Adsorbat-modifiziertes Wachstum ultradünner Seltenerdoxid ... - E-LIB

2.3 Kinematische Näherung der Röntgenbeugung
de Beschreibung der kinematischen Näherung orientiert sich an den ausführlichen
Darstellungen von Robinson et al. [85] und der Übersicht zur Röntgenbeugung und
Synchrotronstrahlung in [86, 87].
Für die elastische Streuung von Photonen an einem Elektron am Ort r e nach Thomson
gilt:
A e e −ik f ·r e
= A 0
e 2
4πε 0 mc 2 1
R 0
e −ik i·r e
. (2.4)
Dabei stellen A 0 und A e die Amplituden der einfallenden Welle mit dem Wellenvektor
k i und der gestreuten Welle mit dem Wellenvektor k f dar. Der Betrag der Wellenvektoren
ist aufgrund des elastischen Streuprozesses identisch und gegeben durch
|k i | = |k f | = 2π /λ. R 0 bezeichnet die Entfernung zum Detektor und es gilt aufgrund
der Fraunhofer-Näherung R 0 ≫ r e . Führt man den Streuvektor K = k f − k i ein,
lässt sich Gleichung (2.4) schreiben als:
A e (K) = A 0
e 2
4πε 0 mc 2 1
R 0
e iK·re . (2.5)
Geht man nun zur phasenrichtigen Integration der Einzelstreuprozesse über, ist die
Amplitude A a der Röntgenstrahlung, welche an einem Atom am Ort r a mit der
Elektronendichteverteilung ρ(r) gestreut wurde, wie folgt gegeben:
A a (K) = A 0
e 2
4πε 0 mc 2 1
R 0
∫
ρ(r)e iK·r+ra d 3 r = A 0
e 2
4πε 0 mc 2 1
R 0
f 0 (K)e iK·ra . (2.6)
Dabei wurde die sogenannte Atomformamplitude mit
∫
f 0 (K) = ρ(r)e iK·r d 3 r (2.7)
eingeführt, welche die Fouriertransformierte der Elektronendichteverteilung eines
Atoms darstellt. Die Streuung an den Protonen eines Atoms kann aufgrund der
sehr viel größeren Masse gegenüber den Elektronen und der 1 /m-Abhängigkeit der
Streuamplitude vernachlässigt werden. Da die Elektronen in einem Atom gebunden
sind und somit keine freien Elektronen darstellen, werden Dispersionskorrekturen in
den Atomformamplituden wie folgt berücksichtigt:
f(K,λ) = f 0 (K) + f ′ (λ) + if ′′ (λ) (2.8)
Die Streuamplitude eines dreidimensionalen einkristallinen Kristalls
e 2 1 ∑
A(K) = A 0 e iK·n ∑
1a 1
e iK·n ∑
2a 2
e iK·n ∑
3a 3
f
4πε 0 mc 2 j (K)e iK·r j
R 0 n 1
n 2
n 3 j
} {{ } } {{ }
G(K)
F (K)
(2.9)
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