung, die allgemeine Lösung setzt
sich zusammen aus einer speziellen Lösung und beliebigen Vektoren aus dem Kern der
Matrix
In[43]:=
Clear@x, bD

18 LineareAlgebra.nb
In[44]:= Solve@ 84x 1 + bx 2 + 6x 3 - 6 == 0,
6x 1 + 7x 2 + 8x 3 - 9 == 0,
9x 1 + 10 x 2 + 12 x 3 - 12 == 0

LineareAlgebra.nb 19
In[53]:=
Out[53]=
ker@@1DD
i
j
k
0
0
-3
0
1
y
z
{
In[54]:=
Out[54]=
In[55]:=
Out[55]=
allgemeineLösung = x0 +l 1 ker@@1DD +l 2 ker@@2DD +l 3 ker@@3DD
i
j
k
1 -l 2 - 2 l 3
l 3
2 - 3 l 1 - 3 l 2
l 2
l 1
y
z
{
Simplify@a . allgemeineLösung - bD
i 0 y
0
0
j z
k 0 {
In[56]:= Solve@ a.vxã b, 8x 1 , x 2 , x 3 ,x 4 ,x 5

20 LineareAlgebra.nb
i -1 1 2y
A = 3 -1 1
j z
k -1 3 4{
i -1 1 2y
i 1 0 0y
3 -1 1
j z xØ = 0 1 0
j
k -1 3 4{
k 0 0 1{
Man führt an der Matrix A das Gauß'sche Eliminationsverfahren durch und an der
Einheitsmatrix die gleichen Rechenoperationen.
i -1 1 2y
i 1 0 0y
0 2 7
j z xØ = 3 1 0
j z bØ
k 0 2 2{
k 0 0 1{
z bØ
i -1 1 2 y i 1 0 0y
0 2 7
j z xØ = 3 1 0
j z bØ
k 0 0 -5 { k -4 -1 1{
Als nächstes eliminiert man die Koeffizienten oberhalb der Hauptdiagonale, sodaß
links die Einheitsmatrix steht.
i 1 -1 0y
i 3 ê 5 2ê 5 -2 ê 5 y
0 1 0
j z xØ = -13 ê 10 -2 ê 10 7 ê 10
j
z bØ
k 0 0 1{
k 4 ê 5 1ê 5 -1 ê 5 {
i 1 0 0y
i -7 ê 10 2 ê 10 3 ê 10 y
0 1 0
j z xØ = -13 ê 10 -2 ê 10 7 ê 10
j
z bØ
k 0 0 1{
k 4 ê 5 1ê 5 -1 ê 5 {
Die Matrix die jetzt rechts steht ist die Inverse der Matrix A.
Zusammenfassend kann man sagen, daß man
zu umgeformt
haben. Daher ist
A x Ø = b Ø (fl A -1 A x Ø = A -1 b Ø )
Ø Ø
x = B b
B = A -1 .

LineareAlgebra.nb 21
Beispiel 15: Inverse einer Matrix mit Mathematica
In[57]:=
Clear@a, b, c, dD
In[58]:= ma = J a b
c d N
Out[58]= J a b
c d N
In[59]:=
Out[59]=
Inverse@maD
i
j
k
d
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-b c+a d
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-b c+a d
c
a
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-b c+a d
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-b c+a d
y
z
{
Beispiel 16: Komplementäre Matrix mit Mathematica
In[60]:=
kompl@x_D := Inverse@xD Det@xD
In[61]:=
kompl@maD
Out[61]= J d -b
-c a N
Übung: Man berechne die komplementere Matrix durch direkte Anwendung der
Formel aus dem Skriptum
In[62]:=
In[63]:=
minor@j_, k_, mat_D := Det@Transpose@Delete@Transpose@Delete@mat, jDD, kDDD
kofactor@j_, k_, mat_D := H-1L ^Hj + kL * minor@j, k, matD
In[64]:= komplementareMatrix@mat_D :=
Transpose@Table@kofactor@i, j, matD, 8i, Length@matD

