Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ... Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
96 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE sollen Markov-Prozesse darstellen, muss zusätzlich gefordert werden, dass die betrachteten Zeitpunkte 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t i+1 äquidistante Abstände haben: t j+1 − t j = ∆ ∀j = 0, . . . , i . Entsprechend dieser Modellvorstellung wird in dem Fall, dass der Prozess Y in X koppelt, der Zuwachs X ti+1 − X ti von den vorherigen Zuwächsen X ti − X ti−1 , . . . , X ti−k+1 − X ti−k sowie von Y ti+1 − Y ti , . . . , Y ti−l+1 − Y ti−l abhängen (k, l ∈ N), während im ungekoppelten Fall stets P Xt i+1 −Xt i |(Xt i −Xt i−1 )(k) =x (k) i , (Y ti+1 −Y ti ) (l) =y (l) i+1 = P Xt i+1 −Xt i |(Xt i −Xt i−1 )(k) =x (k) i (5.32) gilt. Hierbei wurde die Abkürzung (X ti − X ti−1 ) (k) = (X ti − X ti−1 , . . . , X ti−k+1 − X ti−k ) für den Produktzuwachs verwendet. Zur Illustration siehe Abb. 5.13. Da X Y Xt i−1 −X t i−2 Xt i −Xt i−1 Xt i+1 −Xt i t T k−2 Tk−1 Tk Tk+1 Y t i−1 −Y t i−2 Yt i −Y t i−1 Yt i+1 −Yt i t S S S S S S l−3 l−2 l−1 l l+1 l+2 ∆ t t t t i−2 i−1 i i+1 Abbildung 5.13: Abhängigkeit zwischen den Zuwächsen zweier Punktprozesse. Die Pfeile symbolisieren den Einfluss der vorherigen Zuwächse auf den Zuwachs X ti+1 −X ti . Alle Zeitpunkte t i haben einen äquidistanten Abstand (t i+1 −t i = ∆). Ereignisse von Y im Intervall (t i , t i+1 ] auch noch einen Einfluss auf den Zuwachs X ti+1 − X ti haben können, muss in der Bedingung der Übergangsverteilung in Gl. (5.32) der gegenwärtige Zuwachs Y ti+1 − Y ti von Y zugelassen werden. Die Quantifizierung der Kopplung kann wieder mit Hilfe der Transferentropie T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (k) , (Y ti+1 − Y ti ) (l) ) erfolgen, indem jetzt die Zuwächse der Prozesse betrachtet werden, siehe auch Absch. 2.1.2, Gl. (2.21). Ist ein Nachweis der Kopplung ausreichend, so kann hierfür die Transferentropie
5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 97 T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ − Y ti −τ) als Funktion der Zeitverzögerung τ ≥ 0 betrachtet werden, wobei wegen der angenommenen kausalen Kopplung nur nichtnegative τ berücksichtigt werden müssen. Ist diese Transferentropie für ein τ ≥ 0 signifikant von Null verschieden, so hat mindestens einer der Zuwachs Y ti+1 −τ − Y ti −τ einen direkten Einfluß auf X ti+1 − X ti , das heißt ein Kopplung von Y nach X liegt vor. Ist hingegen T (X ti+1 −X ti |(X ti −X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ −Y ti −τ) = 0 für alle τ ≥ 0, so kann keine Kopplung nachgewiesen werden. Während für den Nachweis der Abhängigkeit beider Prozesse voneinander die gegenseitige Information M(X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1 ) auf einen 2-dimensionalen Zustandsraum geschätzt werden musste, muss für die Transferentropie mindestens ein 3-dimensionaler Zustandsraum berücksichtigt werden. Dies führt dazu, dass statistische Fluktuationen bei der Berechnung der Transferentropie sehr viel größer sein werden als bei der gegenseitigen Information. Somit werden für den Nachweis der Kopplung im Allgmeinen deutlich längere Zeitreihen benötigt als zum Nachweis der gegenseitigen Abhängigkeit. Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Im Folgenden wird an dem in Absch. 5.4.1 eingeführten Beispielsystem von gekoppelten Hindmarsh- Rose-Oszillatoren gezeigt, wie mit Hilfe der Transferentropie das System auf Kopplung untersucht werden kann, indem die Zuwächse betrachtet werden. Hierzu wurde dieses System unter Verwendung der selben Parameter wie in Absch. 