Adsorbat-modifiziertes Wachstum ultradünner Seltenerdoxid ... - E-LIB

2.4 Dynamische Röntgenbeugung
mit den Millerschen Indizes (hkl) und der dimensionslose Parameter
Γ =
e 2
m e ε 0 ω 2 V Zelle
(2.21)
ist ein Maß für die Abweichung der dielektrischen Funktion ε von eins und liegt
für Röntgenstrahlung typischerweise in der Größenordnung von 10 −7 –10 −8 [86, 93].
Dabei bezeichnet ω die Frequenz des anregenden elektrischen Feldes und V Zelle stellt
das Volumen der Einheitszelle dar.
Als Ansatz für die Lösungen des Wellenfeldes im Kristall wird nach dem Bloch-
Ansatz für ein periodisches Potential eine Entwicklung der Feldvektoren des E-, D-
und H-Feldes nach ebenen Wellen
A = e 2πiωt ∑ H
A H e −2πiK H·r
(2.22)
angenommen [92], wobei K H dem reduzierten Wellenvektor der gebeugten Welle
entspricht. Unter der zusätzlichen Forderung der Laue-Bedingung (Gleichung (2.12))
erhält man eine ebene Welle mit reduziertem Wellenvektor K 0 :
[ ∑
A =
H
A H e −2πiH·r ]
e −2πiK 0·r e 2πiωt (2.23)
und durch Einsetzen dieses Ansatzes in die Maxwell-Gleichungen ergibt sich schließlich
ein unendlich dimensionales homogenes Gleichungssystem für die Fourier-Komponenten
E H [92]. Dieses kann jedoch durch die Betrachtung des Zweistrahlfalls und
der σ- und π-Polarisation auf zwei homogene Gleichungen
(
k 2 (1 − ΓF 0 ) − (K 0 · K 0 ) −k 2 ) ( )
P ΓF ¯H E0
−k 2 P ΓF H k 2 (1 − ΓF 0 ) − (K H · K H ) E H
=
(
0
0)
(2.24)
reduziert werden. Dabei bezeichnet k den Betrag des reduzierten Wellenvektors im
Vakuum und die Polarisation P beträgt für den Fall der σ-Polarisation eins, während
sie sich für den Fall der π-Polarisation zu cos(2θ B ) ergibt, mit θ B als Bragg-Winkel.
Eine nicht triviale Lösung für das Gleichungssystem (2.24) stellt die Hyperbelgleichung
ξ o ξ H = 1 4 k2 P 2 Γ 2 F H F ¯H, (2.25)
mit
ξ 0 = 1 [
K0 · K 0 − k 2 (1 − ΓF 0 ) ] ≈ |K 0 | − k(1 − 1 2k
2 ΓF 0)
ξ H = 1 [
KH · K H − k 2 (1 − ΓF 0 ) ] ≈ |K H | − k(1 − 1 2k
2 ΓF 0)
(2.26)
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