Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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82 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE ein ganzzahliges Vielfaches von der Frequenz des zweiten Generators unterscheidet. Ebenso sind X und Y (stochastisch) abhängig, wenn diese ungekoppelt sind, aber von einem dritten Prozess Z getriggert werden. Damit von Abhängigkeit auf Kopplung geschlossen werden darf, müssen Fälle wie diese ausgeschlossen werden. In den meisten Fällen ist solch eine Schlussfolgerung möglich, wenn eine entsprechende Modellvorstellung der zu untersuchenden Systeme zugrunde liegt. 5.4 Nachweis von Abhängigkeiten mittels Zuwächsen 5.4.1 Abhängigkeitsnachweis über Zuwächse Da es sich bei den Pfaden der Punktprozesse um monoton wachsende Funktionen handelt (siehe Abb. 5.2), können die Wahrscheinlichkeiten in Gl. (5.18) nur dann geschätzt werden, wenn eine ausreichende Anzahl von Beobachtungen vorliegt. Anders sieht es mit den Zuwächsen aus. Sind die zugrundeliegende Dynamik der Punktprozesse X und Y sowie die Kopplung zwischen ihnen zeitunabhängig, sind also die Zuwachse X ti −X ti −∆ und X ti+1 −X ti+1 −∆ stationär verteilt, so lautet ein Schätzer für die Verteilung der Zuwächse X t − X t−∆ bezüglich des Zeitfensters (t − ∆, t] P {X t − X t−∆ = x} ≈ 1 n n∑ δ(X ti (ω) − X ti −∆(ω), x) . i=1 Dementsprechend kann die Verteilung eines stationär verteilten Zuwachses aus einer Beobachtung geschätzt werden. Um ein Kriterium für Abhängigkeit zu erhalten, wird zunächst Gl. (5.18) von Ereigniszahlen auf Zuwächse umgeschrieben. Hierzu ist lediglich zu berücksichtigen, dass die Subtraktion eine stetige Abbildung ist. Folglich ist im Falle der Unabhängigkeit auch die gemeinsame Verteilung der Zuwächse von X und Y stochastisch unabhängig [Bauer (1991), Behnen & Neuhaus (1995), Billingsley (1995)]: P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 , Ys j −Ys j−1 ,...,Ys 2 −Ys 1 = P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 ⊗ P Y sj −Y sj−1 ,...,Y s2 −Y s1 , (5.19) mit beliebigen 0 ≤ t 1 < . . . < t i < t i+1 , 0 ≤ s 1 < . . . < s j und i, j ∈ N. Die Abhängigkeit X ti+1 − X ti von X ti − X ti−1 , . . . und Y ti+1 − Y ti , . . . ist in Abb. 5.5 illustriert, wobei s j = t i+1 , . . . ist. Durch Ausintegrieren von Gl. (5.19) folgt unmittelbar, dass die Punktprozesse X und Y nicht unabhängig sein können, wenn für beliebige 0 ≤ t i−1 < t i und 0 ≤ s j−1 < s j die Zuwächse X ti − X ti−1 und Y sj − Y sj−1 voneinander abhängen,
5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN MITTELS ZUWÄCHSEN 83 X Y X t i−1 −X t i−2 Xt i −X t i−1 X t i+1 −X t i t Tk−2 Tk−1 Tk Tk+1 Y t i−1 −Y t i−2 Yt i −Y t i−1 Yt i+1 −Yt i t S S S S S S l−3 l−2 l−1 l l+1 l+2 ∆ t t t t i−2 i−1 i i+1 Abbildung 5.5: Abhängigkeit zwischen den Zuwächsen zweier Punktprozesse. Die Pfeile symbolisieren Abhängigkeiten bzw. Informationsaustausch zwischen den Zuwächsen von X und Y . Nicht alle Abhängigkeiten sind eingezeichnet. Die Zeitpunkte t i wurden äquidistant gewählt (t i+1 − t i = ∆). das heißt wenn die Gleichung P {X ti − X ti−1 = x, Y sj − Y sj−1 = y} = P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y sj − Y sj−1 = y} (5.20) für irgendein x, y ∈ N 0 nicht erfüllt ist. Zur Überprüfung der Gültigkeit von Gl. (5.20) ist es ausreichend, die gegenseitige Information M(X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1 ) zwischen den Zuwächsen zu berechnen (siehe Gl. (2.9) in Absch. 