5.4.1 für 1 000 000 Zeiteinheiten gelöst. Solch lange Zeitreihen waren diesmal notwendig, um die statistischen Fluktuationen beim Schätzen der Übergangsverteilungen auf einem ausreichend kleinen Niveau zu halten, da hier Zustandsräume mit bis zu 12 Dimensionen betrachtet werden. Weiterhin wurden nichtüberlappende, äquidistante Zeitfenster verwendet, das heißt t i = s i = ∆ i, t i −t i−1 = ∆ für alle i, wobei ∆ = 20 gewählt wurde. Somit enthält jeder Zuwachs bis zu 2, vereinzelnt auch 3 Ereignisse. Zunächst wird für den Kopplungsparameter g = 0.3 der Einfluss, den der Zuwachs X ti+1 −τ − X ti −τ, τ ≥ 0, auf Y ti+1 − Y ti hat, untersucht. Hierzu wird für l = 1, . . . , 10 die Transferentropie T (Y ti+1 − Y ti |(Y ti − Y ti−1 ) (l) , X ti+1 −τ − X ti −τ) als Funktion der Zeitverzögerung τ ≥ 0 berechnet. Aufgrund von Kausalität werden hier nur nichtnegative Zeitverzögerungen betrachtet. Wie in Abb. 5.14 zu sehen ist, zeigt die Transferentropie für l = 1 eine temporale Struktur im Bereich τ = 0, . . . , 250. Für große τ fallen die Werte der Transferentropie innerhalb statistischer Fluktuationen auf einen kleinen positiven Wert ab. Da die Korrelationen innerhalb der Dynamik des Systems mit der Zeit abnehmen, stellt dieser Wert den positiven Bias des Schätzers dar. Werden weitere Zuwächse aus der Vergangenheit von Y berücksichtigt, so nimmt die Ausprägung der temporalen Strukturen ab, da jetzt die indirekte Einflussnahme der Zuwächse X ti+1 −τ − X ti −τ auf den Zuwachs Y ti+1 − Y ti stärker unterbunden wird. Aufgrund des ebenfalls steigenden Biases ist eine direkte Ein-
- Seite 51 und 52: 3.5. KONTINUIERLICHES BEISPIEL: AR(
- Seite 53 und 54: 3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 47
- Seite 55 und 56: 3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 49
- Seite 57 und 58: 3.6. KERNSCHÄTZER FÜR DICHTEN 51
- Seite 59 und 60: 3.7. RÄUMLICHE ABHÄNGIGKEIT DES W
- Seite 61 und 62: 3.7. RÄUMLICHE ABHÄNGIGKEIT DES W
- Seite 63 und 64: 3.7. RÄUMLICHE ABHÄNGIGKEIT DES W
- Seite 65 und 66: 3.7. RÄUMLICHE ABHÄNGIGKEIT DES W
- Seite 67 und 68: Kapitel 4 Exkurs: Dynamische System
- Seite 69 und 70: 4.1. ENTROPIE EINES DYNAMISCHEN SYS
- Seite 71 und 72: 4.1. ENTROPIE EINES DYNAMISCHEN SYS
- Seite 73 und 74: 4.2. INTERDEPENDENZ, VERALLGEMEINER
- Seite 75 und 76: 4.2. INTERDEPENDENZ, VERALLGEMEINER
- Seite 77 und 78: 4.2. INTERDEPENDENZ, VERALLGEMEINER
- Seite 79 und 80: Kapitel 5 Punktprozesse 5.1 Definit
- Seite 81 und 82: 5.1. DEFINITION EINES PUNKTPROZESSE
- Seite 83 und 84: 5.2. MOMENTE UND EREIGNISRATEN 77 2
- Seite 85 und 86: 5.3. GEKOPPELTE PUNKTPROZESSE 79 Be
- Seite 87 und 88: 5.3. GEKOPPELTE PUNKTPROZESSE 81 f
- Seite 89 und 90: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 91 und 92: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 93 und 94: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 95 und 96: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 97 und 98: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 99 und 100: 5.4. NACHWEIS VON ABHÄNGIGKEITEN M
- Seite 101: 5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS
- Seite 105 und 106: 5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS
- Seite 107 und 108: 5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS
- Seite 109 und 110: 5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER E
- Seite 111 und 112: 5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER E
- Seite 113 und 114: 5.6. ABHÄNGIGKEITSNACHWEIS ÜBER E
- Seite 115 und 116: Kapitel 6 Zusammenfassung Die Besti
- Seite 117 und 118: 111 zwischen zwei Prozessen nachgew
- Seite 119 und 120: Anhang A Mathematische Werkzeuge De
- Seite 121 und 122: 115 Dies ist die Log-Summen-Ungleic
- Seite 123 und 124: Literaturverzeichnis [Arnhold et al
- Seite 125 und 126: LITERATURVERZEICHNIS 119 [Hindmarsh
