Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

88 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
Hier zeigt sich eine temporale Struktur im Bereich von τ = −1000 . . . 200. Mit
zunehmender Fensterbreite t i − t i−1 = ∆ ist sie ausgeprägter. Ab ∆ = 20 bleibt
der Kurvenverlauf von M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) qualitativ unverändert.
Lediglich ihre Werte und die des Biases nehmen zu. Zwar nehmen die Werte der
gegenseitigen Information mit der Fensterbreite ab, dennoch kann bei ∆ = 1
eine Abhängigkeit nachgewiesen werden. So ergab die gegenseitige Information
bei τ ≈ −200 Werte um 2 · 10 −4 , während der Bias für |τ| > 1000 unterhalb
von 5 · 10 −5 lag, siehe Abb. 5.8. Dabei waren die temporalen Strukturen umso
stärker ausgeprägt, je größer der Kopplungsparameter war. Insbesondere konnte
eine Kopplung bereits bei g = 0.1 nachgewiesen werden. Zur Verifizierung
der Robustheit dieser Methode ist des Weiteren die gegenseitige Information der
Zuwächse im ungekoppelten Fall für verschiedene Fensterbreiten berechnet worden.
Hier zeigten sich keine temporalen Strukturen.
Die optimale Wahl der Fensterbreite ∆ wird im Allgemeinen von der Zeitskala
der Strukturen abhängen, die den stärksten Einfluss aufeinander haben.
Findet eine Wechselwirkung zwischen den Punktprozessen über einzelne Ereignisse
(Spikes) statt, so wird ∆ meist in der Größenordnung der Zeitauflösung
liegen. Sind hingegen ganze Ereignisgruppen für die Kopplung verantwortlich,
dann werden Werte innerhalb der Größenordnung dieser Gruppen eine geeignete
Wahl für ∆ sein. Andererseits kann durch die Wahl der Fensterbreite die Untersuchung
auf Strukturen mit einer festgelegten Zeitskala eingeschränkt werden.
Zum Abschluss wurde die Signifikanz der Methode betrachtet. Hier zeigte
sich, dass bei kürzeren Zeitreihen mit einer Länge bis zu 10 000, dies entspricht
in etwa 500 Ereignisse, die Signifikanz im Wesentlichen unverändert blieb, für
g = 0.3 siehe Abb. 5.9.
Zur Berechnung des Informationstransfers zwischen gekoppelten Neuronen
benutzten Eguia et al. (2000) ebenfalls Methoden der Informationstheorie. Hierzu
teilten sie die Zeitreihen in Bins der Breite ∆ auf. Diesen Bins wurde der Wert
0 bzw. 1 zugewiesen, je nachdem, ob in ihnen ein Ereignis (Spike) stattgefunden
hatte oder nicht. Anschließend wurden l Bins zu einem Wort zusammengefasst
und die gegenseitige Information bezüglich dieser Wörter berechnet.
Diese Methode lässt sich auf die Untersuchung von Gl. (5.19) zurückführen.
Hierzu ist i + 1 = j = l + 1 zu setzen und die Zeitpunkte t k und s k sind so zu
wählen, dass t k − t k−1 = s k − s k−1 = ∆ für alle k = 2, . . . , l + 1 gilt.
Es zeigte sich aber, dass bei diesem Verfahren deutlich längere Zeitreihen
für eine robuste Berechnung der gemeinsamen Informationen notwendig sind,
als wenn lediglich die Zuwächse X tl+1 − X t1 und Y sl+1 − Y s1 verwendet werden.
Der Grund hierfür ist, dass bei Eguia et al. (2000) die gemeinsame Information
zwischen l-dimensionalen Zufallsvariablen berechnet werden muss, aber aufgrund
eines endlichen Abstands zwischen den Spikes im Allgemeinen weniger als l Spikes
in die Zeitintervalle (t 1 , t l+1 ] bzw. (s 1 , s l+1 ] fallen. Folglich lassen sich die Verteilungen
von X tl+1 − X t1 und Y sl+1 − Y s1 besser schätzen als die Verteilungen der