Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

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Dies ist die Log-Summen-Ungleichung.
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Satz 3 (Ein-dimensionaler Kernschätzer) Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
g einer ein-dimensionalen Zufallsvariablen X zweimal differenzierbar und gilt für
den Kern K
∫
∫
∫
K(u) du = 1 , u K(u) du = 0 , u 2 K(u) du < ∞ ,
so ist der Kernschätzer der Dichte g
erwartungstreu, dass heißt
ĝ ε (x) = 1
N ε
N∑
( )
x − X(ωn )
K
ε
n=1
E [g ε (x)]
ε→0
−−→ g(x) .
Beweis: Für den Erwartungswert von g ε (x) gilt:
∫
1
N∑
( )
x − X(ωn )
E [g ε (x)] =
K
P (dω 1 , . . . , dω N )
N ε
ε
n=1
= 1 N∑
∫ ( )
x − X(ωn )
K
P (dω n )
N ε
ε
n=1
= 1 ∫ ( )
x − X(ω1 )
K
P (dω 1 ) = 1 ∫ ( ) x − y
K g(y) dy
ε
ε
ε ε
∫
= K(u) g(x − ε u) du .
Da g zweimal differenzierbar ist, kann die Dichte in eine Taylorsche Reihe um x
entwickelt werden,
g(x − ε u) = g(x) − ∂g(x)
∂x ε u + 1 ∂ 2 g(˜x)
ε 2 u 2 ,
2 ∂x 2
mit ˜x ∈ [x − ε u, x]. Dies eingesetzt in die vorherige Gleichung und unter Berücksichtigung
der Eigenschaften von K liefert die Behauptung
E [g ε (x)] = g(x) + ε2
2 · Rest ε→0
−−→ g(x) .
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