Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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70 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME Die von Arnhold et al. (1999) vorgeschlagene Methode zum Nachweis von Kopplung bzw. von verallgemeinerter Synchronisation kann auch auf dynamische Systeme x n+1 = X n+1 (x 0 ; p 0 ) = X 1 (x n ; p n ) , {p 0 , p 1 , p 2 , . . .} gegeben (4.15) angewendet werden, deren Parameter p n sich nur langsam in der Zeit verändern, p n+1 ≈ p n . (4.16) Hier ist zu beachten, dass die Parameter p 0 , p 1 , . . . gegeben sind; (p n ) n∈N0 ist kein dynamisches System. Kann X 1 lokal nach p n aufgelöst werden, p n = ζ(x n , x n+1 ), so folgt mit Gl. (4.16) x n+2 = X 1 (x n+1 ; p n+1 ) ≈ X 1 (x n+1 ; ζ(x n , x n+1 )) . Werden x n und x n+1 zu ˜x n+1 zusammengefasst und wird ˜X1 (˜x n ) = (X 1 (x n ; ζ(x n−1 , x n )), id(x n )) gesetzt, so ergibt sich hieraus ein neues parameterfreies dynamisches System [Hegger et al. (2000)], ˜x n+1 = ˜X 1 (˜x n ) . (4.17) Liegen die Beobachtungen von X als Zeitreihe vor, so kann das System (4.17) mittels Übereinbettung rekonstruiert werden. Hierzu ist jetzt eine Einbettungsdimension m > 2 (D f + P ) notwendig. Dabei ist D f die fraktale Dimension von X und P die Anzahl der Parameter [Hegger et al. (2000)]. Dies Verfahren soll an einem zeitdiskreten System von gekoppelten chaotischen Oszillatoren mit gerichteter Kopplung demonstriert werden, x n+1 = X 1 (x n ) + c · (Y 1 (y n ) − X 1 (x n )) y n+1 = Y 1 (y n ) . (4.18) Der Kopplungsparameter c wird mit c = 0.1 zunächst fest gewählt. Die einzelnen Subsysteme werden mit der logistische Abbildung modelliert, siehe beispeilsweise [Ott (1993)], X 1 (x) = a · x (1 − x) Y 1 (y) = b · x (1 − x) , wobei a = 3.81 und b = 3.80 gesetzt werden, so dass beide Subsysteme sich im chaotischen Regime befinden. Als Erstes wird das Verhalten der Interdependenz H (δ) (Y |X) untersucht, wenn der Kopplungsparameter einen zeitlichen Drift aufweist: c −→ c n = c + γ sin(2πν n)) . (4.19)
4.2. INTERDEPENDENZ, VERALLGEMEINERTE SYNCHRONISATION 71 Hierbei wurde die Driftfrequenz mit ν = 10 −4 fest gewählt. Das System in (4.18) wurde numerisch iteriert, um eine Zeitreihe mit 10 000 Punkten zu erhalten. Somit oszilliert c n genau einmal in dem verwendeten Datensatz. Für verschiedene γ, 0 ≤ γ ≤ 0.1, wurden die Interdependenzen H (δ) (Y |X) und H (δ) (X|Y ) berechnet. Die Ergebnisse für die Interdependenzen sind in Abb. 4.3 aufgetragen. Als Parameter wurde m = 4 (Einbettungsdimension von X und Y ), w = 10 (Theiler-Fenster) und δ = 1/20 des Wertebereich von X bzw. Y (Umgebungsgröße) verwendet. Die Interdependenz nimmt mit zunehmender Driftam- Interdependenz 1.5 1.0 0.5 H (δ) (Y|X) H (δ) (X|Y) 0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 Kopplungsamplitude γ Abbildung 4.3: Interdependenz H (δ) (Y |X) (Linie mit Kreisen) und H (δ) (Y |X) (Linie mit Quadraten) für das in Gl. (4.18) gegebene System in Abhängigkeit der Kopplungsamplitude γ (Gl. (4.19)). δ wurde gleich 1/20 des Wertebereichs von X bzw. Y gesetzt. plitude γ ab, liefert aber dennoch in Kopplungsrichtung größere Werte als entgegen dieser Richtung, wo sie nahezu konstant ist. Somit gibt die Interdependenz H (δ) (.