Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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60 KAPITEL 3. SCHÄTZEN VON ENTROPIEN UND INFORMATIONEN zum nächsten teilweise erhebliche Sprünge. Mit der Transferentropie können keine Aussagen gemacht werden, da sie eine sehr viel aufwendigere Statistik benötigt. Zu erwarten wäre, dass die Transferentropie in Kopplungsrichtung entgegen dem Wind den Wert Null liefert und in Kopplungsrichtung mit dem Wind einen positiven Wert. Desweiteren sollte die Zeit, welche die Windfront von einem Mast zum nächsten benötigt, durch ein Maximum in der Transferentropie als Funktion der Zeitverzögerung gegeben sein, wenn beide Signale in der Zeit gegeneinander verschoben werden.
Kapitel 4 Exkurs: Dynamische Systeme 4.1 Entropie eines dynamischen Systems Eine Vielzahl von physikalischen, mathematischen oder biologischen Phänomenen wird durch gewöhnliche Differentialgleichungssysteme ẋ(t) = F (x(t)) (4.1) mit Anfangswerten x(0) = x 0 beschrieben, (x(t) ∈ R d ). Ist F Lipschitz-stetig, so existiert eine Lösung x(t, x 0 ) für das System, wobei x(t, x 0 ) für jeden Zeitpunkt t eindeutig durch die Anfangsbedingung x(0) = x 0 festgelegt ist. Diese deterministischen Prozessen waren in den bisherigen Betrachtungen weitgehend ausgeschlossen. In diesem Kapitel werden die wesentlichen Ideen vorgestellt, mit denen es möglich ist, deterministische Prozesse als eine spezielle Klasse von stochastischen Prozessen zu betrachten. Hierauf aufbauend wird anschließend gezeigt, wie sie mit Techniken der Informationstheorie studiert werden können. Ein allgemeines mathematisches Konzept, mit dem deterministische Prozesse beschrieben werden, sind die dynamischen Systeme, [Katok & Hasselblatt (1995), Ott (1993), Schuster (1989)]. Hierunter versteht man eine Familie von Abbildungen (X t ) t∈Γ mit den Eigenschaften 1. X t : M −→ M ⊂ R d , ∀t ∈ Γ , 2. X 0 (x) = id(x) = x , ∀x ∈ M , 3. X t (X s (x)) = X t+s (x) , ∀s, t ∈ Γ, x ∈ M , (4.2) 4. X t : (M, B(M)) → (M, B(M)) ∀t ∈ Γ , 5. t → X t (x 0 ) stetig ∀x 0 ∈ M , wobei B(M) die Borelsche σ-Algebra auf M ist, siehe hierfür auch [Reitmann (1996), Walters (1981)]. Die kompakte Teilmenge M von R d wird Zustands- oder Phasenraum genannt. Ist die Zeitmenge Γ = R oder R + , so spricht 61
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60 KAPITEL 3. SCHÄTZEN VON ENTROPIEN UND INFORMATIONEN<br />
zum nächsten teilweise erhebliche Sprünge. Mit der Transferentropie können keine<br />
Aussagen gemacht werden, da sie eine sehr viel aufwendigere Statistik benötigt.<br />
Zu erwarten wäre, dass die Transferentropie in Kopplungsrichtung entgegen dem<br />
Wind den Wert Null liefert <strong>und</strong> in Kopplungsrichtung mit dem Wind einen positiven<br />
Wert. Desweiteren sollte die Zeit, welche die Windfront <strong>von</strong> einem Mast<br />
zum nächsten benötigt, durch ein Maximum in der Transferentropie als Funktion<br />
der Zeitverzögerung gegeben sein, wenn beide Signale in der Zeit gegeneinander<br />
verschoben werden.
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