Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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86 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE einer fest gewählten Fensterbreite ∆ mit ∆ = 10 berechnet. M(X ti -X ti-1 , Y ti +τ -Y t i-1 +τ ) 0.02 ungekoppelt: g=0.0 0 0.02 gekoppelt: g=0.1 0 0.04 gekoppelt: g=0.3 0.02 0 0.04 gekoppelt: g=0.5 0.02 0 -2000 -1000 0 1000 2000 Zeitverschiebung τ [a.u.] Abbildung 5.7: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen den Zuwächsen X ti − X ti−1 und Y ti +τ − Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung τ für verschiedene Kopplungsstärken g. Die Fensterbreite wurde mit t i − t i−1 = ∆ = 10 fest gewählt. Während für den ungekoppelten Fall (g = 0.0) die gegenseitige Information Werte nahezu um Null liefert, ist eine deutliche temporale Struktur im gekoppelten Fall g = 0.1 für Zeitverschiebungen τ ≈ −1000 . . . 0 zu sehen. Insbesondere steigen die Werte von M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) mit der Kopplungsstärke g, wobei bei g > 0.1 auch eine nichtkausale Abhängigkeit für τ = 0 . . . 200 zu erkennen ist. Diese ist auf die deterministische Dynamik der Hindmarsh-Rose- Oszillatoren zurückzuführen. Wegen der zugrunde liegenden Kausalität und der zeitlich abnehmenden Korrelation in den Dynamiken von Oszillator X und Y fallen für große |τ| die Werte der gegenseitigen Information auf nahezu Null ab. Der Wert Null selbst wird nur selten erreicht, da eine endliche Zeitreihe analysiert wird. Denn aufgrund von statistischen Fluktuationen in den Schätzungen der Verteilungen bleibt stattdessen, da die gegenseitige Information nichtnegativ ist, ein positiver Bias. Dieser Bias kann prinzipiell mit der “Finite sample”- Korrektur [Grassberger (1988), Panzeri & Treves (1996), Moddemeijer (1999), Roulston (1999)] herausgerechnet werden. Da diese Korrekturen aber nur im Mittel gelten, ist der exakte Bias nach wie vor unbekannt, was dazu führt, dass die gegenseitige Information sogar negative Werte annehmen kann. Daher wird hier keine Biaskorrektur vorgenommen, sondern die Werte der gegenseitigen Informa-
5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 87 tion für kleine Zeitverschiebungen |τ| werden mit jenen für große |τ| verglichen. Letztere liegen, wie oben dargelegt wurde, in der Größenordnung des Biases. Die Oszillationen in der gegenseitigen Information werden von der Dynamik des angetriebenen Prozesses X bestimmt. Dabei zeigt X aufgrund der Kopplung im zeitlichen Mittel ein quasi-periodisches Verhalten, bei dem sich stets Zeitintervalle ohne Ereignisse mit Intervallen, in denen sehr viele Ereignisse auftreten, abwechseln, siehe Abb. 5.6. Die Längen beider Intervalle variieren in der Zeit, im Mittel beträgt sie ungefähr 200 Zeiteinheiten. Dieser Wert entspricht der Periodendauer in den Oszillationen der gegenseitigen Information. Da sowohl die Länge der Zeitintervalle mit und ohne Ereignissen, als auch der Abstand zweier Ereignisse von X innerhalb der einzelnen Intervalle sich ändern, verlaufen die Abhängikeiten mit der Zeit, so dass die Amplitude der Oszillationen mit τ abnehmen. Insbesondere besitzt die gemeinsame Information der Zuwächse des angetriebenen Systems, M(X ti − X ti−1 , X ti +τ − X ti−1 +τ), die gleiche Periodizität. Als Nächstes wird untersucht, welchen Einfluss die Fensterbreite der Zuwächse ∆ auf den Nachweis der Abhängigkeit hat. Hierzu wird abermals die gegenseitige Information M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) als Funktion der Zeitverschiebung τ berechnet. Jetzt hingegen bleibt g = 0.3 konstant und t i − t i−1 = ∆ wird als Parameter von 1 bis 100 variiert. Die Ergebnisse sind in Abb. 5.8 zu sehen. M(X ti -X ti-1 , Y ti +τ -Y t i-1 +τ ) 0.0004 0 0.008 0 0.04 0 0.12 0.08 0.04 t i - t i-1 = ∆ = 1 (g=0.3) ∆ = 5 (g=0.3) ∆ = 10 (g=0.3) ∆ = 20 (g=0.3) 0 -2000 -1000 0 1000 2000 Zeitverschiebung τ [a.u.] Abbildung 5.8: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen den Zuwächsen X ti −X ti−1 und Y ti +τ −Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung τ für verschiedene Fensterbreiten t i −t i−1 = ∆ und mit einer festgelegten Kopplung von g = 0.3.