22 LineareAlgebra.nb
D 1 bekommt man, wenn man die erste Spalte der Koeffizientenmatrix durch den
Lösungsvektor ersetzt b Æ ersetzt. D 2 bekommt man, wenn man die zweite Spalte der
Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor b Æ ersetzt
Beweis von (1):
D = À a 11 a 12
a 21 a 22
À , D 1 = À b 1 a 12
b 2 a 22
À , D 2 = À a 11 b 1
a 21 b 2
À .
J a 11 a 12
a 21 a 22
N J x 1
x 2
N = J b 1
b 2
N
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 | - a 21
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 | + a 21
( - a 21 a 21 + a 11 a 22 ) x 2 = -b 1 a 21 + b 2 a 11 ,
x 2 =
b 2 a 11 - b 1 a 21
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a 11 a 22 - a 12 a 21
=
D 2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D .
( a 11 a 22 - a 21 a 12 ) x 1 = b 1 a 21 - b 2 a 12 ,
x 1 =
b 1 a 11 - b 2 a
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 21
a 11 a 22 - a 12 a 21
= D 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D ,
qed.
Zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung kann man die Regel von Sarrus
benutzen. Zuerst fügt man die beiden ersten Spalten rechts noch einmal an. Dann
bildet man die Summe der Produkte parallel der Hauptdiagonale und subtrahiert die
Summe der Produkte parallel der Nebendiagonale.
ƒ
a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a 31 a 32 a 33 ƒ a 31 a 32
= (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 )
- (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 )
Um ein lineares Gleichungsystem dritter Ordnung zu lösen, kann man wieder die
Cramersche Regel benutzen. Der Beweis ist analog zum Fall n = 2.
x 1 = D 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D , x 2 = D 2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D , x 3 = D 3
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D ,
D≠0.

LineareAlgebra.nb 23
D 2 bekommt man, wenn man die erste Spalte der Koeffizientenmatrix durch den
Æ
Lösungsvektor ersetzt b ersetzt. D 2 bekommt man, wenn man die zweite Spalte der
Æ
Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor b ersetzt. D 3 bekommt man wenn
Æ
man die dritte Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor b ersetzt.
Wichtige Eigenschaften von Determinanten
(a) Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ihre Reihen als
Spalten in derselben Reihenfolge oder umgekehrt schreibt.
Beweis für 2µ2 Matrizen (gilt analog für Matrizen höherer Ordnung).
A = J a 11 a 12
a 21 a 22
N,
det A = À a 11 a 12
a 21 a 22
À = a 11 a 22 - a 21 a 12 ,
det A T = À a 11 a 21
a 12 a 22
À = a 11 a 22 - a 12 a 21 = det A, qed.
(b) Wenn man zwei Spalten oder Reihen miteinander vertauscht, wird der Wert
der Determinante mit -1 multipliziert. Beweis:
À a 21 a 22
a 11 a 12
À = a 21 a 22 - a 12 a 21 = - det A,
À a 21 a 11
a 22 a 12
À = a 21 a 22 - a 12 a 21 = - det A, qed.
Die Determinante zweiter Ordnung, die man erhält, wenn man eine Spalte und eine
Reihe einer 3µ3 Matrix löscht wird der Minor des Koeffizienten genannt der zu der
gelöschten Reihe und der Spalte gehört.
Der Kofaktor eines Koeffizienten der i-ten Reihe und der k-ten Spalte wird mit
H-1L i+k mal der Minor definiert.
Damit kann man eine Determinante dritter Ordnung ausdrücken durch:
D = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31
= a 11 ( a 22 a 33 - a 32 a 23 ) - a 21 ( a 12 a 33 - a 32 a 13 )
+ a 31 (a 12 a 23 - a 22 a 13 ).

