Nichtlineare Methoden zur Quantifizierung von Abhängigkeiten und ...
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94 KAPITEL 5. PUNKTPROZESSE Vielfache von δ sind. Somit ist (Y ti +δ −Y ti )·(X ti +τ+∆ −X ti +τ) die Anzahl der Koinzidenzpaare eines Experimentes. Die mittlere Koinzidenzanzahl ist dann durch den Erwartungswert dieser Koinzidenzpaare gegeben: Koinz-# = E [(Y ti +δ − Y ti ) · (X ti +τ+∆ − X ti +τ)] . (5.29) Im unabhängigen Fall ist die mittlere Koinzidenzanzahl gegeben durch Koinz-# unabh = E [Y ti +δ − Y ti ] · E [X ti +τ+∆ − X ti +τ] . (5.30) Die Differenz beider Werte ist somit ein Maß für die Abhängigkeit. Insbesondere folgt aus einem Vergleich mit Gl. (5.26), dass dieses Maß gleich der Kovarianz ist, Koinz-# − Koinz-# unabh = Cov [Y ti +δ − Y ti , X ti +τ+∆ − X ti +τ] (5.31) ∆/δ ∑ = Cov [ Y ti +δ − Y ti , X ti +τ+j δ − X ti +τ+(j−1) δ] . j=1 Für die letzte Gleichheit wurde die Additivität der Zuwächse ausgenutzt, X ti+2 − X ti = X ti+2 − X ti+1 + X ti+1 − X ti mit t i < t i+1 < t i+2 . Da auch X ti +τ+j δ−X ti +τ+(j−1) δ nur die Werte Null oder Eins annimmt, ist der Wert (Koinz-# − Koinz-# unabh )/(∆/δ) nichts anderes als die über ein Zeitfenster ∆ gemittelte Kovarianz einer Zeitreihen von Punktprozessen (Gl. (5.6)), die um 0 bis ∆/δ Zeitschritte gegeneinander verschoben sind. Ereignismuster. Unter der Annahme, dass die Punktprozesse X und Y stationär verteilte Zuwächse haben, kann die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, wie häufig es vorkommt, dass zum Beispiel Prozess X ein Ereignis hat und gleichzeitig Y keins, siehe [Grün et al. (2002)] für Details. Im Folgenden seien die Zeitpunkte t i durch die Datenaufzeichnung so vorgegeben, dass t i − t i−1 = δ für i = 1, . . . , T gilt, wobei δ die Zeitauflösung der Messung ist und T die Anzahl der Datenpunkte. Somit repräsentiert das Zeitintervall (t i−1 , t i ] genau einen Datenpunkt. Die Wahrscheinlichkeit, mit der X oder Y in einem Datenpunkt ein Ereingis hat, ist durch die Ereingisrate λ X bzw. λ Y gegeben, P {X ti − X ti−1 = 1} = λ X δ, P {Y ti − Y ti−1 = 1} = λ Y δ. Das Ereignismuster (x, y) ∈ {0, 1} 2 tritt, wenn X und Y unabhängig sind, mit der Wahrscheinlichkeit P {X ti − X ti−1 = x, Y ti − Y ti−1 = y} = P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y} auf. Bezeichnet N(x, y, T ) die Zufallsvariable, die angibt, wie häufig innerhalb des Datensatzes das Muster (x, y) vorkommt, so lautet deren Verteilung für un-
5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 95 abhängiges X und Y P {N(x, y, T ) = n} = T ! n! · (T − n)! · (P {X t i − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) n × (1 − P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) T −n . Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, mit der im unabhängigen Fall mindestens n min bzw. maximal n max Ereignismuster (x, y) gefunden werden, durch bzw. P {min N(x, y, T ) = n min } = P {max N(x, y, T ) = n max } = ∞∑ n=n min P {N(x, y, T ) = n} , n∑ max n=0 P {N(x, y, T ) = n} gegeben. Dies ermöglicht es, die Werte n min und n max so zu bestimmen, dass ein statistischer Test zum Signifikanzlevel α ausgeführt werden kann, um auf nicht zufällige Koinzidenzen zu testen. Dieses Verfahren lässt sich direkt auf mehr als zwei Punktprozesse erweitern, siehe [Grün et al. (2002)]. 