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5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 87<br />
tion für kleine Zeitverschiebungen |τ| werden mit jenen für große |τ| verglichen.<br />
Letztere liegen, wie oben dargelegt wurde, in der Größenordnung des Biases.<br />
Die Oszillationen in der gegenseitigen Information werden <strong>von</strong> der Dynamik<br />
des angetriebenen Prozesses X bestimmt. Dabei zeigt X aufgr<strong>und</strong> der Kopplung<br />
im zeitlichen Mittel ein quasi-periodisches Verhalten, bei dem sich stets Zeitintervalle<br />
ohne Ereignisse mit Intervallen, in denen sehr viele Ereignisse auftreten,<br />
abwechseln, siehe Abb. 5.6. Die Längen beider Intervalle variieren in der Zeit,<br />
im Mittel beträgt sie ungefähr 200 Zeiteinheiten. Dieser Wert entspricht der Periodendauer<br />
in den Oszillationen der gegenseitigen Information. Da sowohl die<br />
Länge der Zeitintervalle mit <strong>und</strong> ohne Ereignissen, als auch der Abstand zweier<br />
Ereignisse <strong>von</strong> X innerhalb der einzelnen Intervalle sich ändern, verlaufen<br />
die Abhängikeiten mit der Zeit, so dass die Amplitude der Oszillationen mit τ<br />
abnehmen. Insbesondere besitzt die gemeinsame Information der Zuwächse des<br />
angetriebenen Systems, M(X ti − X ti−1 , X ti +τ − X ti−1 +τ),<br />
die gleiche Periodizität.<br />
Als Nächstes wird untersucht, welchen Einfluss die Fensterbreite der Zuwächse<br />
∆ auf den Nachweis der Abhängigkeit hat. Hierzu wird abermals die gegenseitige<br />
Information M(X ti − X ti−1 , Y ti +τ − Y ti−1 +τ) als Funktion der Zeitverschiebung τ<br />
berechnet. Jetzt hingegen bleibt g = 0.3 konstant <strong>und</strong> t i − t i−1 = ∆ wird als<br />
Parameter <strong>von</strong> 1 bis 100 variiert. Die Ergebnisse sind in Abb. 5.8 zu sehen.<br />
M(X ti<br />
-X ti-1<br />
, Y ti +τ -Y t i-1 +τ )<br />
0.0004<br />
0<br />
0.008<br />
0<br />
0.04<br />
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0.12<br />
0.08<br />
0.04<br />
t i - t i-1 = ∆ = 1 (g=0.3)<br />
∆ = 5 (g=0.3)<br />
∆ = 10 (g=0.3)<br />
∆ = 20 (g=0.3)<br />
0<br />
-2000 -1000 0 1000 2000<br />
Zeitverschiebung τ [a.u.]<br />
Abbildung 5.8: Gegenseitige Information M(X ti −X ti−1 , Y ti +τ −Y ti−1 +τ) zwischen<br />
den Zuwächsen X ti −X ti−1 <strong>und</strong> Y ti +τ −Y ti−1 +τ als Funktion der Zeitverschiebung τ<br />
für verschiedene Fensterbreiten t i −t i−1 = ∆ <strong>und</strong> mit einer festgelegten Kopplung<br />
<strong>von</strong> g = 0.3.
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