24 LineareAlgebra.nb
wobei C der jeweilige Kofaktor ist. Diesen Vorgang nennt man "entwickeln'' einer
Determinante.
(c) Eine Determinante kann man aus irgend einer ihrer Reihen oder Spalten errechnen,
indem man jeden Koeffizienten mit seinem Kofaktor multipliziert und
aufsummiert.
D = -a 21 À a 12 a 13
a 32 a 33
À + a 22 À a 11 a 13
a 31 a 33
À - a 23 À a 11 a 12
a 31 a 32
À.
(d) Einen gemeinsamen Faktor der Koeffizienten einer Reihe oder Spalte kann man
vor die Determinante herausheben. Dies sieht man unmittelbar, wenn man nur die
Reihe oder Spalte entwickelt die den Faktor enthält.
ƒ
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 = l
a 31 a 32 a 33 ƒ
ƒ
a 11 a 12 ê l a 13
a 21 a 22 ê l a 23 .
a 31 a 32 ê l a 33 ƒ
Dies sieht man sofort, wenn man nach der Reihe oder Spalte entwickelt die den
Faktor enthält.
Aus (b) und (d) folgt unmittelbar:
(e) Wenn zwei Reihen oder Spalten proportional zueinander sind, ist der Wert der
Determinante 0.
(f) Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn man eine ihrer Reihen oder
Spalten mit einem Skalar multipliziert und zu einer anderen addiert.
Beispiel 17: Determinanten mit Mathematica
In[66]:= DetAJ a 11 a 12
NE
a 21 a 22
Out[66]= -a 12 a 21 + a 11 a 22
In[67]:=
i a 11 a 12 a 13 y
DetA a
j 21 a 22 a 23
z E
k a 31 a 32 a 33 {
Out[67]= -a 13 a 22 a 31 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 + a 11 a 22 a 33
2.9 Determinanten höherer Ordnung
Determinanten höherer Ordnug werden berechnet indem man sie "entwickelt", d.h.
sie werden durch Determinaten von niederigerer Ordnung ausgedrückt. Gegeben sei
eine Determinante n-ter Ordnung d.h., eine Matrix mit n Reihen und n Spalten.
i
j
k
a 11 ... a 1 n y
: ... :
a n1 ... a nn
z
{

LineareAlgebra.nb 25
Die Determinante, die man erhält, wenn man die k-te Reihe und eine i-te Spalte
löscht wird der Minor des Koeffizienten genannt der zu der gelöschten Reihen und
der Spalte gehört. Er wird als M ik angegeben.
Der Kofaktor eines Koeffizienten der i-ten Reihe und der k-ten Spalte wird mit
H-1L i+k mal der Minor definiert. Er wird als C ik angegeben.
C ik = H-1L i+k M ik
Beispiel 18: Minor und Kofaktor mit Mathematica
In[68]:=
In[69]:=
In[70]:=
Clear@a, maD
minor@j_, k_, mat_D := Det@Transpose@Delete@Transpose@Delete@mat, jDD, kDDD
kofactor@j_, k_, mat_D := H-1L ^Hj + kL * minor@j, k, matD
i a 11 a 12 a 13 y
In[71]:= ma = a 21 a 22 a 23
j
z
k a 31 a 32 a 33 {
Out[71]=
i
j
k
a 11 a 12 a 13 y
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
z
{
In[72]:=
minor@2, 3, maD
Out[72]= -a 12 a 31 + a 11 a 32
In[73]:=
kofactor@2, 3, maD
Out[73]= a 12 a 31 - a 11 a 32
Den Wert der Determinante einer n ä n Matrix erhält man, wenn man irgend eine
ihrer Reihen oder Spalten nimmt und jeden Koeffizienten mit seinem Kofaktor
multipliziert und aufsummiert. Zum Beispiel
D = a i1 C i1 + a i2 C i2 + ... + a in C in .
Damit hat man die Determinante n-ter Ordnung durch eine Summe von Determinaten
der Ordnung n-1 ausgedrückt. Dieser Vorgang wird nun solange wiederholt,
bis man zu Determinaten erster bzw. zweiter Ordnung kommt.
Es gilt:
(a) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man ihre Reihen als Spalten
in derselben Reihenfolge oder umgekehrt schreibt (transponierte Matrix).
(b) Wenn man eine Reihe oder Spalte mir einem Faktor multipliziert, ist der Wert
der folgenden Determinante gleich der Ausgangsdeterminante mal dem Faktor.
(c) Wenn alle Koeffizienten einer Reihe oder Spalte Null sind, ist der Wert der
Determinante auch Null.
(d) Wenn man zwei Spalten oder Reihen miteinander vertauscht, wird der Wert der
Determinante mit -1 multipliziert.
(e) Wenn zwei Reihen oder Spalten proportional zueinander sind, ist der Wert der
Determinante 0.

