Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 83
X
Y
X t i−1
−X t i−2
Xt
i
−X t i−1
X t i+1
−X t i
t
Tk−2
Tk−1 Tk Tk+1
Y t i−1
−Y t i−2
Yt i
−Y t i−1
Yt i+1
−Yt
i
t
S
S
S S
S
S
l−3 l−2 l−1 l
l+1
l+2
∆
t t t t
i−2 i−1 i i+1
Abbildung 5.5: Abhängigkeit zwischen den Zuwächsen zweier Punktprozesse. Die
Pfeile symbolisieren Abhängigkeiten bzw. Informationsaustausch zwischen den
Zuwächsen von X und Y . Nicht alle Abhängigkeiten sind eingezeichnet. Die Zeitpunkte
t i wurden äquidistant gewählt (t i+1 − t i = ∆).
das heißt wenn die Gleichung
P {X ti − X ti−1 = x, Y sj − Y sj−1 = y}
= P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y sj − Y sj−1 = y} (5.20)
für irgendein x, y ∈ N 0 nicht erfüllt ist.
Zur Überprüfung der Gültigkeit von Gl. (5.20) ist es ausreichend, die gegenseitige
Information M(X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1 ) zwischen den Zuwächsen zu
berechnen (siehe Gl. (2.9) in Absch. 2.1.1). Ist diese größer als Null, so sind beide
Prozesse voneinander abhängig. In dem Fall, dass die gegenseitige Information
der Zuwächse Null ist, kann keine Aussage getroffen werden. Eventuell wurden
die Zeitpunkte t i−1 , t i , s j−1 , s j nur ungünstig gewählt, so dass lediglich X ti −X ti−1
und Y sj − Y sj−1 unabhängig sind.
Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Im Folgenden
soll am Beispiel zweier gekoppelter Hindmarsch-Rose-Oszillatoren
[Hindmarsh & Rose (1984)] demonstriert werden, wie mittels Gl. (5.20) eine
Abhängigkeit zwischen den beiden Oszillatoren nachgewiesen werden kann.
Ein (ungekoppelter) Hindmarsh-Rose-Oszillator Y ist durch ein dreidimensionales
System von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen ge-