Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...

98 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE
T(Y ti+1
- Y ti
| (Y ti
- Y ti-1
) (l) , X ti+1 -τ - X t i -τ )
0.04
0.02
0
0 500 1000 1500 2000
Zeitverzoegerung τ [a.u.]
l = 1
l = 2
l = 4
l = 6
l = 8
l = 10
Abbildung 5.14: Transferentropie T (Y ti+1 −Y ti |(Y ti −Y ti−1 ) (l) , X ti+1 −τ −X ti −τ) als
Funktion der Zeitverzögerung τ für l = 1, . . . , 10 von unidirektional gekoppelte
Hindmarsh-Rose-Oszillatoren mit Kopplungsparameter g = 0.3. Die Zeitpunkte
t i wurden äquidistant gewählt, t i+1 − t i = ∆, mit ∆ = 20.
flussnahme von X ti+1 −τ − X ti −τ auf Y ti+1 − Y ti für l = 10 nicht mehr nachweisbar.
Somit kann innerhalb dieser begrenzten Genauigkeit darauf geschlossen werden,
dass X nicht in Y koppelt.
Als Nächstes wird die Kopplungsrichtung von Y nach X für g = 0.3 untersucht.
Hierfür wird der direkte Einfluss von Y ti+1 −τ − Y ti −τ auf X ti+1 − X ti für
die Zeitverzögerungen τ ≥ 0 studiert. Dies erfolgt, indem die Transferentropie
T (X ti+1 −X ti |(X ti −X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ −Y ti −τ) als Funktion von τ betrachtet wird.
Mit dem Parameter k = 1, . . . , 10 wird zusätzlich überprüft, wieviele Zuwächse
von X in der Vergangenheit berücksichtigt werden müssen, um einen indirekten
Einfluss von Y ti+1 −τ − Y ti −τ über X ti−k − Y ti−k−1 auf X ti+1 − Y ti auszuschließen.
Die Ergebnisse dieser Berechnungen sind in Abb. 5.15 dargestellt.
Hier zeigt sich zunächst, dass für alle k die Transferentropie temporale Strukturen
im Bereich τ < 500 aufweist. Desweiteren liefert die Transferentropie in
diesem Bereich Werte, die deutlich höher sind als der Bias, der für τ > 1250
vorliegt. Für etwa k > 6 ändert sich innerhalb statistischer Fluktuationen die
Transferentropie für Zeitverzögerungen von 0 ≤ τ < 500 qualitiativ und quantitativ
nicht. Dementsprechend ist es ausreichend k > 6 zu wählen, um den
unmittelbaren Einfluss von Y ti+1 −τ − Y ti −τ auf X ti+1 − X ti zu quantifizieren. Da
für kleine τ die Transferentropiewerte oberhalb des Biases liegen, kann hieraus