Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

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zwischen zwei Prozessen nachgewiesen werden, indem geprüft wird, ob die gegenseitige
Information auf einer beliebigen Partition positiv ist. Eine analoge Aussage
für die Transferentropie kann hingegen nicht gemacht werden. Insbesondere kann
für bidirektional gekoppelte Systeme die Richtung des Nettoinformationsflusses
nur dann bestimmt werden, wenn die Transferentropie konvergiert.
Besitzt man bereits im Voraus Kenntnisse über die Verteilungen der Prozesse,
so müssen für parametrische Verteilungen lediglich deren Parameter aus den
Daten geschätzt werden. Handelt es sich um Gauß-Prozesse, so lassen sich die gegenseitige
Information und die Transferentropie allein aus der Kovarianzmatrix
analytisch berechnen.
Als eine weitere Methode habe ich Kernschätzer vorgestellt, mit denen die
informationstheoretischen Größen aus Daten berechnet werden können. Hierbei
handelt es sich um nichtparametrische Schätzer für die Dichten. Gegenüber der
Partitionierung des Zustandsraums hat dieses Verfahren den Vorteil, dass der
Bias des Schätzers aufgrund serieller Korrelationen innerhalb der Zeitreihe mit
einem Theiler-Fenster auf einfache Weise unterdrückt werden kann. Die größte
Schwierigkeit bei der Verwendung von Kernschätzern liegt in der Konstruktion
eines effektiven Kerns für mehr-dimensionale Prozesse. Anhand von gekoppelten
autoregressiven Prozessen wurde dennoch demonstriert, dass es trotz eines einfachen
Produktansatzes für den Kern möglich ist, die Kopplungsrichtung sowie
die Kopplungsstärke zu bestimmen. Des Weiteren konnten die Abhängigkeiten
näherungsweise richtig quantifiziert werden.
Die Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen stochastischen Prozessen
stellt insbesondere dann eine große Herausforderung dar, wenn die Prozesse nichtstationär
sind und nur eine Realisierung vorliegt. Anhand von Zeitreihen, in denen
die Windgeschwindigkeiten an verschiedenen Orten gegeben sind, wurde demonstriert,
wie die gegenseitige Information angewendet werden kann, um räumliche
Abhängigkeiten zu untersuchen. Hierzu wurde die gegenseitige Information auf
kleinen Zeitfenstern geschätzt. Indem dies Zeitfenster über die Zeitreihen verschoben
wurde, war es möglich, die Abhängigkeiten zwischen den Windgeschwindigkeiten
an verschiedenen Orten als Funktion der Zeit zu ermitteln. Insbesondere
ist es möglich, die Windrichtung aus den Windgeschwindigkeiten zu bestimmen.
Hierzu wurden die Zeitreihen gegeneinander verschoben und die gegenseitige Information
als Funktion der Zeitverschiebung untersucht.
Zu einer speziellen Klasse von stochastischen Prozessen gehören die Punktprozesse.
Bei ihnen ist nicht der Zustand, sondern der Zeitpunkt, in dem ein Ereignis
eintritt, von Interesse. Die Realisierungen von Punktprozessen sind Funktionen
N t , deren Werte die Anzahl der Ereignisse bis zum beobachteten Zeitpunkt t angeben.
Diese Ereigniszahlen sind zwar ganzzahlige Funktionen, aber da sie monoton
wachsen, muss eine große Anzahl von Beobachtungen vorhanden sein, damit
die Verteilungen der Punktprozesse geschätzt werden können, um Abhängigkeiten
oder Kopplungen zwischen zwei Punktprozessen nachzuweisen. Kann aber
angenommen werden, dass dem Punktprozess ein ergodischer Prozess zugrunde