26 LineareAlgebra.nb
(f) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man ein konstantes vielfaches
einer ihrer Reihen oder Spalten zu einer anderen addiert.
(g) Die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der
Determinanten der zwei Matrizen.
det(AB) = det A det B.
Hinweis: Die Beweise dieser Aussagen sind trivial und analog zum Fall n = 2.
2.10 Ränge und Determinanten,
Cramersche Regel
Man kann mit Hilfe von Determinanten den Rang einer Matrix bestimmen.
Eine Matrix A hat einen Rang r ≥ 1 genau dann, wenn A eine r ä r -Untermatrix
mit einer Determinante ungleich Null hat und es keine größere Untermatrix mit einer
Determinante ungleich Null gibt.
Cramersche Regel
Wenn die Determinante D = det A eines linearen inhomogenen Systems von n
Gleichungen mit n Unbekannten nicht Null ist, so hat dieses System genau eine
Lösung. Sie ist gegeben durch:
x 1 = D 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D , x 2 = D 2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D , ..., x n = D n
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
D .
Als Folge der Cramersche Regel kann man nun die Inverse einer Matrix ausrechen.
Die Inverse einer regulären (nµn)-Matrix A = (a jk ) wird wie folgt berechnet:
A -1 =
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
det A
i
j
k
A 11 ... A 1 n y
: ... :
A n1 ... A nn
wobei A jk der Kofaktor von a jk ist. Wichtig ist außerdem noch, daß der Kofaktor
A jk den Platz von a kj einnimmt.
Hinweis: Die Beweise dieser Aussagen sind trivial und analog zum Fall n = 2.
z
{
2.11 Bilineare, quadratische und
Hermitesche Formen
Ein Ausdruck der Form
n
B = ⁄ j=1
n
⁄ k=1 a jk x j y k
heißt bilineare Form in den 2n Variablen x 1 , ..., x n und y 1 , ..., y n .
Ausgeschrieben erhält man

LineareAlgebra.nb 27
B =
a 11 x 1 y 1 + ... + a 1 n x 1 y n
......................................
+ a n1 x n y 1 + ... + a nn x n y n .
Führt man die Vektoren x Ø = Hx 1 , ..., x n L T und y Ø = Hy 1 , ..., y n L T und die Koeffizientenmatrix
A = (a jk ) ein, so kann B in der Form
geschrieben werden.
B = x Æ T
Ay
Æ
Beispiel: Das Skalarprodukt kann als Bilinearform interpretiert werden, wobei A =
1 ist.
Eine spezielle Fall der bilinearen Form ist die quadratische Form. Sie tritt auf
wenn Ø y = Ø x ist.
n
Q = ⁄ j = 1
n
⁄ k=1
a jk x j x k ,
Q = x Æ T
A x
Æ
Gegeben sie eine Matrix A = (a jk ), dann bezeichnet A èè die Matrix die man erhält,
wenn man den Koeffizienten a jk in A durch seinen komplex konjugiertes Wert a êê jk
ersetzt. Wenn jetzt A T = A èè ist, dann wird A eine hermitesche (symmetrische)
Matrix genannt und die dazu gehörige Form heißt hermitesche Form.
n
Q = ⁄ j=1
H = Hx êê L T A x Æ ,
n
⁄ k=1
a jk x êê j x k .
Für jede Wahl des Vektors Æ x, ist der Wert der hermiteschen Form eine reelle Zahl.
êê êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê
Q =
n n ⁄j=1 ⁄ k=1 a jk x j x k
n n
= ⁄ j=1 ⁄
êê
k=1 a jk x êê j xk
n
= ⁄ j=1
n
⁄ k=1
a kj x êê k x j = Q.
Wenn für eine Matrix A T = -A èè gilt, dann wird sie schiefhermitesche
(schiefsymmetrische) Matrix genannt.
S = Hx êê L T A x Æ ,
Für jede Wahl des Vektors Æ x, ist der Wert der schiefermitischen Form eine imaginäre
Zahl oder Null.
êê
S
êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê
=⁄
n n
j=1 ⁄ k=1 a jk x j x k
Æ