5.5 Nachweis von Kopplung mittels Zuwächsen Um Kopplung zwischen Punktprozessen untersuchen zu können, wäre es von Vorteil, wenn Gl. (5.17) ebenfalls auf Zuwächse umgeschrieben werden könnte. Dies ist aber nicht ohne weiteres möglich. Denkt man aber an Neuronen, die über eine Synapse gekoppelt sind, so ist es plausibel anzunehmen, dass das Neuron X zusätzlich zum Spiken angeregt wird, wenn die Anzahl der Ereignisse von Neuron Y innerhalb eines Zeitfensters einen bestimmten Schwellenwert übersteigt. Häufig stellen Punktprozesse Abbilder von dynamischen Systemen oder kontinuierlichen Prozessen in dem Sinne dar, dass die Ereigniszeiten die Zeitpunkte markieren, in denen die dynamischen Variablen einen Schwellenwert überschreiten. Dementsprechend kann jedem dynamischen System ein Punktprozess zugeordnet werden, indem die Durchstoßzeiten eines Poincaré-Schnitts aufgezeichnet werden [Kantz & Schreiber (1997), Hegger & Kantz (1997)]. Dieses Verfahren wurde bereits verwendet, um aus den Hindmarsch-Rose-Oszillatoren des vorherigen Beispiels Punktprozesse zu erzeugen. Unter diesen Bedingungen ist ebenfalls die Annahme naheliegend, dass die Zuwächse eines späteren Zeitfensters von den vorherigen abhängen. Damit in jedem Zeitpunkt nur endlich viele Zuwächse aus der Vergangenheit berücksichtigt werden müssen, das heißt die Zuwächse
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5.5. NACHWEIS VON KOPPLUNG MITTELS ZUWÄCHSEN 95<br />
abhängiges X <strong>und</strong> Y<br />
P {N(x, y, T ) = n} =<br />
T !<br />
n! · (T − n)! · (P {X t i<br />
− X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) n<br />
× (1 − P {X ti − X ti−1 = x} · P {Y ti − Y ti−1 = y}) T −n .<br />
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, mit der im unabhängigen Fall mindestens n min<br />
bzw. maximal n max Ereignismuster (x, y) gef<strong>und</strong>en werden, durch<br />
bzw.<br />
P {min N(x, y, T ) = n min } =<br />
P {max N(x, y, T ) = n max } =<br />
∞∑<br />
n=n min<br />
P {N(x, y, T ) = n} ,<br />
n∑<br />
max<br />
n=0<br />
P {N(x, y, T ) = n}<br />
gegeben. Dies ermöglicht es, die Werte n min <strong>und</strong> n max so zu bestimmen, dass ein<br />
statistischer Test zum Signifikanzlevel α ausgeführt werden kann, um auf nicht<br />
zufällige Koinzidenzen zu testen. Dieses Verfahren lässt sich direkt auf mehr als<br />
zwei Punktprozesse erweitern, siehe [Grün et al. (2002)].<br />
5.5 Nachweis <strong>von</strong> Kopplung mittels Zuwächsen<br />
Um Kopplung zwischen Punktprozessen untersuchen zu können, wäre es <strong>von</strong><br />
Vorteil, wenn Gl. (5.17) ebenfalls auf Zuwächse umgeschrieben werden könnte.<br />
Dies ist aber nicht ohne weiteres möglich. Denkt man aber an Neuronen, die über<br />
eine Synapse gekoppelt sind, so ist es plausibel anzunehmen, dass das Neuron X<br />
zusätzlich zum Spiken angeregt wird, wenn die Anzahl der Ereignisse <strong>von</strong> Neuron<br />
Y innerhalb eines Zeitfensters einen bestimmten Schwellenwert übersteigt.<br />
Häufig stellen Punktprozesse Abbilder <strong>von</strong> dynamischen Systemen oder kontinuierlichen<br />
Prozessen in dem Sinne dar, dass die Ereigniszeiten die Zeitpunkte<br />
markieren, in denen die dynamischen Variablen einen Schwellenwert überschreiten.<br />
Dementsprechend kann jedem dynamischen System ein Punktprozess zugeordnet<br />
werden, indem die Durchstoßzeiten eines Poincaré-Schnitts aufgezeichnet<br />
werden [Kantz & Schreiber (1997), Hegger & Kantz (1997)]. Dieses Verfahren<br />
wurde bereits verwendet, um aus den Hindmarsch-Rose-Oszillatoren des vorherigen<br />
Beispiels Punktprozesse zu erzeugen. Unter diesen Bedingungen ist ebenfalls<br />
die Annahme naheliegend, dass die Zuwächse eines späteren Zeitfensters <strong>von</strong><br />
den vorherigen abhängen. Damit in jedem Zeitpunkt nur endlich viele Zuwächse<br />
aus der Vergangenheit berücksichtigt werden müssen, das heißt die Zuwächse
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