Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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102 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE 12-dimensionalen Zustandsraum geschätzt werden muss. Auch die Werte der Transferentropie für τ = ∆, die den stärksten Einfluss eines Zuwachses von Y auf einen Zuwachs von X angibt, sind biasbehaftet, siehe Abb. 5.17. Daher fallen sie ebenfalls mit der Länge der Zeitreihe ab, allerdings deutlich langsamer als die Transferentropie für τ = τ ∞ . Insbesondere klaffen beide Transferentropien für g > 0 mit der Zeitreihenlänge immer weiter auseinander, da die Transferentropie für τ = ∆ aufgrund der Kopplung gegen einen Wert größer als Null konvergieren sollte. Eventuell kann der Bias nach unten korregiert werden, indem die gleiche Korrektur wie bei den Kernschätzern, siehe Absch. 3.6, gemacht wird. Dies bedeutet bei der Berechnung der Transferentropie, Gl. (3.8), werden in der Summation nur solche Terme berücksichtigt, für die eine ausreichende Anzahl von Punkten zum Schätzen der Verteilungen zur Verfügung steht. Diese Korrektur konnte leider noch nicht implementiert werden. Für die Kopplungsstärke 0 ≤ g ≤ 0.5 wurde die Analyse mit einer Fensterbreite von ∆ = 50 wiederholt. Dies lieferte quantitativ die gleichen Ergebnisse wie bei ∆ = 50, wobei jetzt k ≥ 4 und l ≥ 4 zu wählen sind, damit die Transferentropie, angewendet auf Zuwächse, die Modellstruktur richtig wiedergibt. 5.6 Abhängigkeitsnachweis über Ereignisintervalle Die bisher vorgestellten Methoden zum Nachweis von Abhängigkeiten zwischen Punktprozessen basieren auf der Untersuchung der Ereigniszahlen innerhalb eines Zeitintervalls, also auf den Zuwächsen von Punktprozessen. In diesem Abschnitt soll eine andere Herangehensweise vorgestellt werden, bei der der Nachweis von Abhängigkeiten auf Ereignisintervalle, gemeint sind Zeitintervalle zwischen den Ereignissen, basiert. Wie bereits in Absch. 5.3 dargelegt wurde, hängt im Allgemeinen die Ankunftszeit T k+1 (ω) des (k+1)-ten Ereignisses des Punktprozesses X von den Zeitpunkten seiner vorherigen Ereignisse T k (ω), T k−1 (ω), . . . ab. Koppelt zusätzlich Y in X, so wird T k+1 (ω) auch von den Ereignissen S jk+1 −1(ω), S jk+1 −2(ω), . . . von Y beeinflusst, die vor T k+1 (ω) auftraten. Dabei kennzeichnet der Index j k+1 (ω) jenes Ereignis S l (ω) von Y , das dem Ereignis T k+1 (ω) folgt, j k+1 (ω) = min{l ∈ N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}. Wird der Zeitpunkt T k (ω) als Referenzzeit verwendet, so bedeutet dies, dass die Länge der Wartezeit D k+1 (ω) = T k+1 (ω) − T k (ω) von den Intra-Intervallen D (i) k (ω) = T k(ω) − T k−i (ω) , i = 1, 2, 3, . . . (5.33) und im gekoppelten Fall zusätzlich von den Kreuz-Intervallen E (i) k (ω) = S j k +i(ω) − T k (ω) , i = 0, ±1, ±2, . . . (5.34)
5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER EREIGNISINTERVALLE 103 abhängt, siehe Abb. 5.18. Analog zu Gl. (5.13) folgt somit für die Verteilung der (2) D k D k−2 D k−1 (1) D k = D k D k+1 X Tk−2 Tk−1 Tk Tk+1 t Y S S S S S S l j k−2 j k−1 j k−1 j j k k+1 t (0) Ek−2 (0) Ek−1 (−1) Ek E (0) k E (0) k+1 (−2) Ek (1) E k Abbildung 5.18: Definition der Ereignisintervalle D k (ω) und E (i) k bezüglich der Punktprozesse X und Y . Die Pfeile symbolisieren den Einfluss der vorherigen Ereignisse auf das nächste Ereignis, wobei Y in X koppelt. T k (ω) gibt die Ereigniszeiten von X und S l (ω) jene von Y an. Der Index j k+1 ist gegeben durch j k+1 (ω) = min{l ∈ N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}. Wartezeiten der funktionelle Zusammenhang P {D k+1 = d k+1 } = F[d k+1 , D (1) k = d 1 , D (2) k = d 2 , . . . , E (0) k = e 0 , E (1) k = e 1 , E (−1) k = e −1 . . .] . (5.35) Wie Gl. (5.33), bzw. Abb. 5.18 zu entnehmen ist, werden die Intra-Intervalle D (i) k nur aus den Ereigniszeiten des Prozesses X gebildet. Hierbei gibt die Intervallordnung i an, welches Ereignis vor T k verwendet wird. Für die Kreuz-Intervalle (Gl. (5.34)) werden hingegen sowohl Ereigniszeiten von X als auch von Y benutzt. Insbesondere werden Ereignisse von Y verwendet, die vor (Intervallordnung i < 0) und nach (i ≥ 0) dem Ereignis T k auftreten. Aufgrund von Kausalität ist zu erwarten, dass es eine maximale Intervallordnung î ≥ 0 gibt, so dass in Gl. (5.35) nicht alle Intervalle berücksichtigt werden müssen. Entsprechend Absch. 5.3 folgt aus Gl. (5.35), dass die Prozesse X und Y nicht unabhängig voneinander sein können, wenn die Wartezeiten D k+1 und die
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5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER EREIGNISINTERVALLE 103<br />
abhängt, siehe Abb. 5.18. Analog zu Gl. (5.13) folgt somit für die Verteilung der<br />
(2)<br />
D<br />
k<br />
D<br />
k−2<br />
D<br />
k−1<br />
(1)<br />
D<br />
k = D k<br />
D<br />
k+1<br />
X<br />
Tk−2 Tk−1<br />
Tk Tk+1<br />
t<br />
Y<br />
S<br />
S<br />
S S<br />
S<br />
S<br />
l j k−2 j k−1 j k−1<br />
j j k<br />
k+1<br />
t<br />
(0)<br />
Ek−2<br />
(0)<br />
Ek−1<br />
(−1)<br />
Ek<br />
E<br />
(0) k E<br />
(0)<br />
k+1<br />
(−2)<br />
Ek<br />
(1)<br />
E<br />
k<br />
Abbildung 5.18: Definition der Ereignisintervalle D k (ω) <strong>und</strong> E (i)<br />
k<br />
bezüglich der<br />
Punktprozesse X <strong>und</strong> Y . Die Pfeile symbolisieren den Einfluss der vorherigen<br />
Ereignisse auf das nächste Ereignis, wobei Y in X koppelt. T k (ω) gibt die Ereigniszeiten<br />
<strong>von</strong> X <strong>und</strong> S l (ω) jene <strong>von</strong> Y an. Der Index j k+1 ist gegeben durch<br />
j k+1 (ω) = min{l ∈ N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}.<br />
Wartezeiten der funktionelle Zusammenhang<br />
P {D k+1 = d k+1 } = F[d k+1 , D (1)<br />
k<br />
= d 1 , D (2)<br />
k<br />
= d 2 , . . . ,<br />
E (0)<br />
k<br />
= e 0 , E (1)<br />
k<br />
= e 1 , E (−1)<br />
k<br />
= e −1 . . .] . (5.35)<br />
Wie Gl. (5.33), bzw. Abb. 5.18 zu entnehmen ist, werden die Intra-Intervalle<br />
D (i)<br />
k<br />
nur aus den Ereigniszeiten des Prozesses X gebildet. Hierbei gibt die Intervallordnung<br />
i an, welches Ereignis vor T k verwendet wird. Für die Kreuz-Intervalle<br />
(Gl. (5.34)) werden hingegen sowohl Ereigniszeiten <strong>von</strong> X als auch <strong>von</strong> Y benutzt.<br />
Insbesondere werden Ereignisse <strong>von</strong> Y verwendet, die vor (Intervallordnung i < 0)<br />
<strong>und</strong> nach (i ≥ 0) dem Ereignis T k auftreten. Aufgr<strong>und</strong> <strong>von</strong> Kausalität ist zu erwarten,<br />
dass es eine maximale Intervallordnung î ≥ 0 gibt, so dass in Gl. (5.35)<br />
nicht alle Intervalle berücksichtigt werden müssen.<br />
Entsprechend Absch. 5.3 folgt aus Gl. (5.35), dass die Prozesse X <strong>und</strong> Y<br />
nicht unabhängig <strong>von</strong>einander sein können, wenn die Wartezeiten D k+1 <strong>und</strong> die
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