28 LineareAlgebra.nb
n
= ⁄ j=1
n
⁄ k=1
- a jk
-a kj x êê k x j = - S.
2.12 Eigenwerte und Eigenvektoren
Man betrachtet nun eine Matrix A und die folgende Vektorgleichung an.
A x Ø = l x Ø .
Es ist klar, daß eine Lösung hier x Ø = 0 währe. Der Wert, den man für l erhält,
wenn x Ø ≠ 0 ist, heißt Eigenwert von A . Das dazugehörige x Ø wird Eigenvektor von
A genannt. Die Menge aller Eigenwerte, die A haben kann, wird das Spektrum
genannt. Der größte absolute Wert der Eigenwerte wird Spektralradius von A
genannt.
Wenn x Ø irgend ein Vektor ist, so ist x Ø und A x Ø im allgemeinen linear unabhängig.
Wenn x Ø aber ein Eigenvektor ist, dann ist x Ø und A x Ø linear abhängig und der
Faktor der Proportionalität ist der Eigenwert l.
Beispiel 19: Eigenwerte mit Mathematica
In[74]:= EigenvaluesAJ a b
c d NE
i
1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ÅÅÅ
2
Ia + d -
Out[74]=
j
k
1
ÅÅÅ
2
a 2 + 4bc- 2ad+ !!!!!!!!!!! d 2 M y
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ia + d + a 2 + 4bc- 2ad+ !!!!!!!!!!! d 2 M
z
{
Beispiel 20: Eigenvektoren mit Mathematica ( c ≠ 0 )
In[75]:= TransposeAEigenvectorsAJ a b
c d NEE
Out[75]=
!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!
!!!!!!!!
i
j - -a+d+è!!!!!!!!!!!!!!!! a 2 +4bc-2 ad+d
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
2c
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - -a+d-è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a 2 +4bc-2 ad+d
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
y
2c
z
k
1 1
{
Geometrische Interpretation von Eigenvektoren:
Dazu betracht man
A x Ø = y Ø
wobei A eine 2µ2 Matrix ist. Interpretiert man den Vektor x = Hx 1 , x 2 L T als Punkt
der Ebene, so erhält man durch die Anwendung von A auf Ø x wieder einen Punkt der
Ebene y = Hy 1 , y 2 L T , der gegeben ist durch y = A Ø x.

LineareAlgebra.nb 29
Das heißt, nµn Matrizen sind lineare Abbildung des — n .
Betrachtet man die Vektoren Ø x und Ø
y so haben diese im allgemeinen verschiedene
Richtungen und Beträge.
Für Eigenvektoren gilt jedoch, daß Ø x und Ø y dieselbe Richtung haben.
2.13 Diagonalisierung von Matrizen
Einen Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn eine reguläre Matrix T existiert, sodaß
eine Diagonalmatrix ist.
T A T -1 = D
Es gilt: nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, aber
(a) Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.
(b) Sind alle Eigenwerte von A verschieden, dann ist A ebenfalls
diagonalisierbar.
Beispiel: Diagonalisiert man eine symmetrische Matrix erhält man
T S T -1 = J l 1 0
N,
0 l 2
det(S) = det(T S T -1 ) = l 1 l 2 .
Beispiel 21: Diagonalisierung einer Matrix mit Mathematica
i 2 1 1 y
In[76]:= s = 1 2 -1
j
z
k 1 -1 2 {
Out[76]=
i 2 1 1 y
1 2 -1
j
z
k 1 -1 2 {
In[77]:=
In[78]:=
Out[78]=
In[79]:=
Out[79]=
In[80]:=
Out[80]=
8t, d< = JordanDecomposition@sD;
d
i 0 0 0y
0 3 0
j z
k 0 0 3{
t
i -1 1 1y
1 0 1
j z
k 1 1 0{
Transpose@Eigenvectors@sDD
i -1 1 1y
1 0 1
j z
k 1 1 0{