2.1.1). Ist diese größer als Null, so sind beide Prozesse voneinander abhängig. In dem Fall, dass die gegenseitige Information der Zuwächse Null ist, kann keine Aussage getroffen werden. Eventuell wurden die Zeitpunkte t i−1 , t i , s j−1 , s j nur ungünstig gewählt, so dass lediglich X ti −X ti−1 und Y sj − Y sj−1 unabhängig sind. Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Im Folgenden soll am Beispiel zweier gekoppelter Hindmarsch-Rose-Oszillatoren [Hindmarsh & Rose (1984)] demonstriert werden, wie mittels Gl. (5.20) eine Abhängigkeit zwischen den beiden Oszillatoren nachgewiesen werden kann. Ein (ungekoppelter) Hindmarsh-Rose-Oszillator Y ist durch ein dreidimensionales System von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen ge-
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82 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE<br />
ein ganzzahliges Vielfaches <strong>von</strong> der Frequenz des zweiten Generators unterscheidet.<br />
Ebenso sind X <strong>und</strong> Y (stochastisch) abhängig, wenn diese ungekoppelt sind,<br />
aber <strong>von</strong> einem dritten Prozess Z getriggert werden. Damit <strong>von</strong> Abhängigkeit<br />
auf Kopplung geschlossen werden darf, müssen Fälle wie diese ausgeschlossen<br />
werden. In den meisten Fällen ist solch eine Schlussfolgerung möglich, wenn eine<br />
entsprechende Modellvorstellung der zu untersuchenden Systeme zugr<strong>und</strong>e liegt.<br />
5.4 Nachweis <strong>von</strong> <strong>Abhängigkeiten</strong> mittels<br />
Zuwächsen<br />
5.4.1 Abhängigkeitsnachweis über Zuwächse<br />
Da es sich bei den Pfaden der Punktprozesse um monoton wachsende Funktionen<br />
handelt (siehe Abb. 5.2), können die Wahrscheinlichkeiten in Gl. (5.18) nur dann<br />
geschätzt werden, wenn eine ausreichende Anzahl <strong>von</strong> Beobachtungen vorliegt.<br />
Anders sieht es mit den Zuwächsen aus. Sind die zugr<strong>und</strong>eliegende Dynamik der<br />
Punktprozesse X <strong>und</strong> Y sowie die Kopplung zwischen ihnen zeitunabhängig, sind<br />
also die Zuwachse X ti −X ti −∆ <strong>und</strong> X ti+1 −X ti+1 −∆ stationär verteilt, so lautet ein<br />
Schätzer für die Verteilung der Zuwächse X t − X t−∆ bezüglich des Zeitfensters<br />
(t − ∆, t]<br />
P {X t − X t−∆ = x} ≈ 1 n<br />
n∑<br />
δ(X ti (ω) − X ti −∆(ω), x) .<br />
i=1<br />
Dementsprechend kann die Verteilung eines stationär verteilten Zuwachses aus<br />
einer Beobachtung geschätzt werden.<br />
Um ein Kriterium für Abhängigkeit zu erhalten, wird zunächst Gl. (5.18) <strong>von</strong><br />
Ereigniszahlen auf Zuwächse umgeschrieben. Hierzu ist lediglich zu berücksichtigen,<br />
dass die Subtraktion eine stetige Abbildung ist. Folglich ist im Falle der Unabhängigkeit<br />
auch die gemeinsame Verteilung der Zuwächse <strong>von</strong> X <strong>und</strong> Y stochastisch<br />
unabhängig [Bauer (1991), Behnen & Neuhaus (1995), Billingsley (1995)]:<br />
P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 , Ys j −Ys j−1 ,...,Ys 2 −Ys 1<br />
= P Xt i+1 −Xt i ,...,Xt 2 −Xt 1 ⊗ P<br />
Y sj −Y sj−1 ,...,Y s2 −Y s1 , (5.19)<br />
mit beliebigen 0 ≤ t 1 < . . . < t i < t i+1 , 0 ≤ s 1 < . . . < s j <strong>und</strong> i, j ∈ N. Die<br />
Abhängigkeit X ti+1 − X ti <strong>von</strong> X ti − X ti−1 , . . . <strong>und</strong> Y ti+1 − Y ti , . . . ist in Abb. 5.5<br />
illustriert, wobei s j = t i+1 , . . . ist.<br />
Durch Ausintegrieren <strong>von</strong> Gl. (5.19) folgt unmittelbar, dass die Punktprozesse<br />
X <strong>und</strong> Y nicht unabhängig sein können, wenn für beliebige 0 ≤ t i−1 < t i <strong>und</strong><br />
0 ≤ s j−1 < s j die Zuwächse X ti − X ti−1 <strong>und</strong> Y sj − Y sj−1 <strong>von</strong>einander abhängen,