- Seite 127 und 128: LITERATURVERZEICHNIS 121 [Rosenblum
- Seite 129: LITERATURVERZEICHNIS 123 Danksagung
5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 97<br />
T (X ti+1 − X ti |(X ti − X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ − Y ti −τ) als Funktion der Zeitverzögerung<br />
τ ≥ 0 betrachtet werden, wobei wegen der angenommenen kausalen Kopplung<br />
nur nichtnegative τ berücksichtigt werden müssen. Ist diese Transferentropie für<br />
ein τ ≥ 0 signifikant <strong>von</strong> Null verschieden, so hat mindestens einer der Zuwachs<br />
Y ti+1 −τ − Y ti −τ einen direkten Einfluß auf X ti+1 − X ti , das heißt ein Kopplung <strong>von</strong><br />
Y nach X liegt vor. Ist hingegen T (X ti+1 −X ti |(X ti −X ti−1 ) (k) , Y ti+1 −τ −Y ti −τ) = 0<br />
für alle τ ≥ 0, so kann keine Kopplung nachgewiesen werden.<br />
Während für den Nachweis der Abhängigkeit beider Prozesse <strong>von</strong>einander die<br />
gegenseitige Information M(X ti − X ti−1 , Y sj − Y sj−1 ) auf einen 2-dimensionalen<br />
Zustandsraum geschätzt werden musste, muss für die Transferentropie mindestens<br />
ein 3-dimensionaler Zustandsraum berücksichtigt werden. Dies führt dazu,<br />
dass statistische Fluktuationen bei der Berechnung der Transferentropie sehr viel<br />
größer sein werden als bei der gegenseitigen Information. Somit werden für den<br />
Nachweis der Kopplung im Allgmeinen deutlich längere Zeitreihen benötigt als<br />
zum Nachweis der gegenseitigen Abhängigkeit.<br />
Beispiel: Gekoppelte Hindmarsh-Rose-Oszillatoren. Im Folgenden wird<br />
an dem in Absch. 5.4.1 eingeführten Beispielsystem <strong>von</strong> gekoppelten Hindmarsh-<br />
Rose-Oszillatoren gezeigt, wie mit Hilfe der Transferentropie das System auf<br />
Kopplung untersucht werden kann, indem die Zuwächse betrachtet werden.<br />
Hierzu wurde dieses System unter Verwendung der selben Parameter wie in<br />
Absch. 5.4.1 für 1 000 000 Zeiteinheiten gelöst. Solch lange Zeitreihen waren diesmal<br />
notwendig, um die statistischen Fluktuationen beim Schätzen der Übergangsverteilungen<br />
auf einem ausreichend kleinen Niveau zu halten, da hier Zustandsräume<br />
mit bis zu 12 Dimensionen betrachtet werden. Weiterhin wurden<br />
nichtüberlappende, äquidistante Zeitfenster verwendet, das heißt t i = s i = ∆ i,<br />
t i −t i−1 = ∆ für alle i, wobei ∆ = 20 gewählt wurde. Somit enthält jeder Zuwachs<br />
bis zu 2, vereinzelnt auch 3 Ereignisse.<br />
Zunächst wird für den Kopplungsparameter g = 0.3 der Einfluss, den der<br />
Zuwachs X ti+1 −τ − X ti −τ, τ ≥ 0, auf Y ti+1 − Y ti hat, untersucht. Hierzu wird für<br />
l = 1, . . . , 10 die Transferentropie T (Y ti+1 − Y ti |(Y ti − Y ti−1 ) (l) , X ti+1 −τ − X ti −τ)<br />
als Funktion der Zeitverzögerung τ ≥ 0 berechnet. Aufgr<strong>und</strong> <strong>von</strong> Kausalität werden<br />
hier nur nichtnegative Zeitverzögerungen betrachtet. Wie in Abb. 5.14 zu<br />
sehen ist, zeigt die Transferentropie für l = 1 eine temporale Struktur im Bereich<br />
τ = 0, . . . , 250. Für große τ fallen die Werte der Transferentropie innerhalb statistischer<br />
Fluktuationen auf einen kleinen positiven Wert ab. Da die Korrelationen<br />
innerhalb der Dynamik des Systems mit der Zeit abnehmen, stellt dieser Wert<br />
den positiven Bias des Schätzers dar.<br />
Werden weitere Zuwächse aus der Vergangenheit <strong>von</strong> Y berücksichtigt, so<br />
nimmt die Ausprägung der temporalen Strukturen ab, da jetzt die indirekte Einflussnahme<br />
der Zuwächse X ti+1 −τ − X ti −τ auf den Zuwachs Y ti+1 − Y ti stärker<br />
unterb<strong>und</strong>en wird. Aufgr<strong>und</strong> des ebenfalls steigenden Biases ist eine direkte Ein-
Change language