30 LineareAlgebra.nb
In[81]:=
Out[81]=
t.d.Inverse@tD
i 2 1 1 y
1 2 -1
j
z
k 1 -1 2 {
In[82]:= Inverse@tD. s .t
Out[82]=
i 0 0 0y
0 3 0
j z
k 0 0 3{
Achtung: Die JordanscheZerlegung liefert keine orthonormale Matrix T zur Diagonalisierung
In[83]:= tn =
i
j
k
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
- è!!!!
1
3
1
ÅÅÅÅÅÅÅ è!!!
3
1
ÅÅÅÅÅÅÅ è!!!
3
1
è!!!
2
ÅÅÅÅÅÅÅ
1
è!!!
2
ÅÅÅÅÅÅÅ
- è!!!
1
6
ÅÅÅÅÅÅÅ
1
è!!!!
6
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
0 - ÅÅÅÅÅÅÅ
2
è!!!
6
y
z
{
;
In[84]:=
Out[84]=
In[85]:=
Out[85]=
Simplify@Inverse@tnD. s .tnD
i 0 0 0y
0 3 0
j z
k 0 0 3{
tn . Transpose@tnD
i 1 0 0y
0 1 0
j z
k 0 0 1{
Ergänzung: Schmidtsches Orthogonalisierungsvervahren mit Beispiel im Vektorraum der Polynome
In[86]:=
In[87]:=
Out[87]=

LineareAlgebra.nb 31
Wenn diese unitäre Matrix aus reellen Koeffizienten besteht, ist es eine orthogonale
Matrix für die gilt:
A T = A -1 .
Ein unitäres System ist ein System von Vektoren x Ø 1 , ..., xØ n
für die gilt
d jk kann Null oder Eins sein.
êê
x
T Ø j xk = d jk .
Wenn j und k ungleich sind, ist d jk =0 und wenn j gleich k ist, ist d jk =1 .
Die Reihen- und Spaltenvektoren einer unitären Matrix formen ein unitäres System.
Für die Eigenwerte gilt:
(a) Die Eigenwerte hermitischer Formen sind reell.
(b) Die Eigenwerte schief hermitischer Formen sind entweder imaginär oder Null.
(c) Die Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag Eins.
(d) Die Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind reell.
(e) Die Eigenwerte schief symmetrischer Formen sind entweder imaginär oder Null.
(f) Die Eigenwerte orthogonaler Matrizen haben den Wert Eins und sind reell oder
paarweise komplex konjugiert.
Anwendungen:
Quadratische Form zweiter Ordnung n = 2
Q = H x yL J a 11 a 12
a 21 a 22
N J x y N.
wobei man auf A ist diagonal spezialisiert, d.h.
A = J l 1 0
N,
0 l 2
Q(x,y) = l 1 x 2 + l 2 y 2 .
Geometerisch kann Q(x,y) = F mit F=const. als Kurve 2. Ordnung interpretiert
werden.
Folgende Fälle sind möglich:
(a) l 1 , l 2 > 0, F > 0
(b) sgn l 1 ≠ sgn l 2 , F > 0
(c) F = 0 oder l 1 = 0 oder l 2 = 0
Ellipse
Hyperbel
degeneriert
Beispiel 22: Kurve 2. Ordnung mit Mathematica
In[88]:=

32 LineareAlgebra.nb
In[89]:= ImplicitPlot@x^2 + 2y^2 == 3, 8x, -2, 2

LineareAlgebra.nb 33
In[91]:= ImplicitPlot@x^2 - 2y^2 == 3, 8x, -2, 2

34 LineareAlgebra.nb
In[94]:= ContourPlot3D[x^2 + 2 y^2 - 4 z^2- 4,
{x,-3,3}, {y,-2,2}, {z,-2,2},
Contours -> {1.5, 3.}]
Out[94]=
Ü Graphics3D Ü
Weitere Tipps:
Aus dem Help-Menu:
Lists and matrices:
List Operations
Vector Operations
Matrix Operations
Adds On -> Standard Packages -> Linear Algebra
zumB eispiel:
In[95]:=
In[96]:=
Clear@a, b, cD

LineareAlgebra.nb 35
i 1 2 3y
4 5 6
In[97]:= a =
7 8 9
j z
k 5 7 9{
Out[97]=
i 1 2 3y
4 5 6
7 8 9
j
k 5 7
z
9{
i 1 y
2
In[98]:= b =
3
j z
k 3 {
Out[98]=
i 1 y
2
3
j z
k 3 {
In[99]:=
Out[99]=
c = AppendRows@a, bD
i 1 2 3 1y
4 5 6 2
7 8 9 3
j
k 5 7 9
z
3{