Überlagerung von periodischen Strukturen - E-LIB - Universität ...
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7.3 Cluster der Größe 1 0 4 3 2 1 0 1 0 4 3 2 1 2 1 0 4 3 2 3 2 1 0 4 3 4 3 2 1 0 4 0 4 3 2 1 0 Abbildung 7.24: r-3-3-5 0 1 0 2 3 2 0 1 0 Abbildung 7.25: Färbung mit 4 Farben (Kachel aus atomaren Kacheln zusammengesetzt) In Abbildung 7.25 ist eine mit vier Farben fairgefärbte Kachel zu sehen. Sie besteht aus vier atomaren Kacheln. Die Farbe i berechnet sich nach der Formel i = 2m mod 2 + n mod 2. Satz 7.3.2 Die oben beschriebene Überlagerung ist doppelt periodisch. Beweis 7.3.2 Um zu zeigen, daß die Überlagerung doppelt periodisch ist, müssen zwei nichtcollineare Vektoren −→ v 1 und −→ v 2 gefunden werden, so daß jede Verschiebung um −→ v = r · −→ v 1 + s · −→ v 2 mit r, s ∈ Z eine Deckabbildung für die Überlagerung ist. Hierzu eignen sich die Vektoren ( −→ f v1 = und 0) −→ ( 0 v 2 = f) Satz 7.3.3 Kreisraster, die gemäß Gleichung 7.16 auf Seite 100 gefärbt sind, lassen sich in rechteckige Kacheln zerlegen. Beweis 7.3.3 Die Eckpunkte der Kachel haben die in der Tabelle 7.3 auf der nächsten Seite beschriebenen Koordinaten. 102
7 Quadratraster kongruenter Kreise Eckpunktposition Kooordinaten links, unten R lu (0/0) rechts, unten R ru (f/0) rechts, oben R ro (f/f) links, oben R lo (0/f) Tabelle 7.3: Eckpunkte der Kachel Die Kreise mit den Referenzpunkten R i0 (i/0) und R if (i/f) mit 0 ≤ i ≤ f haben dann dieselbe Farbe. Die untere und die obere Kante der Kachel haben also dieselbe Farbfolge. Ebenso läßt sich zeigen, daß die rechte und linke Kante dieselbe Farbfolge haben. Die Anschlußbedingung ist also erfüllt. Satz 7.3.4 Die in Satz 7.3.3 auf der vorherigen Seite genannten Kacheln sind fair gefärbt. Farbe m + n Koodinaten der Referenzpunkte i = 0 0 (0/0) i = 0 f (0/f) , (1/f − 1), . . . , (f − 1/1), (f/0) i = 0 2f (f/f) 0 < i < f i (0/i) , (1/i − 1), . . . , (i-1/1), (i/0) 0 < i < f i + f (i/f) , (i + 1/f − i), . . . , (f − 1/i − 1), (f/i) Tabelle 7.4: Koordinaten der Referenzpunkte der Kreise, die mit der Farbe i gefärbt sind Beweis 7.3.4 In Tabelle 7.4 sind die Referenzpunkte der Kreise, die mit der Farbe i gefärbt sind, dargestellt. Die rot umrandeten Koordinaten gehören zu den Kreisen, deren Referenzpunkte Ecken der Kacheln sind. Die grün umrandeten gehören zu Kreisen, deren Referenzpunkte auf dem Inneren der Kanten liegen. Farbe in den Ecken auf den Kanten im Inneren i = 0 1 0 f − 1 0 < i < f 0 2 f − 2 Jede Farbe leistet also den Beitrag f. Da die Anschlußbedingung erfüllt ist, lassen sich die Kacheln zur Parkettierung benutzen. 103
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7 Quadratraster kongruenter Kreise<br />
Eckpunktposition Kooordinaten<br />
links, unten R lu (0/0)<br />
rechts, unten R ru (f/0)<br />
rechts, oben R ro (f/f)<br />
links, oben R lo (0/f)<br />
Tabelle 7.3: Eckpunkte der Kachel<br />
Die Kreise mit den Referenzpunkten R i0 (i/0) und R if (i/f) mit 0 ≤ i ≤ f haben dann<br />
dieselbe Farbe. Die untere und die obere Kante der Kachel haben also dieselbe Farbfolge.<br />
Ebenso läßt sich zeigen, daß die rechte und linke Kante dieselbe Farbfolge haben. Die Anschlußbedingung<br />
ist also erfüllt.<br />
Satz 7.3.4 Die in Satz 7.3.3 auf der vorherigen Seite genannten Kacheln sind fair gefärbt.<br />
Farbe m + n Koodinaten der Referenzpunkte<br />
i = 0 0 (0/0)<br />
i = 0 f (0/f) , (1/f − 1), . . . , (f − 1/1), (f/0)<br />
i = 0 2f (f/f)<br />
0 < i < f i (0/i) , (1/i − 1), . . . , (i-1/1), (i/0)<br />
0 < i < f i + f (i/f) , (i + 1/f − i), . . . , (f − 1/i − 1), (f/i)<br />
Tabelle 7.4: Koordinaten der Referenzpunkte der Kreise, die mit der Farbe i gefärbt sind<br />
Beweis 7.3.4 In Tabelle 7.4 sind die Referenzpunkte der Kreise, die mit der Farbe i gefärbt<br />
sind, dargestellt. Die rot umrandeten Koordinaten gehören zu den Kreisen, deren Referenzpunkte<br />
Ecken der Kacheln sind. Die grün umrandeten gehören zu Kreisen, deren Referenzpunkte<br />
auf dem Inneren der Kanten liegen.<br />
Farbe in den Ecken auf den Kanten im Inneren<br />
i = 0 1 0 f − 1<br />
0 < i < f 0 2 f − 2<br />
Jede Farbe leistet also den Beitrag f.<br />
Da die Anschlußbedingung erfüllt ist, lassen sich die Kacheln zur Parkettierung benutzen.<br />
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