|.) die Struktur des dynamischen Systems bei driftender Kopplungsstärke richtig wieder. Die Abnahme der Interdependenz H (δ) (Y |X) mit der Amplitude γ tritt auf, da mit wachsenem γ der zeitliche Drift von c n zunimmt, insbesondere wird die Näherung c n+1 ≈ c n immer schlechter. Für längere Zeitreihen ändern sich die Interdependenzen lediglich innerhalb geringer statistischer Fluktuationen. Desweiteren wurde die Interdependenz H (δ) (.|.) bei festgehaltenem γ und variierender Driftfrequenz ν untersucht. Auch hier spiegelte die Interdependenz die zugrunde liegende Modellstruktur richtig wieder. Als Nächstes wurde das Verhalten der Interdependenz bei fester Kopplung und driftenden Parametern des dynamischen Systems untersucht. Die Ergebnisse, bei denen der Parameter b des antreibenden Systems durch b −→ b n = b + β sin(2πν n)) (4.20) mit ν = 10 −4 ersetzt wurde, sind in Abb. 4.4 zu sehen. Die Amplituden β des
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70 KAPITEL 4. EXKURS: DYNAMISCHE SYSTEME<br />
Die <strong>von</strong> Arnhold et al. (1999) vorgeschlagene Methode zum Nachweis <strong>von</strong><br />
Kopplung bzw. <strong>von</strong> verallgemeinerter Synchronisation kann auch auf dynamische<br />
Systeme<br />
x n+1 = X n+1 (x 0 ; p 0 ) = X 1 (x n ; p n ) , {p 0 , p 1 , p 2 , . . .} gegeben (4.15)<br />
angewendet werden, deren Parameter p n sich nur langsam in der Zeit verändern,<br />
p n+1 ≈ p n . (4.16)<br />
Hier ist zu beachten, dass die Parameter p 0 , p 1 , . . . gegeben sind; (p n ) n∈N0 ist kein<br />
dynamisches System. Kann X 1 lokal nach p n aufgelöst werden, p n = ζ(x n , x n+1 ),<br />
so folgt mit Gl. (4.16)<br />
x n+2 = X 1 (x n+1 ; p n+1 ) ≈ X 1 (x n+1 ; ζ(x n , x n+1 )) .<br />
Werden x n <strong>und</strong> x n+1 zu ˜x n+1 zusammengefasst <strong>und</strong> wird ˜X1 (˜x n ) =<br />
(X 1 (x n ; ζ(x n−1 , x n )), id(x n )) gesetzt, so ergibt sich hieraus ein neues parameterfreies<br />
dynamisches System [Hegger et al. (2000)],<br />
˜x n+1 = ˜X 1 (˜x n ) . (4.17)<br />
Liegen die Beobachtungen <strong>von</strong> X als Zeitreihe vor, so kann das System (4.17)<br />
mittels Übereinbettung rekonstruiert werden. Hierzu ist jetzt eine Einbettungsdimension<br />
m > 2 (D f + P ) notwendig. Dabei ist D f die fraktale Dimension <strong>von</strong><br />
X <strong>und</strong> P die Anzahl der Parameter [Hegger et al. (2000)].<br />
Dies Verfahren soll an einem zeitdiskreten System <strong>von</strong> gekoppelten chaotischen<br />
Oszillatoren mit gerichteter Kopplung demonstriert werden,<br />
x n+1 = X 1 (x n ) + c · (Y 1 (y n ) − X 1 (x n ))<br />
y n+1 = Y 1 (y n ) . (4.18)<br />
Der Kopplungsparameter c wird mit c = 0.1 zunächst fest gewählt. Die einzelnen<br />
Subsysteme werden mit der logistische Abbildung modelliert, siehe beispeilsweise<br />
[Ott (1993)],<br />
X 1 (x) = a · x (1 − x)<br />
Y 1 (y) = b · x (1 − x) ,<br />
wobei a = 3.81 <strong>und</strong> b = 3.80 gesetzt werden, so dass beide Subsysteme sich im<br />
chaotischen Regime befinden.<br />
Als Erstes wird das Verhalten der Interdependenz H (δ) (Y |X) untersucht,<br />
wenn der Kopplungsparameter einen zeitlichen Drift aufweist:<br />
c −→ c n = c + γ sin(2πν n)) . (4.19)
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