Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

84 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
geben ([Hindmarsh & Rose (1984), Huerta et al. (1998)]),
ẏ 1 =y 2 + 3 y 2 1 − y3 1 − y 3 + ε 2
ẏ 2 =1 − 5 y 2 1 − y 2 (5.21)
1
µ ẏ3 = − y 3 + σ (y 1 + δ) − 1 .
Ursprünglich wurde dieser Oszillator als Modell für ein Neuron entwickelt. Dabei
wird die Variable y 1 als Membranpotential interpretiert und y 2 repräsentiert die
schnellen, y 3 die langsamen Ionenströme. Hierbei ist das Subsystem (y 1 , y 2 ) für die
schnellen Oszillationen (Spikes) verantwortlich, während die langsamen (Bursts)
von (y 1 , y 3 ) verursacht werden. Die Zeitskalen sowie das Verhalten des Oszillators
werden durch die Parameter µ, σ, δ, ε 2 bestimmt. Sie werden auf µ = 0.0021,
σ = 4, δ = 1.6 gesetzt, so dass mit ε 2 der Oszillator in die verschiedenen Regimes
gesetzt werden kann: Ruhezustand ε 2 ≤ 1.268, periodisches Bursten 1.269 ≤ ε 2 ≤
3.220, chaotisches Bursten 3.221 ≤ ε 2 ≤ 3.325, kontinuierliches Spiken ε 2 > 3.325.
Als zweiter Oszillator X wird ebenfalls ein Hindmarsh-Rose-Oszillator mit
den selben Parametern wie in Gl. (5.21) verwendet,
ẋ 1 =x 2 + 3 x 2 1 − x3 1 − x 3 + ε 1 + g S(y 1 ) (r − x 1 )
ẋ 2 =1 − 5 x 2 1 − x 2 (5.22)
1
µ ẋ3 = − x 3 + σ (x 1 + δ) − 1 ,
wobei der Oszillator Y in den Oszillator X über eine Synapse hineinkoppelt. Hierzu
wird die Kopplung durch die nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung
(1 − S ∞ (z)) Ṡ(z) = 1
100 (S ∞(z) − S(z)) , (5.23)
mit
S ∞ (z) =
{
tanh(z + 0.5) falls z + 0.5 > 0
0 sonst
modelliert [Pinto et al. (2000)]. Mit dem Schwellparameter r in Gl. (5.22) kann
festgelegt werden, ob es sich um eine hemmende (r < 0) oder um eine erregende
(r > 0) Synapse handelt. Hier wird r = 0.3 fest gewählt. Der zweite Kopplungsparameter
g ist die synaptische Leitfähigkeit, mit der die Kopplungsstärke
eingestellt wird.
Für die folgenden Untersuchungen werden beide Oszillatoren in ein chaotisches
Regime gesetzt, ε 1 = ε 2 = 3.280, und die Kopplungsstärke g wird zwischen
0 und 0.5 variiert. Die Lösung des Differentialgleichungssystems, bestehend aus
Gl. (5.21), Gl. (5.22) und Gl. (5.23), erfolgt numerisch für 50 000 Zeiteinheiten.