Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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72 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME 2 Interdependenz 1 H (δ) (Y|X) H (δ) (X|Y) 0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 Parameteramplitude β Abbildung 4.4: Interdependenz H (δ) (Y |X) (Linie mit Kreisen) und H (δ) (Y |X) (Linie mit Quadraten) für das in Gl. (4.18) gegebene System in Abhängigkeit der Parameteramplitude β (Gl. (4.20)). δ wurde gleich 1/20 des Wertebereichs von X bzw. Y gesetzt. Driftparameters wurden zwischen 0 und 0.1 variiert. Somit bleibt das treibende System bei kleinen β im chaotischen Regime, bei mittleren β erreicht es das periodische Regime, welches es bei großen β durchfährt. Im gesamten Parameterbereich spiegelte die Interdependenz zusammen mit der Übereinbettung die Struktur des Systems richtig wieder. Insbesondere ist in diesem Bereich die kontinuierliche Abnahme der H (δ) (Y |X)-Werte bei wachsendem Drift, wie es bei der Kopplung der Fall war, nicht zu beobachten.
Kapitel 5 Punktprozesse 5.1 Definition eines Punktprozesses Bei den bisher untersuchten Prozessen spielte der Zustand, den ein System zu einer bestimmten Zeit annimmt, die entscheidene Rolle. Denkt man aber an den α-Zerfall, Elektrokardiogramme oder das Eintreffen eines Telefonats in der Vermittlungszentrale, so ist nicht der Zustand des Prozesses, sondern viel mehr der Zeitpunkt, an dem solch ein Ereignis eintritt, von Interesse. Die Beschreibung von stochastischen Systemen durch ihre Ereigniszeiten erfolgt mit einer speziellen Prozessklasse, den sogenannten stochastischen Punktprozessen, siehe [Bauer (1991), Billingsley (1995)] und [Lewis (1972)]. Diese Prozesse sollen im Folgenden genauer betrachtet werden, insbesondere soll die gegenseitige Abhängigkeit zweier Punktprozesse anhand ihrer Ereigniszeiten genauer untersucht werden. Wird zum Beispiel 1mol Thorium betrachtet, so findet zu aufeinander folgenden Zeitpunkten 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . ein α-Zerfall statt, wobei angenommen wird, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der solche Ereignisse gleichzeitig vorkommenen, Null ist. Außerdem sollen in einem endlichen Zeitintervall auch nur endlich viele Zerfallsprozesse auftreten. Würde dieses Experiment wiederholt, so erhielte man erneut eine Sequenz von Ereignissen, im Allgemeinen aber mit anderen Ereigniszeiten t k , k ∈ N 0 als zuvor. Dies ist in der stochastischen Natur dieses Prozesses begründet. Dementsprechend sind die Zeitpunkte (t k ) k∈N0 von Ereignissen eines Prozesses, wie den oben beschriebenen, durch eine Familie von nichtnegativ reellwertigen Zufallsvariablen (T k ) k∈N0 gegeben. Für diese gilt 0 = T 0 (ω) < T 1 (ω) < T 2 (ω) < . . . , sup T k (ω) = ∞ (5.1) k für jedes ω ∈ Ω (siehe Abb. 5.1) [Bauer (1991), Billingsley (1995)]. Dabei ist (Ω, A, P ) der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum, der nicht weiter spezifiziert werden muss. Die Zeitpunkte T k (ω), k ∈ N 0 heißen Ereigniszeiten oder 73
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2<br />
Interdependenz<br />
1<br />
H (δ) (Y|X)<br />
H (δ) (X|Y)<br />
0<br />
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10<br />
Parameteramplitude β<br />
Abbildung 4.4: Interdependenz H (δ) (Y |X) (Linie mit Kreisen) <strong>und</strong> H (δ) (Y |X)<br />
(Linie mit Quadraten) für das in Gl. (4.18) gegebene System in Abhängigkeit der<br />
Parameteramplitude β (Gl. (4.20)). δ wurde gleich 1/20 des Wertebereichs <strong>von</strong><br />
X bzw. Y gesetzt.<br />
Driftparameters wurden zwischen 0 <strong>und</strong> 0.1 variiert. Somit bleibt das treibende<br />
System bei kleinen β im chaotischen Regime, bei mittleren β erreicht es das<br />
periodische Regime, welches es bei großen β durchfährt.<br />
Im gesamten Parameterbereich spiegelte die Interdependenz zusammen mit<br />
der Übereinbettung die Struktur des Systems richtig wieder. Insbesondere ist in<br />
diesem Bereich die kontinuierliche Abnahme der H (δ) (Y |X)-Werte bei wachsendem<br />
Drift, wie es bei der Kopplung der Fall war, nicht zu beobachten.
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