Adsorbat-modifiziertes Wachstum ultradünner Seltenerdoxid ... - E-LIB

2 Grundlagen und Messmethoden
dar und es wurde in der Näherung zusätzlich ausgenutzt, dass für Röntgenstrahlung
näherungsweise |K 0 | ≈ |K H | ≈ k gilt. ξ 0 und ξ H entsprechen dabei der Abweichung
zwischen den Beträgen der reduzierten Wellenvektoren |K 0 | und |K H | im Kristall
und dem Betrag des um den mittleren Brechungsindex ¯n
n = √ ε =
√
1 − ΓF 0 ≈ 1 − 1 2 ΓF 0 (2.27)
verringerten Wellenvektors k im Vakuum.
Abb. 2.13 veranschaulicht eine grafische Interpretation der Hyperbelgleichung, wobei
sich sämtliche reelle Lösungen im reziproken Raum auf Hyperbeln befinden, die
aus dem sogenannten α- und β-Zweig bestehen [86]. Die linke Abbildung zeigt den
Bragg-Punkt Q und den Laue-Punkt L, der den Mittelpunkt der Ewald-Kugel im
kinematischen Fall darstellt und sich aus dem Schnittpunkt zweier Kreise mit dem
Radius k um die Punkte 0 und H ergibt. Unter Berücksichtigung des mittleren
Brechungsindexes kann der Bragg-Punkt mit Hilfe des verringerten Radius kn analog
konstruiert werden. Der Abstand zwischen Q und L ist aus Gründen der Anschauung
stark vergrößert dargestellt. In Wirklichkeit liegen der Laue- und der Bragg-Punkt
sehr nahe beieinander, da der Brechungsindex für Röntgenstrahlen unwesentlich
kleiner als eins ist.
In der rechten Abbildung in Abb. 2.13 ist ein vergrößerter Ausschnitt in der Nähe
des Laue- und des Bragg-Punktes gezeigt. Darüber hinaus sind im reziproken
Raum der α- und β-Zweig der Hyperbelfläche dargestellt, die auch als Dispersionsfläche
bezeichnet wird. Aufgrund der starken Vergrößerung sind der Anschauung
halber die Kreisabschnitte in der Abbildung als Geraden beschrieben. Diesen nähert
sich die Dispersionsfläche asymptotisch an und die Wellenvektoren K 0 und
K H gehen dabei von dem α- und β-Zweig aus und enden wie die Wellenvektoren
im Vakuum k 0 und k H an den Punkten 0 und H (in der Abbildung sind der Anschauung
halber Einheitsvektoren eingezeichnet). Kommt es zum Durchdringen der
Oberfläche, kann sich aufgrund von Stetigkeitsbedingungen die Tangentialkomponente
des Vakuum-Wellenvektors k 0 = P0 nicht ändern. Deshalb unterscheiden sich
die Wellenvektoren k 0 und K 0 ausschließlich um einen Vektor entlang des nach innen
gerichteten Einheitsvektors der Oberflächennormalen ˆn. Die Schnittpunkte einer
Geraden in Richtung der Oberflächennormalen (gestrichelte Linie) mit der Dispersionsfläche
definieren zwei Anregungspunkte A und B, welche einen Abstand von ξ 0
und ξ H gegenüber den Kreisabschnitten aufweisen. Da der Poynting-Vektor S, der
immer senkrecht auf der Tangente der Dispersionsfläche steht, jedoch aus Energieerhaltungsgründen
keine aus dem Kristall herausgerichtete Komponente aufweisen
darf, tritt allein der Anregungspunkt A auf [92]. Daraus ist allgemein sofort ersichtlich,
dass Anregungspunkte im Bragg-Fall lediglich auf dem oberen β- und unteren
α-Zweig erlaubt sind. Verläuft der Poynting-Vektor ausschließlich parallel zur Oberfläche,
wie es durch geeignete Wahl des Winkels der einfallenden Strahlung erzielt
werden kann, befindet sich der Anregungspunkt im Bereich zwischen den beiden
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