Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

102 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
12-dimensionalen Zustandsraum geschätzt werden muss.
Auch die Werte der Transferentropie für τ = ∆, die den stärksten Einfluss
eines Zuwachses von Y auf einen Zuwachs von X angibt, sind biasbehaftet, siehe
Abb. 5.17. Daher fallen sie ebenfalls mit der Länge der Zeitreihe ab, allerdings
deutlich langsamer als die Transferentropie für τ = τ ∞ . Insbesondere klaffen beide
Transferentropien für g > 0 mit der Zeitreihenlänge immer weiter auseinander, da
die Transferentropie für τ = ∆ aufgrund der Kopplung gegen einen Wert größer
als Null konvergieren sollte.
Eventuell kann der Bias nach unten korregiert werden, indem die gleiche Korrektur
wie bei den Kernschätzern, siehe Absch. 3.6, gemacht wird. Dies bedeutet
bei der Berechnung der Transferentropie, Gl. (3.8), werden in der Summation nur
solche Terme berücksichtigt, für die eine ausreichende Anzahl von Punkten zum
Schätzen der Verteilungen zur Verfügung steht. Diese Korrektur konnte leider
noch nicht implementiert werden.
Für die Kopplungsstärke 0 ≤ g ≤ 0.5 wurde die Analyse mit einer Fensterbreite
von ∆ = 50 wiederholt. Dies lieferte quantitativ die gleichen Ergebnisse wie bei
∆ = 50, wobei jetzt k ≥ 4 und l ≥ 4 zu wählen sind, damit die Transferentropie,
angewendet auf Zuwächse, die Modellstruktur richtig wiedergibt.
5.6 Abhängigkeitsnachweis über
Ereignisintervalle
Die bisher vorgestellten Methoden zum Nachweis von Abhängigkeiten zwischen
Punktprozessen basieren auf der Untersuchung der Ereigniszahlen innerhalb eines
Zeitintervalls, also auf den Zuwächsen von Punktprozessen. In diesem Abschnitt
soll eine andere Herangehensweise vorgestellt werden, bei der der Nachweis von
Abhängigkeiten auf Ereignisintervalle, gemeint sind Zeitintervalle zwischen den
Ereignissen, basiert.
Wie bereits in Absch. 5.3 dargelegt wurde, hängt im Allgemeinen die Ankunftszeit
T k+1 (ω) des (k+1)-ten Ereignisses des Punktprozesses X von den Zeitpunkten
seiner vorherigen Ereignisse T k (ω), T k−1 (ω), . . . ab. Koppelt zusätzlich Y
in X, so wird T k+1 (ω) auch von den Ereignissen S jk+1 −1(ω), S jk+1 −2(ω), . . . von
Y beeinflusst, die vor T k+1 (ω) auftraten. Dabei kennzeichnet der Index j k+1 (ω)
jenes Ereignis S l (ω) von Y , das dem Ereignis T k+1 (ω) folgt, j k+1 (ω) = min{l ∈
N 0 : S l (ω) ≥ T k+1 (ω)}.
Wird der Zeitpunkt T k (ω) als Referenzzeit verwendet, so bedeutet dies, dass
die Länge der Wartezeit D k+1 (ω) = T k+1 (ω) − T k (ω) von den Intra-Intervallen
D (i)
k (ω) = T k(ω) − T k−i (ω) , i = 1, 2, 3, . . . (5.33)
und im gekoppelten Fall zusätzlich von den Kreuz-Intervallen
E (i)
k (ω) = S j k +i(ω) − T k (ω) , i = 0, ±1, ±2, . . . (5.34)