Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER EREIGNISINTERVALLE 105
Auch B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) stellt eine untere Grenze für die gegenseitige Information
von D k+1 und E (i)
k
dar, das heißt
B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) ≤ M(D k+1, E (i)
k ) .
Folglich kann aus B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) > 0 geschlossen werden, dass die Punktprozesse
X und Y voneinander abhängen.
Dieses Verfahren kann auch zur Analyse von Punktprozessen verwendet werden,
wenn nur ein Experiment beobachtet wurde, sofern angenommen werden
kann, dass die zugrunde liegende Dynamik der Prozesse sowie die Kopplung
zeitunabhängig sind. In diesem Fall sind D k+1 bzw. E (i)
k
, k = 0, 1, 2, . . .,
i = 0, ±1, ±2, . . . stationär verteilt.
Auch wenn bei dieser Methode D k+1 und E (i)
k
mittels ∆ D bzw. ∆ E diskretisiert
werden, ist diese Diskretisierung nicht mit der Zeitdiskretisierung der
zuvor besprochenden Methoden zu verwechseln. Insbesondere werden bei der
Betrachtung von Zuwächsen häufig mehrere Ereignisse als Ereignisgruppe zusammengefasst.
Hier sind ∆ D und ∆ E Parameter, die die Empfindlichkeit des
Tests auf Abhängigkeit bestimmen. Je kleiner diese Intervalllängen gewählt werden,
desto besser approximiert B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) die gegenseitige Information
M(D k+1 , E (i)
k
) asymptotisch, die der eigentliche Gegenstand der Untersuchung ist.
Aufgrund von endlichen Beobachtungen kann ∆ D und ∆ E nicht beliebig klein
gewählt werden, stattdessen tritt der “Finite sample”-Effekt deutlicher in den
Vordergrund. In verschiedenen Untersuchungen hat sich herausgestellt, dass diese
Intervalllängen auch nicht beliebig klein gewählt werden müssen, sondern dass
eine binäre Partitionierung ausreichend ist, um Abhängigkeiten zu detektieren,
das heißt ∆ D = ∆ E = ∆, wobei ∆ die Länge des größten betrachteten Intervalls
ist (Maximaler Durchmesser des Zustandsraums).
Selbst wenn der Test stets B ∆D ,∆ E
( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) ≈ 0 für alle i = 0, ±1, ±2, . . .
liefert, kann trotzdem nicht auf Unabhängigkeit geschlossen werden. So ist es
auch möglich, dass der Test nicht in der Lage ist, eine Abhängigkeit zu erkennen.
In diesem Fall sollten ∆ D und ∆ E verkleinert werden. Des Weiteren ist es
empfehlenswert, die Ereigniszeiten von X und Y für die Festlegung der Ereignisintervalle
in Gl. (5.33) und Gl. (5.34) miteinander zu vertauschen, was zu einem
anderen, gleichwertigen Satz von Ereignisintervallen führt.
Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Zum Abschluss
soll dieses Verfahren zur Illustration auf die gekoppelten Hindmarsh-Rose-
Oszillatoren, die im Absch. 5.4.1 eingeführt wurden, angewendet werden.
Das Supremum B ∆,∆ ( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
) der gegenseitigen Informationen bezüglich
der binär diskretisierten Ereignisintervalle D k+1 und E (i)
k
ist als Funktion der
Intervallordnung i in Abb. 5.19 für verschiedene Kopplungsstärken g dargestellt.
∆ ist hier der Durchmesser des Zustandsraums von ( ˜D k+1 , Ẽ(i) k
). Wie Abb. 5.19 zu